Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Електрична потенциална енергия и напрежение

Електричен потенциал, напрежение

Формално определение на електричен потенциал и напрежение. Написано от Уили МакАлистър.

Законът на Кулон ни позволява да изчислим силите между статични заряди. Сега ще разгледаме какво се случва, ако зарядите се движат наоколо. Ще открием какво означава извършване на работа в едно електрично поле и ще изведем формални определения за някои нови понятия.

електростатична потенциална енергия
електричен потенциал

Електричната сила и електричното поле са векторни величини (имат големина и посока). Електричният потенциал е скаларна величина (има само големина), което е много удобно.

Нека създадем една проста верига и да зададем няколко въпроса. Започваме с два положителни точкови заряда, разделени от някакво разстояние r, start subscript, A, end subscript. В тази дискусия Q ще остане фиксиран на място, а q (тестовият ни заряд) ще се движи.

Q отблъсква q (и обратно) със сила, описана от закона на Кулон,

F, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, q, Q, divided by, r, start subscript, A, end subscript, squared, end fraction

Казано по друг начин, по отношение на електричното поле Q създава поле навсякъде в пространството,

E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, squared, end fraction

(посоката на полето на Q е по радиална линия, сочеща настрани от Q).

На разстояние r, start subscript, A, end subscript от q електричното поле е

E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, start subscript, A, end subscript, squared, end fraction

Можем да изведем силата върху q от Q по отношение на електричното поле по следния начин:

F, equals, q, E

Малкото човече в това изображение показва, че нещо трябва да задържа q на едно място. След малко ще накараме малкото човече да свърши малко работа.

Работа и потенциална енергия

Сила е всяко взаимодействие, което променя движението на едно тяло – тласкане или теглене. F, equals, m, a.

Общото определение за работа е "сила, действаща от определено разстояние" или W, equals, F, dot, d. С обозначението на електричното поле, W, equals, q, E, dot, d

Енергия е "способността да се извърши работа." Когато едно тяло има енергия, то има способността да извърши работа.

Когато една сила извърши работа върху едно тяло, може да се съхрани потенциална енергия. Тяло с потенциална енергия има потенциал да извърши работа. (Не извършва работа сега, но има потенциала да го направи.) Едно тяло има потенциална енергия поради позицията си.

Работата и потенциалната енергия са близко свързани. Допълнителната потенциална енергия, съдържаща се в тялото, е равна на работата, извършена за "пренасянето" на тялото до новата му позиция.

Можеш да прочетеш за концепциите работа и енергия по подробно тук.

Силово поле

Полето е област в пространството, в която наблюдаваме сили. Гравитацията, електричеството и магнетизмът създават полета.

Едно силово поле е консервативно, ако едно тяло се движи в затворен път (движи се по затворена траектория) и не се извършва сумарна работа, обратна на действието на силата, свързана с полето.

Гравитацията е консервативна. Когато вдигнеш една книга, извършваш работа върху книгата. Ако нежно свалиш книгата обратно надолу, книгата извършва работа върху теб. Сумарното количество работа е 0. Можеш да я вдигнеш и свалиш 100 пъти и ако книгата стигне до първоначалната височина, сумарното количество работа е 0. Ако движиш книгата хоризонтално, количеството работа също е 0, понеже няма противопоставяща се сила в хоризонтална посока.

Статичното електрично поле също е консервативно. Без значение по каква траектория се движи заредено тяло в полето, ако зарядът се върне до началната си точка, сумарното количество работа е 0.

Електричната потенциална енергия прилича на гравитационната потенциална енергия

Поведението на заряди в едно електрично поле наподобява поведението на маси в гравитационно поле. Точно както говорим за гравитационна потенциална енергия, можем да говорим и за електрична потенциална енергия.

[подобно, но не точно същото]

И при гравитацията, и при електричеството важното нещо е разликата в потенциалната енергия. Където и да се намира книгата ти, тя има някаква потенциална енергия. Когато придвижиш книгата, ти добавяш или премахваш потенциална енергия в зависимост от мястото, откъдето я преместваш. При движението на зарядите съответно добавяш или премахваш електрична потенциална енергия спрямо началната позиция на заряда.

