If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Електрична сила

Електричната сила съществува между заряди, както е описана от закона на Кулон. Решен пример: линия на заряд с q на края. Написано от Уили МакАлистър.
Проучването ни на електричеството започва с електростатиката и електростатичната сила, една от четирите фундаментални сили на природата. Електростатичната сила е описана от закона на Кулон. Използваме закона на Кулон, за да намерим силите, създадени от конфигурации заряд.
Електростатиката работи със сили между заряди. Статика означава, че зарядите не се движат или поне не се движат много бързо.

Заряд

Откъде знаем, че има такова нещо като заряд? Конценцията за заряд възниква от наблюдение на природата: Наблюдаваме сили между тела. Електричен заряд е свойство на тела, което дава начало на тази наблюдавана сила. Като гравитацията, електричната сила "действа на разстояние". Идеята, че сила може да "действа на разстояние" е доста зашеметяваща, но така прави природата.
Електричните сили са много големи, доста по-големи от силата на гравитацията. За разлика от гравитацията, има два вида елекричен заряд (окато има само един вид гравитация; гравитацията само привлича):
Противоположните заряди се привличат,
Подобните заряди се отблъскват. Противоположните заряди се привличат.
Подобните заряди се отблъскват,

Сили между заряди: Закон на Кулон за електричната сила

Законът на Кулон много добре описва този естествен феномен. Законът има следния вид:
F, with, vector, on top, equals, K, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction, r, with, hat, on top
Където
  • F, with, vector, on top е електричната сила, насочена по права между двете заредени тела.
  • K е константа на пропорционалност, която свързва лявата страна на уравнението (нютони) с дясната страна (кулони и метри). Тя е необходима, за да намерим правилния отговор, когато правим реален експеримент.
  • q, start subscript, 0, end subscript и q, start subscript, 1, end subscript представляват количеството заряд на всяко тяло, в мерни единици кулони (международната мерна единица за заряд).
  • r е разстоянието между заредените тела.
  • r, with, hat, on top е променлив единичен вектор, който ни напомня, че силата сочи по правата между двата заряда. Ако зарядите са подобни, силата е сила на отблъскване; ако зарядите са противоположни, силата е сила на привличане.

Електричната константа, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, диелектричната проницаемост на свободното пространство

K, константата на пропорционалност, често се появява в този вид:
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction
и законът на Кулон се записва в този вид:
F, with, vector, on top, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction, r, with, hat, on top
Гръцката буква \epsilon, start subscript, 0, end subscript е електричната константа, също позната като диелектрична проницаемост на свободното пространство (свободното пространство е вакуум). Законът на Кулон описва нещо, което се случва в природата. Електричната константа, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, описва експерименталната постановка и системата мерни единици. "Експериментални условия" се отнася до измерване на F, with, vector, on top върху точкови заряди (или нещо, което действа като точков заряд, като заредени сфери). В международната система за мерните единици, \epsilon, start subscript, 0, end subscript експериментално се измерва на:
\epsilon, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, comma, 854187817, times, 10, start superscript, −, 12, end superscript кулонsquared, slash нютон-метърsquared
Тази стойност на \epsilon, start subscript, 0, end subscript прави:
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, dot, 8, comma, 854, dot, 10, start superscript, −, 12, end superscript, end fraction, equals, 8, comma, 987, dot, 10, start superscript, 9, end superscript
или за инженерни цели закръгляме K на нещо по-лесно за помнене:
K, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, equals, 9, dot, 10, start superscript, 9, end superscript
Измеренията на K са: нютон-метърsquared, slashкулонsquared.

Пример: три точкови заряди

За първия пример използваме закона на Кулон, за да изчислим силата на заряда от два близки заряда. Поставяме три заряда на върховете на триъгълник 30, degrees, minus, 60, degrees, minus, 90, degrees. q, start subscript, 2, end subscript, с тъмното очертание, е тестовият ни заряд.
Сега поставяме някои стойности на зарядите (кулони) и разделението (метри):

Намери силата (големина и посока) на q, start subscript, 2, end subscript, зарядът от plus, 3, start text, C, end text.

Изчисли силата между всяка двойка заряди. В този пример има два вектора на силите, за които да помислим, {q, start subscript, 0, end subscript до q, start subscript, 2, end subscript} и {q, start subscript, 1, end subscript до q, start subscript, 2, end subscript}. Отделните вектори на силите са на директна права между двойките заряди.
За простота ще използваме K като константата на пропорционалност. Приложи закона на Кулон, за да изчислиш силата. Работим с големините и ъглите поотделно. Големините на силите са:
F, equals, K, start fraction, q, start subscript, 0, end subscript, q, start subscript, 1, end subscript, divided by, r, squared, end fraction
start color #11accd, F, start subscript, 02, end subscript, equals, K, start fraction, 4, dot, 3, divided by, left parenthesis, square root of, 3, end square root, right parenthesis, squared, end fraction, equals, K, dot, 4, end color #11accdсила на q, start subscript, 2, end subscript от q, start subscript, 0, end subscript (отблъсква)
start color #1fab54, F, start subscript, 12, end subscript, equals, K, start fraction, 1, dot, 3, divided by, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, end fraction, equals, K, dot, 3, end color #1fab54сила на q, start subscript, 2, end subscript от q, start subscript, 1, end subscript (привлича)
Намерихме големините на двойките сили.
Крайната стъпка е да извършим сборуване на вектори, за да получим големината и посоката на крайния вектор на силата.
Векторите на силите образуват страните на правоъгълен триъгълник 3-4-5.
Големината на получаващата се сила е:
vertical bar, F, start subscript, 2, end subscript, vertical bar, equals, K, dot, square root of, 3, squared, plus, 4, squared, end square root, equals, K, dot, 5
Открий ъгъла angle, F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, като преброиш градусите от хоризонталата, започвайки при заряда от 4, start text, C, end text:
Вътрешни ъгли на двата ни триъгълника:
Ъгълът на триъгълника 3-4-5 идва от \arcsin, left parenthesis, 4, slash, 5, right parenthesis, equals, 53, comma, 13, degrees и \arcsin, left parenthesis, 3, slash, 5, right parenthesis, equals, 36, comma, point, 86, degrees
Сливането на триъгълниците в едно ни показва как ъглите се комбинират (сини стрелки):
Ъгълът от 30, degrees получава отрицателен знак, понеже се върти по часовниковата стрелка, докато ъгълът 36, comma, 9, degrees се събира с положителен знак, понеже се върти обратно на часовниковата стрелка.
angle, F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, 30, degrees, plus, 36, comma, 9, degrees, equals, plus, 6, comma, 9, degrees
Като съберем големината и ъгъла, силата F, with, vector, on top, start subscript, 2, end subscript върху q, start subscript, 2, end subscript в нютони е:
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, K, dot, 5, angle, 6, comma, 9, degrees
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 9, dot, 10, start superscript, 9, end superscript, right parenthesis, dot, 5, angle, 6, comma, 9, degrees
F, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, equals, 4, comma, 5, times, 10, start superscript, 10, end superscript, angle, 6, comma, 9, degrees, start text, н, ю, т, о, н, а, end text

