Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Електрична потенциална енергия и напрежение

Електрична сила

Електричната сила съществува между заряди, както е описана от закона на Кулон. Решен пример: линия на заряд с q на края. Написано от Уили МакАлистър.

Проучването ни на електричеството започва с електростатиката и електростатичната сила, една от четирите фундаментални сили на природата. Електростатичната сила е описана от закона на Кулон. Използваме закона на Кулон, за да намерим силите, създадени от конфигурации заряд.

Електростатиката работи със сили между заряди. Статика означава, че зарядите не се движат или поне не се движат много бързо.

[Колко бързо е "не много бързо"?]

Заряд

Откъде знаем, че има такова нещо като заряд? Конценцията за заряд възниква от наблюдение на природата: Наблюдаваме сили между тела. Електричен заряд е свойство на тела, което дава начало на тази наблюдавана сила. Като гравитацията, електричната сила "действа на разстояние". Идеята, че сила може да "действа на разстояние" е доста зашеметяваща, но така прави природата.

Електричните сили са много големи, доста по-големи от силата на гравитацията. За разлика от гравитацията, има два вида елекричен заряд (окато има само един вид гравитация; гравитацията само привлича):

Противоположните заряди се привличат,

Подобните заряди се отблъскват,

Сили между заряди: Закон на Кулон за електричната сила

Законът на Кулон много добре описва този естествен феномен. Законът има следния вид:

\vec{F} = K \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}} \hat{r}

Където

$\vec{F}$ ‍ е електричната сила, насочена по права между двете заредени тела.
$K$ ‍ е константа на пропорционалност, която свързва лявата страна на уравнението (нютони) с дясната страна (кулони и метри). Тя е необходима, за да намерим правилния отговор, когато правим реален експеримент.
$q_{0}$ ‍ и $q_{1}$ ‍ представляват количеството заряд на всяко тяло, в мерни единици кулони (международната мерна единица за заряд).
$r$ ‍ е разстоянието между заредените тела.
$\hat{r}$ ‍ е променлив единичен вектор, който ни напомня, че силата сочи по правата между двата заряда. Ако зарядите са подобни, силата е сила на отблъскване; ако зарядите са противоположни, силата е сила на привличане.

Електричната константа, $ϵ_{0}$ ‍, диелектричната проницаемост на свободното пространство

K

, константата на пропорционалност, често се появява в този вид:

[защо?]

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}}

и законът на Кулон се записва в този вид:

\vec{F} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}} \hat{r}

Гръцката буква

ϵ_{0}

е електричната константа, също позната като диелектрична проницаемост на свободното пространство (свободното пространство е вакуум). Законът на Кулон описва нещо, което се случва в природата. Електричната константа,

ϵ_{0}

, описва експерименталната постановка и системата мерни единици. "Експериментални условия" се отнася до измерване на

\vec{F}

върху точкови заряди (или нещо, което действа като точков заряд, като заредени сфери). В международната система за мерните единици,

ϵ_{0}

експериментално се измерва на:

ϵ_{0} = 8,854 187817 \times 10^{- 12}

кулон

^{2} /

нютон-метър

^{2}

Тази стойност на

ϵ_{0}

прави:

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} = \frac{1}{4 π \cdot 8,854 \cdot 10^{- 12}} = 8,987 \cdot 10^{9}

или за инженерни цели закръгляме

K

на нещо по-лесно за помнене:

K = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} = 9 \cdot 10^{9}

Измеренията на

K

са: нютон-метър

^{2} /

кулон

^{2}

Пример: три точкови заряди

За първия пример използваме закона на Кулон, за да изчислим силата на заряда от два близки заряда. Поставяме три заряда на върховете на триъгълник

30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}

q_{2}

, с тъмното очертание, е тестовият ни заряд.

Сега поставяме някои стойности на зарядите (кулони) и разделението (метри):

Намери силата (големина и посока) на $q_{2}$ ‍, зарядът от $+ 3 C$ ‍.

Изчисли силата между всяка двойка заряди. В този пример има два вектора на силите, за които да помислим, {

q_{0}

до

q_{2}

} и {

q_{1}

до

q_{2}

}. Отделните вектори на силите са на директна права между двойките заряди.

За простота ще използваме

K

като константата на пропорционалност. Приложи закона на Кулон, за да изчислиш силата. Работим с големините и ъглите поотделно. Големините на силите са:

F = K \frac{q_{0} q_{1}}{r^{2}}

F_{02} = K \frac{4 \cdot 3}{(\sqrt{3})^{2}} = K \cdot 4

сила на

q_{2}

от

q_{0}

(отблъсква)

F_{12} = K \frac{1 \cdot 3}{(1)^{2}} = K \cdot 3

сила на

q_{2}

от

q_{1}

(привлича)

Намерихме големините на двойките сили.
Крайната стъпка е да извършим сборуване на вектори, за да получим големината и посоката на крайния вектор на силата.