Ако се чудиш дали едно тяло има потенциална енергия, махни всичко, което може би го задържа на мястото му. Ако тялото се задвижи, то е имало потенциална енергия. Ябълка пада от дърво и те удря по челото? Имала е потенциална енергия. Освобождаваме един заряд в електрично поле; ако той се задвижи, значи е имал потенциална енергия.

Извършване на работа в електрично поле

Какво се случва, ако придвижим q по-близо до Q? Колко работа е извършена? За да придвижим q към Q, трябва да "бутаме" q достатъчно силно, че да преодолеем електричната сила на отблъскване.

[колко силно?]

Колко работа е извършена за преместването на q от точка A до точка B в едно електрично поле?

Когато зарядите се движат в едно електрично поле, нещо трябва да извърши работа, за да накара заряда да се движи. За да придвижим q, прилагаме сила, достатъчна само едва-едва да преодолее отблъскващата сила от Q.

Да видим:
Количеството извършена работа е силата по разстоянието, W, equals, F, dot, d . Изминатото разстояние е left parenthesis, r, start subscript, A, end subscript, minus, r, start subscript, B, end subscript, right parenthesis. Колко е силата? Това е малко по-сложно, понеже силата се променя през целия път. Колкото по-близо стигаме до Q, толкова по-голяма е силата на отблъскване. Колкото по-близо достигнем, толкова по-силно трябва да "бутаме", за да накараме q да се движи. Да поставим няколко променливи, за да можем да говорим за това, което се случва тук.

r е разстоянието от Q до настоящата позиция на q.
start text, d, end text, r е малка промяна в разстоянието. start text, d, end text, r е толкова малко, че можем да считаме електричната сила за постоянна през това разстояние.

Във всяко електрично поле силата върху един положителен заряд е F, equals, q, E.

Необходимата външна сила сочи в противоположната посока, F, start subscript, в, ъ, н, ш, н, а, end subscript, equals, minus, q, E.

За конкретния ни пример близо до един точков заряд, електричното поле около Q е

E, equals, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, squared, end fraction

И необходимата за преместването на q външна сила е

F, start subscript, e, x, t, end subscript, equals, minus, q, E, equals, minus, q, dot, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, squared, end fraction

За да се справим с проблема с промяната на силата във всяка точка, записваме израз за малкото количество работа, необходимо за преместване на q на малко разстояние start text, d, end text, r. Предположението, което правим, е, че можем да направим start text, d, end text, r толкова малко, че силата да е постоянна за това разстояние. От определението за работа

start text, d, end text, W, equals, minus, q, E, dot, start text, d, end text, r, equals, minus, q, start fraction, 1, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, Q, divided by, r, squared, end fraction, start text, d, end text, r

За да намерим общата работа за придвижването от А до В, събираме всички малки количества работа

W, start subscript, A, B, end subscript, equals, integral, start subscript, r, start subscript, A, end subscript, end subscript, start superscript, r, start subscript, B, end subscript, end superscript, minus, q, E, dot, start text, d, end text, r

W, start subscript, A, B, end subscript, equals, minus, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, integral, start subscript, r, start subscript, A, end subscript, end subscript, start superscript, r, start subscript, B, end subscript, end superscript, start fraction, 1, divided by, r, squared, end fraction, start text, d, end text, r

Като решаваме определения интеграл,

[подсказка]

W, start subscript, A, B, end subscript, equals, minus, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, dot, left parenthesis, minus, start fraction, 1, divided by, r, end fraction, right parenthesis, vertical bar, start subscript, r, start subscript, A, end subscript, end subscript, start superscript, r, start subscript, B, end subscript, end superscript

Външната работа за придвижване на заряд q от A до B близо до точков заряд Q е

W, start subscript, A, B, end subscript, equals, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, B, end subscript, end fraction, minus, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, A, end subscript, end fraction, right parenthesis

Електростатична потенциална енергия

Въпрос: Как се е променила потенциалната енергия на q?

