If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Еднородно заредена права линия

Пример за напреднали: Електрично поле, ограждащо еднородно заредена безкрайна права линия. Написано от Уили МакАлистър.

Пример: Електрично поле близо до еднородно заредена права линия

Ще изведем формула за електричното поле в близост до еднородно разпределен линеен заряд.
Резултатът ще покаже, че електричното поле близо до еднородно заредена линия отслабва като 1/a, където a е разстоянието от линията.
Приеми, че имаме дълга права линия с дължина L и с общ заряд Q. Приеми, че зарядът е разпределен равномерно по нея. Общият заряд на заредената линия е Q, така че плътността на заряда в кулон/метър е:
μ=QL
Приеми, че тестов заряд q е позициониран противоположно на центъра на правата линия на разстояние a.
Какво е електричното поле в точката, в която се намира q, следствие на (създадено от) заряда на правата линия?
Ще изведем общо решение за електричното поле за произволна дължина L и произволно разстояние a. С помощта на това общо решение ще решим един особено полезен случай, в който еднородно заредената права линия е с много голяма дължина в сравнение с разстоянието до тестовия заряд, La.
Първо, създай и наименувай някои променливи, които да разгледаме.
  • a е разстоянието от заредената линия до мястото на тестовия ни заряд, q.
  • dQ е малко количество заряд, ограничено в малка част на линията, dX.
  • x е разстоянието от мястото, където a докосва линията, до dQ.
  • r е разстоянието от dQ до мястото на тестовия заряд.
  • θ е ъгълът между a и r.
Електричното поле, ограждащо даден точков заряд, Q, е:
E=14πϵ0Qr2
Електричното поле на мястото на тестовия заряд q следствие на малка част от заряда на линията dQ, е:
dE=14πϵ0dQr2
Количеството заряд dQ може да бъде изразено спрямо плътността на заряда, dQ=μdx,
dE=14πϵ0μdxr2
Най-подходящата независима променлива за тази задача е ъгълът θ. Можем да опростим анализа, като преобразуваме равенството по такъв начин, че да изразим dθ през диапазон ъгли, вместо да разглеждаме промяната на dx по линията (това е промяна на променлива).
След смяната на променливите можем да преначертаем диаграмата спрямо dθ:
Смяната на променливите ни позволява да заместим dxr2 с dθa в предишното уравнение:
dE=14πϵ0μdθa
Сега използваме симетрията на разпределението на заряда, като извеждаме електричното поле само в посока y (посоката право напред от правата през q).
Това означава, че мащабираме електричното поле dE в посока надолу с косинуса на ъгъла θ:
dEy=14πϵ0μacosθdθ
Готови сме да интегрираме (съберем) всички приноси от всяко dQ, за да получим електричното поле:
Ey=θ+θ14πϵ0μacosθdθ
Това е общото решение за електричното поле близо до заредена линия с произволна дължина L на разстояние a от нея. Ограниченията ±θ са ъглите към краищата на линията.

Полезен случай: безкрайно дълга заредена права линия

Сега решаваме полезния случай, в който заредената линия е много дълга спрямо разстоянието a, или La. Ако стоиш при q и обърнеш главата си, за да погледнеш във всяка посока към всеки край на тази много дълга права линия, главата ти се завърта на ъгъл (много близо до) ±90 (±π/2 радиана. Това ще бъдат ограниченията при интегрирането.
Ey=π/2+π/214πϵ0μacosθdθ
Изнеси извън интеграла всичко, което не зависи от θ.
Ey=14πϵ0μaπ/2+π/2cosθdθ
Сега можем да изчислим интеграла,
Ey=14πϵ0μasinθ|π/2+π/2=14πϵ0μa(+11)=24πϵ0μa
Най-сетне, електричното поле, създадено от дълга заредена права линия, в точка, която е на разстояние a от заредената права линия, е:
Ey=μ2πϵ01a
Поздравления за теб, ако успя да проследиш всичко дотук. Важният извод от този пример е: за разлика от зависимостта 1/r2 за точков заряд, полето около заредена права линия намалява съгласно зависимостта 1/a.
Направихме много изчисления, за да изведем този резултат. Заслужава си да му отделим малко време, за да го схванем по-добре. След като видя цялото извеждане, разбираш ли логиката защо зависимостта от разстоянието е от различен порядък – в случая е 1/a, а при точков заряд е 1/r2?
А сега просто за забавление ти предлагаме – припомни си историята за пистолета, изстрелващ масло, от статията за закона за обратните квадрати и помисли дали можеш да създадеш нов пистолет за заредена права линия, който пръска в модел 1/a?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.