Векторите на силите образуват страните на правоъгълен триъгълник 3-4-5.
Големината на получаващата се сила е:

| F_{2} | = K \cdot \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = K \cdot 5

Открий ъгъла

∠ {\vec{F}}_{2}

, като преброиш градусите от хоризонталата, започвайки при заряда от

4 C

Вътрешни ъгли на двата ни триъгълника:

Ъгълът на триъгълника 3-4-5 идва от

\arcsin (4 / 5) = 53, 13^{\circ}

\arcsin (3 / 5) = 36, {.86}^{\circ}

Сливането на триъгълниците в едно ни показва как ъглите се комбинират (сини стрелки):

Ъгълът от

30^{\circ}

получава отрицателен знак, понеже се върти по часовниковата стрелка, докато ъгълът

36, 9^{\circ}

се събира с положителен знак, понеже се върти обратно на часовниковата стрелка.

∠ {\vec{F}}_{2} = - 30^{\circ} + 36, 9^{\circ} = + 6, 9^{\circ}

Като съберем големината и ъгъла, силата

{\vec{F}}_{2}

върху

q_{2}

в нютони е:

\vec{F_{2}} = K \cdot 5 ∠ 6, 9^{\circ}

\vec{F_{2}} = (9 \cdot 10^{9}) \cdot 5 ∠ 6, 9^{\circ}

\vec{F_{2}} = 4, 5 \times 10^{10} ∠ 6, 9^{\circ} нютона

Пример: права на заряд с точков заряд накрая

Права на заряд дълга

L

метра има общ заряд

Q

. Приеми, че общият заряд,

Q

, е равномерно разпределен по правата. Точков заряд

q

е позициониран на

a

метра от единия край на правата.

Намери общата сила върху заряд $q$ ‍, позициониран извън края на правата на заряд

Правата съдържа общ заряд

Q

кулона. Можем да подходим към тази задача, като помислим за правата като куп отделни точкови заряди, стоящи един до друг. За да изчислим цялата сила върху

q

от правата, сборуваме (интегрираме) отделните сили от всеки точков заряд в правата.

Дефинираме плътността на заряда в правата като

\frac{Q}{L}

кулона/метър.

Идеята за плътност на заряда ни позволява да изразим количеството заряд,

d Q

, в малка част от правата,

d x

, като:

d Q = \frac{Q}{L} d x

d Q

е достатъчно близко до това да е точков заряд, че да ни позволи да приложим закона на Кулон. Можем да открием посоката на силата веднага: Силата върху

q

от всяко

d Q

е насочена право между

q

d Q

. Като решихме посоките, следва големината на силата:

d F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q d Q}{x^{2}}

Числителят умножава двата заряда,

q

d Q

; знаменателят

x

е разстоянието между двата заряда.

За да намериш общата сила, събери всички сили от всяко

d Q

, като интегрираш от близкия край на правата (

a

) до далечния край (

a + L

F = \int_{a}^{a + L} d \vec{F} = \int_{a}^{a + L} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q d Q}{x^{2}}

Уравнението включва и

x

, и

d Q

като променливи. За да стигнем до една единична независима променлива, елиминираме

d Q

, като го заменяме с израза

Q / L d x

от по-горе:

F = \int_{a}^{a + L} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{L} \frac{1}{x^{2}} d x

Премести всичко, което не зависи от

x

, извън интеграла.

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{L} \int_{a}^{a + L} \frac{1}{x^{2}} d x

И реши интеграла,

[подсказка]

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{a (a + L)}

Някои неща, които да забележим за решението:

Числителят е произведението на тестовия заряд и общия заряд на правата, което е логично.
Знаменателят има вида ${разстояние}^{2}$ ‍, създадено от комбинация от разстояние до близкия край и далечния край на правата. Видът $a (a + L)$ ‍ на знаменателя възниква от определената геометрия на този пример.
Ако точковият заряд $q$ ‍ се придвижи много надалеч от правата, $L$ ‍ става незначително в сравнение с $a$ ‍ и знаменателят се доближава до $a^{2}$ ‍. Тоест на голямо разстояние правата започва да наподобява отдалечен точков заряд и, както човек би се надявал, уравнението се доближава до закона на Кулон за два точкови заряда.

Ще направим още няколко задачи по електростатика с прости геометрии на зарядите. След това изчисленията стават доста сложни, така че общата стратегия със сложните геометрии става: раздели геометрията на по-прости версии, с които знаем как да работим, после слей отговорите.

Стратегии за прилагане на закона на Кулон

Законът на Кулон е добър избор за ситуации с точкови заряди и/или прости симетрични геометрии като прави или сфери на заряд.

Тъй като законът на Кулон е основан на чифтните сили между зарядите, когато сме изправени пред множество (повече от два) точкови заряда:

Работи върху силите между всяка двойка заряди.
Завърши със събиране на вектори, за да слееш чифтните сили в една единствена получаваща се сила.

За ситуация с разпределен заряд, креативно моделирай разпределения заряд като сбор от точкови заряда:

Изобрети малко $d Q$ ‍, което представлява безкрайно малък заряд в областта на разпределения заряд.
Работи върху чифтните сили между точковия заряд и всяко малко $d Q$ ‍.
Сборувай силите с интеграл. Това е векторна сума за получаване на резултантната сила.