Промяната на потенциалната енергия на q е равна на работата, извършена върху q, за неговото преместване от A до B,

\displaystyle \text{разлика в електростатичната потенциална енергия}_{AB} = \int_{r_A}^{r_B} -q \vec E \cdot \text dr = \dfrac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0} \left ( \frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right )

start text, р, а, з, л, и, к, а, space, в, space, е, л, е, к, т, р, о, с, т, а, т, и, ч, н, а, т, а, space, п, о, т, е, н, ц, и, а, л, н, а, space, е, н, е, р, г, и, я, end text, start subscript, A, B, end subscript, equals, integral, start subscript, r, start subscript, A, end subscript, end subscript, start superscript, r, start subscript, B, end subscript, end superscript, minus, q, E, with, vector, on top, dot, start text, d, end text, r, equals, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, B, end subscript, end fraction, minus, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, A, end subscript, end fraction, right parenthesis

Както работата, електростатичната потенциална енергия е скаларна величина.

Сега преработваме този израз и се появява нещо специално. Този начин на разсъждение е подобен на разсъждението ни за електричното поле.

Умножаваме членовете

\displaystyle \text{разлика в електростатичната потенциална енергия}_{AB} = \left (\dfrac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r_B} \right ) - \left (\dfrac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r_A} \right )

start text, р, а, з, л, и, к, а, space, в, space, е, л, е, к, т, р, о, с, т, а, т, и, ч, н, а, т, а, space, п, о, т, е, н, ц, и, а, л, н, а, space, е, н, е, р, г, и, я, end text, start subscript, A, B, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, B, end subscript, end fraction, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, r, start subscript, A, end subscript, end fraction, right parenthesis

Наименуваме двата члена, за да можем да говорим за тях. Поставяме

U, start subscript, r, end subscript, equals, start fraction, q, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, r, end fraction

U, start subscript, r, end subscript представлява електростатичната потенциална енергия на заряда q, когато той е на разстояние r от Q. Промяната в енергията от A до B може да бъде записана като:

U, start subscript, A, end subscript и U, start subscript, B, end subscript са свързани с едно местоположение в пространството. Тоест U, start subscript, B, end subscript зависи само от местоположение B, а U, start subscript, A, end subscript зависи само от местоположение A. (И двете зависят от стойностите на q и Q.) Това предполага, че U може да се приеме за свойство на едно местоположение. Можем да разглеждаме електростатичната потенциална енергия като поле, което съществува в пространството около Q. Потенциалната енергия е скаларна величина, така че полето на потенциалната енергия е скаларна величина. Има големина навсякъде в пространството, но няма посока. (Друг пример за скаларно поле е температурата навсякъде в стаята).

Обърни внимание също, че този израз не споменава никакви други точки, така че разликата в потенциалната енергия е независима от пътя от А до В, по който преминаваш. Това е резултат от консервативната природа на електричните полета.

Разлика в електричния потенциал

С друго опростяване намираме нов начин да помислим какво се случва в едно електрическо пространство. Уравнението по-горе за разликата в електростатичната потенциална енергия изразява как потенциалната енергия се променя за произволен заряд q, когато върху него се извърши работа в електрично поле. Определяме нов член, разлика в електричния потенциал (като махаме думите "-статична" и "енергия"), който да представлява нормализираната промяна в електростатичната потенциална енергия.

start text, р, а, з, л, и, к, а, space, в, space, е, л, е, к, т, р, и, ч, е, с, к, и, я, end text, start cancel, п, о, т, е, н, ц, и, а, л, end cancel, start subscript, A, B, end subscript, equals, start fraction, U, start subscript, B, end subscript, divided by, q, end fraction, minus, start fraction, U, start subscript, A, end subscript, divided by, q, end fraction

Разликата в електричния потенциал е промяната на потенциалната енергия, изпитана от един тестов заряд, който има стойност от plus, 1.

Разликата в електростатичната потенциална енергия се измерва с мерната единица джаул.
Разликата в електричния потенциал се измерва с мерна единица джаул/кулон.

Електричен потенциал

Можем да наименуваме двата члена в предишното уравнение за разликата в електричния потенциал. Можем да кажем, че има електричен потенциал навсякъде в пространството около Q, изразен като

start text, е, л, е, к, т, р, и, ч, е, н, space, п, о, т, е, н, ц, и, а, л, space, end text, equals, start fraction, U, start subscript, r, end subscript, divided by, q, end fraction

Може да изглежда странно да мислим за това като за свойство на пространството. (Но не е по-странно от идеята за електрично поле.) По същество казваме, че ако поставим единица тестов заряд на това място, то ще има тази потенциална енергия. Махаме единицата заряд и свойството на пространството пак остава.

