If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:11:28

Видео транскрипция

Предишното видео прекъснах там, където имаме тази безкрайна плоча. Тя е само една безкрайна равнина, и е заредена плоча, с плътност на заряда, отбелязана със "сигма". Това, което направихме, беше да вземем тази точка тук горе, това са h единици над повърхността на нашата заредена плоча, и искахме да определим електричното поле в тази точка, възникнало под влияние на затворена верига с радиус r, центрирана в основата тук, отгоре над която е тази точка. Искаме да разберем от какво е породено електричното поле в тази точка на пръстена? Разбрахме, че електричното поле е това, и понеже разгледахме симетрията в миналия клип, сега ни интересува единствено y-компонента. Установихме, че при електрично поле, създадено от която и да е точка, x-компонентите се съкращават, защото ако тук има една точка, тя ще включва някакъв x-компонент. Този x-компонент от полето може да бъде в тази посока – надясно, но тук се появява още една точка, чийто x-компонент ще го съкрати. И така, остава ни само y-компонента. Накрая изчислихме с прецизна точност какъв ще е y-компонентът на електричното поле, създадено от веригата, на h единици над повърхността. И като това е вън от пътя, да видим дали можем да съберем няколко вериги, движещи се от радиус безкрайност към радиус нула, и така да разберем целия y-компонент. Или цялото електрично поле, понеже видяхме, че всички x-ове се съкращават по един или друг начин, цялото електрично поле в тази точка, h единици над повърхността на равнината. Нека изтрия повечето от това, за да направя достатъчно място за малко сериозна математика. На този етап всичко това са изчилсения по висша математика. Затова нека го изтрием. Гледай миналия клип, ако не помниш откъде дойде всичко. Нека изтрия и това, защото мисля, че ще ми е нужно много място. И така, започваме. ОК, ще начертая отново част от нещата, за да не забравяме какво правим тук, защото се случва човек да забрави. И така, ето я моята равнина, която е отворена във всички посоки. Ето я и точката над равнината, където се опитваме да определим електричното поле. Стигнахме и до заключението, че полето ще е насочено нагоре, поради което ни интересува единствено за y-компонента. Той е на h единици над повърхността, и определяме електричното поле, породено от една затворена верига, която е около тази точка, и има радиус r. И какъв е y-компонентът на това електрично поле? Разбрахме, че то е следното. А това, което сега ще направим, е да използваме интеграл. Така, цялото елктрично поле от плочата ще представлява интегралът от... това е действително грозноват интеграл... радиус нула към радиус безкрайност. Ще вземем сбора от всички вериги, започвайки с нулевия радиус по целия път към веригата, която е с радиус, клонящ към безкрайност, защото е безкрайна равнина, така намираме въздействието на цялата равнина. Ще определим сумата на всяка верига, и полето породено от всяка верига, и това е полето, породено от всяка една верига. Нека го направя с различен цвят. Това светло-синьо става малко еднообразно. K по h, по 2пи, по сигма, по r, по dr, върху h на квадрат плюс r на квадрат, цялото на степен 3/2. Сега нека опростим малко израза. Нека изнесем някои константи пред скоби, за да получим малко по-просто уравнение. И така, това е равно на интеграл от нула до... нека вземем К... Ще оставя две тук... Ще видиш защо след малко, но пък ще изнеса всички други константи отпред, за да не се получава ненужно интегриране. И така, равно е на Kh, пи, сигма, умножено по интеграл от нула до безкрайност, от... какво е това? Какво оставих там вътре? Оставих 2r и можем да препишем това като... всъщност, мястото ми свършва. 2r, dr, върху h на квадрат плюс r на квадрат, това е на степен 3/2, или можем да го смятаме като отрицателно 3/2, нали? И каква е примитивната функция тук? Това е определено верижното правило наобратно, нали? Мога да направя заместване тук, ако ти е по-удобно правилото за заместване, но вероятно ще можеш да прецениш това на око. Бихме могли да използваме заместването, че u е равно на - ако само искаме да намерим примитивната функция на това – ако u е равно на h на квадрат плюс r на квадрат... h е само константа... тогава du ще е равно на... имам предвид du dr – това е константа, и тя е равна на 2r, или можем да кажем, че du е равно на 2r dr. И така, ако се опитваме да намерим примитивната функция на 2r dr върху h на квадрат плюс r на квадрат, на степен 3/2, това е абсолютно същото като това да вземем примитивната функция с това заместване. 