Пример: права на заряд с точков заряд накрая

Права на заряд дълга L метра има общ заряд Q. Приеми, че общият заряд, Q, е равномерно разпределен по правата. Точков заряд q е позициониран на a метра от единия край на правата.

Намери общата сила върху заряд q, позициониран извън края на правата на заряд

Правата съдържа общ заряд Q кулона. Можем да подходим към тази задача, като помислим за правата като куп отделни точкови заряди, стоящи един до друг. За да изчислим цялата сила върху q от правата, сборуваме (интегрираме) отделните сили от всеки точков заряд в правата.
Дефинираме плътността на заряда в правата като start fraction, Q, divided by, L, end fraction кулона/метър.
Идеята за плътност на заряда ни позволява да изразим количеството заряд, start text, d, end text, Q, в малка част от правата, start text, d, end text, x, като:
start text, d, end text, Q, equals, start fraction, Q, divided by, L, end fraction, start text, d, end text, x
start text, d, end text, Q е достатъчно близко до това да е точков заряд, че да ни позволи да приложим закона на Кулон. Можем да открием посоката на силата веднага: Силата върху q от всяко start text, d, end text, Q е насочена право между q и start text, d, end text, Q. Като решихме посоките, следва големината на силата:
start text, d, end text, F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start text, d, end text, Q, divided by, x, squared, end fraction
Числителят умножава двата заряда, q и start text, d, end text, Q; знаменателят x е разстоянието между двата заряда.
За да намериш общата сила, събери всички сили от всяко start text, d, end text, Q, като интегрираш от близкия край на правата (start text, a, end text) до далечния край (start text, a, end text, plus, start text, L, end text).
F, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start text, d, end text, F, with, vector, on top, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, start text, d, end text, Q, divided by, x, squared, end fraction
Уравнението включва и x, и start text, d, end text, Q като променливи. За да стигнем до една единична независима променлива, елиминираме start text, d, end text, Q, като го заменяме с израза Q, slash, L, start text, d, end text, x от по-горе:
F, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, L, end fraction, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, start text, d, end text, x
Премести всичко, което не зависи от x, извън интеграла.
F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, L, end fraction, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, a, plus, L, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, start text, d, end text, x
И реши интеграла,
F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, a, left parenthesis, a, plus, L, right parenthesis, end fraction
Някои неща, които да забележим за решението:
  • Числителят е произведението на тестовия заряд и общия заряд на правата, което е логично.
  • Знаменателят има вида start text, р, а, з, с, т, о, я, н, и, е, end text, squared, създадено от комбинация от разстояние до близкия край и далечния край на правата. Видът a, left parenthesis, a, plus, L, right parenthesis на знаменателя възниква от определената геометрия на този пример.
  • Ако точковият заряд q се придвижи много надалеч от правата, L става незначително в сравнение с a и знаменателят се доближава до a, squared. Тоест на голямо разстояние правата започва да наподобява отдалечен точков заряд и, както човек би се надявал, уравнението се доближава до закона на Кулон за два точкови заряда.
Ще направим още няколко задачи по електростатика с прости геометрии на зарядите. След това изчисленията стават доста сложни, така че общата стратегия със сложните геометрии става: раздели геометрията на по-прости версии, с които знаем как да работим, после слей отговорите.

Стратегии за прилагане на закона на Кулон

Законът на Кулон е добър избор за ситуации с точкови заряди и/или прости симетрични геометрии като прави или сфери на заряд.
Тъй като законът на Кулон е основан на чифтните сили между зарядите, когато сме изправени пред множество (повече от два) точкови заряда:
  1. Работи върху силите между всяка двойка заряди.
  2. Завърши със събиране на вектори, за да слееш чифтните сили в една единствена получаваща се сила.
За ситуация с разпределен заряд, креативно моделирай разпределения заряд като сбор от точкови заряда:
  1. Изобрети малко start text, d, end text, Q, което представлява безкрайно малък заряд в областта на разпределения заряд.
  2. Работи върху чифтните сили между точковия заряд и всяко малко start text, d, end text, Q.
  3. Сборувай силите с интеграл. Това е векторна сума за получаване на резултантната сила.