Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Раздел 3: Урок 2

Електрична потенциална енергия и напрежение

Еднородно заредена права линия

Пример за напреднали: Електрично поле, ограждащо еднородно заредена безкрайна права линия. Написано от Уили МакАлистър.

Пример: Електрично поле близо до еднородно заредена права линия

Ще изведем формула за електричното поле в близост до еднородно разпределен линеен заряд.

Резултатът ще покаже, че електричното поле близо до еднородно заредена линия отслабва като 1, slash, a, където a е разстоянието от линията.

Приеми, че имаме дълга права линия с дължина L и с общ заряд Q. Приеми, че зарядът е разпределен равномерно по нея. Общият заряд на заредената линия е Q, така че плътността на заряда в кулон/метър е:

mu, equals, start fraction, Q, divided by, L, end fraction

Приеми, че тестов заряд q е позициониран противоположно на центъра на правата линия на разстояние a.

Какво е електричното поле в точката, в която се намира q, следствие на (създадено от) заряда на правата линия?

Ще изведем общо решение за електричното поле за произволна дължина L и произволно разстояние a. С помощта на това общо решение ще решим един особено полезен случай, в който еднородно заредената права линия е с много голяма дължина в сравнение с разстоянието до тестовия заряд, L, \gg, a.

Първо, създай и наименувай някои променливи, които да разгледаме.

a е разстоянието от заредената линия до мястото на тестовия ни заряд, q.
d, Q е малко количество заряд, ограничено в малка част на линията, d, X.
x е разстоянието от мястото, където a докосва линията, до d, Q.
r е разстоянието от d, Q до мястото на тестовия заряд.
theta е ъгълът между a и r.

Електричното поле, ограждащо даден точков заряд, Q, е:

E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, squared, end fraction

Електричното поле на мястото на тестовия заряд q следствие на малка част от заряда на линията d, Q, е:

d, E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, d, Q, divided by, r, squared, end fraction

Количеството заряд d, Q може да бъде изразено спрямо плътността на заряда, d, Q, equals, mu, d, x,

d, E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, mu, start fraction, d, x, divided by, r, squared, end fraction

Най-подходящата независима променлива за тази задача е ъгълът theta. Можем да опростим анализа, като преобразуваме равенството по такъв начин, че да изразим d, theta през диапазон ъгли, вместо да разглеждаме промяната на d, x по линията (това е промяна на променлива).

[смяна на променливи]

След смяната на променливите можем да преначертаем диаграмата спрямо d, theta:

Смяната на променливите ни позволява да заместим start fraction, d, x, divided by, r, squared, end fraction с start fraction, d, theta, divided by, a, end fraction в предишното уравнение:

d, E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, mu, start fraction, d, theta, divided by, a, end fraction

Сега използваме симетрията на разпределението на заряда, като извеждаме електричното поле само в посока y (посоката право напред от правата през q).

Това означава, че мащабираме електричното поле d, E в посока надолу с косинуса на ъгъла theta:

d, E, start subscript, y, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction, cosine, theta, d, theta

Готови сме да интегрираме (съберем) всички приноси от всяко d, Q, за да получим електричното поле:

E, start subscript, y, end subscript, equals, integral, start subscript, minus, theta, end subscript, start superscript, plus, theta, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction, cosine, theta, d, theta

Това е общото решение за електричното поле близо до заредена линия с произволна дължина L на разстояние a от нея. Ограниченията plus minus, theta са ъглите към краищата на линията.

Полезен случай: безкрайно дълга заредена права линия

Сега решаваме полезния случай, в който заредената линия е много дълга спрямо разстоянието a, или L, \gg, a. Ако стоиш при q и обърнеш главата си, за да погледнеш във всяка посока към всеки край на тази много дълга права линия, главата ти се завърта на ъгъл (много близо до) plus minus, 90, degrees (plus minus, pi, slash, 2 радиана. Това ще бъдат ограниченията при интегрирането.

E, start subscript, y, end subscript, equals, integral, start subscript, minus, pi, slash, 2, end subscript, start superscript, plus, pi, slash, 2, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction, cosine, theta, d, theta

Изнеси извън интеграла всичко, което не зависи от theta.

Сега можем да изчислим интеграла,

E, start subscript, y, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction, sine, theta, vertical bar, start subscript, minus, pi, slash, 2, end subscript, start superscript, plus, pi, slash, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction, left parenthesis, plus, 1, minus, minus, 1, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, mu, divided by, a, end fraction

Най-сетне, електричното поле, създадено от дълга заредена права линия, в точка, която е на разстояние a от заредената права линия, е:

E, start subscript, y, end subscript, equals, start fraction, mu, divided by, 2, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, a, end fraction

Поздравления за теб, ако успя да проследиш всичко дотук. Важният извод от този пример е: за разлика от зависимостта 1, slash, r, squared за точков заряд, полето около заредена права линия намалява съгласно зависимостта 1, slash, a.

Направихме много изчисления, за да изведем този резултат. Заслужава си да му отделим малко време, за да го схванем по-добре. След като видя цялото извеждане, разбираш ли логиката защо зависимостта от разстоянието е от различен порядък – в случая е 1, slash, a, а при точков заряд е 1, slash, r, squared?

А сега просто за забавление ти предлагаме – припомни си историята за пистолета, изстрелващ масло, от статията за закона за обратните квадрати и помисли дали можеш да създадеш нов пистолет за заредена права линия, който пръска в модел 1, slash, a?

[Използвани източници]

[Авторски права]

Сортирай по:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.