Концептуално разбиране на поток

Да кажем, че работим в три измерения и е дадена функцията ро, която е функция от х, у, z и ни дава плътността на масата във всяка точка в три измерения на някакъв флуид, който може да е газ или течност, например вода или нещо друго. Кой знае! Някакъв вид вещество. Тази функция ни дава плътността на масата във всяка точка в три измерения. И да кажем, че имаме друга функция. Това е скаларна функция. Тя просто ни дава число за всяка точка в три измерения. И, да кажем, че имаме друга функция v, която е векторна функция. Тя ни дава вектор за всяка точка в три измерения. И това тук ни показва скоростта на същата тази течност или газ, или за каквото говорим. Сега да си представим друга функция. И това може да изглежда познато, понеже го направихме... разгледахме много подобно упражнение в две измерения, когато говорихме за криволинейни интеграли. Сега просто го разширяваме в три измерения. Да кажем, че имаме функция f и тя е равна на произведението на ро и v. За всяка точка в x, y, z това ще ни даде вектор и после ще го умножим по тази скаларна величина тук за същата тази точка в три измерения. Това е равно на ро по v. Ще използвам същия цвят, който използвах за v преди. ро по v. Има няколко начина, по които можеш да разглеждаш това. Можеш да го разглеждаш като... Очевидно, това поддържа посоката на скоростта, но сега дължината... Един начин да си представим това е като плътността на импулса. И ако това ти изглежда безсмислено, не е нужно да се притесняваш много за това, защото се надявам, че докато разглеждаме тези две функции и разсъждаваме повече за тях спрямо повърхност, ще го разбереш по-добре. Искам да помисля какво означава... какво означава, когато ни е дадена тази функция f, да изчислим повърхностния интеграл по отношение на някаква повърхност. Ще изчислим някаква повърхност. Ще изчислим скаларното произведение на f по n, където n е единичният нормален вектор във всяка точка от тази повърхност, dS. d повърхност. Нека помислим какво ни казва това. Първо да начертая осите. Имам оста z. Ос z. Това може да е оста х. И да кажем, че това тук е оста у. И да кажем, че повърхнината... ще използвам същия цвят. Повърхнината изглежда ето така. Това е нашата повърхнина. Това е разглежданата повърхнина. Това е S. Да помислим за мерните единици и, надявам се, това ще ни даде представа какво представлява стойността на този интеграл. Това е напълно аналогично на онова, което направихме в двуизмерния пример с криволинейните интеграли. Имаме dS. dS е малка площ от тази повърхност. Това е dS. Това ще е площта. И ако искаме да разделим... Това е... Ако трябва да изберем някакви конкретни мерни единици, нека да са квадратни метри. И мисля, че когато използваме конкретни мерни единици, това започва да добива малко по-конкретен смисъл. Сега, нормалният вектор и това dS... Нормалният вектор ще сочи навън от него. Нормалният вектор буквално е нормален към тази равнина. Той има дължина 1. Това е единичният ни нормален вектор. f е дефинирана в това тримерно пространство. Даваш ми произволни стойности x, y, z и ще знам плътността на масата, ще знам скоростта ще получа някаква f във всяка точка в тримерното пространство, включително от повърхнината. Включително ето тук. И ето тук f може да изглежда ето така. Това е f точно в тази точка. Точно в тази точка. Какво означава всичко това? Скаларното произведение на два вектора по същество ни показва каква част от тях е в една посока. И тъй като n е единичен вектор, тъй като има дължина 1, това ни казва каква е... каква е дължината на компонентата на f, която върви в посоката на n. Или компонентата... Или каква е дължината на компонентата на f, която е нормална към повърхнината. Или колко от f е нормална към повърхността. Компонентата на f, която е нормална към повърхнината може да изглежда ето така. Може да изглежда ето така. И това ето тук ще ти даде дължината на това. Така ще се запазят мерните единици на f. Вектор n, ето тук, просто уточнява посока. Той не е свързан с мерни единици. Той е безразмерен. Мерните единици на f ще са единиците на плътността на масата. Така че може да са килограм на кубичен метър. Това всъщност е частта ро. Това е плътността на масата по скоростта. по метри в секунда. Ще го запиша в тези цветове, за да е ясно какво се случва тук. Мерните единици на f ще са единиците на ро, които ще са килограм на кубичен метър, това е плътността на масата, по единиците на v, които са метри в секунда. Метри в секунда. И ще умножим това по метри на квадрат. И имаш... имаш метър и после метър на квадрат в числителя. Това е метри на трета в числителя. И метри на трета в знаменателя. Това се съкращава. Единиците, които получаваме за това... Единиците, които получаваме за това, са килограми в секунда. Начинът да концептуализираме това, като имаме предвид как определихме f, когато кажем какво представлява f, начинът да концептуализираме това е, че това показва колко маса, при дадена тази масова плътност, тази скорост, директно преминава навън от тази малка dS, тази малка, безкрайно малка част от повърхнината, за дадено количество време. И ако съберем всички dS това е интегралът на повърхността, тогава казваме колко маса, в килограми в секунда – това избрахме – колко маса преминава през тази повърхност във всеки даден момент от време. И това е същата идея като при криволинейните интеграли. Това е потокът през двумерна повърхност. И това не е нещо абстрактно. Можеш да си представиш... Можеш да си представиш нещо като водна пара в банята. Водна пара в банята. Предпочитам да си представям това, понеже е видимо, особено когато през парата преминава светлинен лъч. Всички сме виждали водна пара през... водна пара в банята, когато имаш слънчев лъч и можеш да видиш как частиците... как се движат частиците. И можеш да видиш, че има определена плътност в различни точки. И можеш да си представиш... Можеш да си представиш... Интересува те повърхнината – може би имаш прозорец в банята. Ако тази повърхнина беше прозорецът и прозорецът, да кажем, е отворен, това е... Няма нищо физическо тук. Това е един вид е някаква правоъгълна повърхнина, през която нещата могат свободно да преминат, а f по същество е плътността на масата на водната пара по скоростта на водната пара, тогава този интеграл ще ти даде масата на водната пара, която преминава през този прозорец във всеки даден момент от времето. Друг начин да си представим това е да си представим една река. И ще представя тази река само като един отрязък от реката. Това е част от някаква река. Очевидно, това ще е повърхността, която обикновено виждаме. Но очевидно има някаква дълбочина. По природа е тримерна. И знаем плътността. Може би е константа. Знаеш плътността и знаеш скоростта във всяка точка. Това ни дава f. И това ни казва... Както казахме, можем да гледаме на това като плътността на импулса във всеки даден момент от времето. И може би повърхността е някакъв вид мрежа. И не е нужно мрежата да е правоъгълна. Може да е мрежа със странна форма. Но ще я направя правоъгълна, просто понеже е по-лесна за рисуване. Това е някакъв вид мрежа, която по никакъв начин не възпрепятства потока на флуида. Тогава, отново, когато изчислиш този интеграл, той ще ти каже масата на флуида, която преминава през тази мрежа във всеки даден момент от времето. Надявам се, че това сега изглежда концептуално логично. В следващите няколко видеа ще помислим как да изчислим това и как можем да го представим по различни начини.