2r dr, тъкмо показахме тук, че това е същото като du, нали така? И се получава du върху... и после това е само u, нали? h на квадрат плюс r на квадрат е u. Правим това по дефиницията. И u на степен 3/2, което е равно на примитивната функция на... можем да запишем това като u на степен минус 3/2, du. Сега вече е лесно. Това е един вид обратно на правилото на експонентата. И така, това е равно на минус 2u на степен минус 1/2, и можем да го проверим, нали? Ако вземем производната на това, минус 1/2 пъти по минус 2 е 1, и после изваждаме 1 от тук, получаваме минус 3/2. След това можем да добавим плюс c, но след като накрая ще се занимваме с определен интеграл, всички "c" ще се съкратят. Или можем да кажем, че това е равно на... след като направихме това заместване... минус 2 върху... минус 1/2, това е същото като израза върху квадратен корен от h на квадрат плюс r на квадрат, нали така? Всичката работа оцветих в пурпурно, за да подчертая примитивната функция на това, и разбрахме, че тя е следното: минус 2 върху корен квадратен от h на квадрат плюс r на квадрат. И така, след всичко това нека продължим да пресмятаме нашия определен интеграл. Този израз се опростява до... това е маратонска задача, но пък много удовлетворителна... К... нека видим всички константи... Kh, пи, сигма... можем дори да изнесем това минус 2 пред скоби... умножаваме по минус 2, и всичко това, и сега ще пресметнем определения интеграл при двете граници... 1 върху квадратния корен от h на квадрат плюс r на квадрат, преценен от минус безкрайност и изчислен за 0, нали? На какво е равен този израз? Какво е 1 върху корен квадратен от h на квадрат плюс безкрайност? Какво се случва, когато изчислим r за безкрайност? Квадратният корен от безкрайност пак е безкрайност, и 1 върху безкрайност е 0, така че този израз тук става равен на 0. Когато го изчислим, клонящ към безкрайност, се получава 0 минус този израз, клонящ към 0. И какво се случва, когато е клонящо към 0? Когато r на квадрат е 0, получаваме 1 върху корен квадратен от h на квадрат, нали така? Нека запишем всичко. Това става минус 2Kh, пи, сигма, умножено по 0 минус 1 върху корен квадратен от h на квадрат. Това е равно на минус 2Kh, пи, сигма, умножено по... 1 върху корен квадратен от h на квадрат, това дава само 1 върху h, нали? И има още един минус, умножен по минус 1 върху h. Този минус, умножен по този минус, дават плюс. И после това h и това 1 върху h трябва да се съкратят. И това, което ни е останало, след цялата тази работа, ще го оцветя в ярък цвят, защото свършихме много работа, за да стигнем до тук. Получава се 2K, пи, сигма. И така, нека го видим на всички нива. Най-напред, какво направихме тук? Може да сме се оплели в сметките. Това е общото поле, цялото електрично поле, в дадена точка на височина h над тази безкрайна плоча, която има постоянен заряд, а плътността на заряда е сигма. Но забележете, това е електричното поле в тази точка, но тук вътре няма h. Т.е. по същество това ни казва, че силата на полето по никакъв начин не зависи от това на какво разстояние над полето се намираме, което ни подсказва, че полето ще е постоянно. Можем да бъдем навсякъде над плочата и зарядът ще е същият. Единственото нещо... о, извинявам се, не заряда. Полето ще е същото, и ако разполагаме с един пробен заряд, силата ще е същата. И единственото нещо, от което ще зависи интензитета на полето или големината на упражнената електростатична сила, е плътността на заряда, нали така? Това е константата на Кулон, пи си е пи, 2пи, и мисля, че е идеално това пи да го има тук, но това е друга тема. А това, което има значение, е плътността на заряда. Да се надяваме, че намираш това удовлетворяващо, и същественото, което научихме тук, е, че ако разполагам с една безкрайна равномерно заредена плоча, полето, над което аз се намирам на разстояние h над тази плоча, няма значение колко е h. Мога да съм тук, тук или тук. Във всички тези точки, полето има еднаква сила, или общата електростатична сила, упражнена върху пробен заряд в тези точки, има абсоютно същата големина, което е доста добре. И сега, ако наистина вярваш на всичко, случило се в последните два клипа, можеш да вярваш, че съществуват явления като постоянни електрични полета и те се виждат между успоредни плочи, най-вече на разстояние далеч от границите. До скоро.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".