Можем да използваме концепцията за електричния потенциал, за да проведем цялата тази дискусия наобратно. Да предположим, че знаем как изглежда електричния потенциал в някаква област в пространството. Можем да намерим работата, необходима за придвижване на едно заредено тяло между две местоположения като:

Изваждаме началния потенциал от крайния потенциал, за да получим разликата в потенциала, и
Умножаваме разликата в потенциала по действителния заряд на внесеното тяло.

Електричен потенциал близо до точков заряд

Близо до точков заряд можем да "свържем точките" с еднакъв потенциал, което ни показва равно потенциални контури. Помни, за един точков заряд има значение само разликата в радиуса, тоест равно потенциалните контури са кръгове с център в заряда, които създават потенциалното поле, в този случай Q.

Напрежение

Разликата в електричния потенциал има много специално име. Наричаме я напрежение, което се измерва с мерната единица волт, в чест на Алесандро Волта, създателят на батерията. Напрежението между точки А и В е

start text, н, а, п, р, е, ж, е, н, и, е, end text, start subscript, A, B, end subscript, equals, start text, р, а, з, л, и, к, а, space, в, end text, start text, е, л, е, к, т, р, и, ч, н, и, я, space, п, о, т, е, н, ц, и, а, л, end text, start subscript, A, B, end subscript, equals, start fraction, U, start subscript, B, end subscript, divided by, q, end fraction, minus, start fraction, U, start subscript, A, end subscript, divided by, q, end fraction

Абсолютно напрежение

До сега всички формули се отнасяха за разлика в електричния потенциал. Говорехме за разлика в потенциала между тук и там. Можем ли да измислим понятие за абсолютна разлика в потенциала (абсолютно напрежение)? Да, можем, в определен смисъл. Един установен общоприет начин е да определим start text, н, а, п, р, е, ж, е, н, и, е, end text, equals, 0 в една точка, отдалечена на безкрайно разстояние. В този случай можем да дефинираме абсолютното напрежение, като определим началното местоположение в r, start subscript, A, end subscript, equals, infinity. И тогава напрежението в точка, отдалечена с r от точков заряд, е

start text, V, end text, start subscript, r, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, r, end fraction, right parenthesis, minus, start cancel, left parenthesis, start fraction, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, infinity, end fraction, right parenthesis, end cancel, start superscript, 0, end superscript

Членът с 1, slash, infinity става 0. Абсолютното напрежение в дадена точка в такъв случай се определя като външната работа, необходима за придвижване на единица тестов заряд от безкрайност до някаква точка.

start text, V, end text, start subscript, r, end subscript, equals, start fraction, Q, divided by, 4, pi, \epsilon, start subscript, 0, end subscript, end fraction, start fraction, 1, divided by, r, end fraction

Тук няма нищо магическо. Това е просто преобръщане на фразата. Означава същото нещо като да кажем, че напрежението в точка x е разликата в потенциала между х и безкрайност. Това върши работа, защото и в двата случая приемаме, че отправната точка за нулево напрежение е в безкрайност.

[Още за гравитацията.]

Да обобщим

Термините, които използваме, могат да звучат еднакви, така че е лесно да ги объркаме.

Електростатична потенциална енергия е свойство на едно заредено тяло поради местоположението му в едно електрично поле. Електростатичната потенциална енергия съществува, ако на това местоположение има заредено тяло.
Разликата в електричния потенциал, също позната като напрежение, е външната работа, необходима за преместване на един заряд от едно място на друго място в електрично поле. Разликата в електричния потенциал е промяната в потенциалната енергия, изпитана от един тестов заряд, който има големина plus, 1.
Електричният потенциал съществува на дадено място като свойство на пространството. Дадено местоположение има електричен потенциал, дори ако там няма заредена частица.
Абсолютното напрежение в дадена точка е нещо, за което можем да говорим, ако всички са съгласни, че 0 волта са чак при безкрайност. Концепцията за абсолютно напрежение е един вид вербално "жонглиране". Винаги е безопасно да се придържаме към следното определение: напрежението е разлика в потенциала.

Концепцията за напрежението тук е развита чрез използване на фиксиран точков заряд Q като източник на електричното поле. Намерихме точен израз за напрежението в пространството около Q. Цялата идея за електричен потенциал и напрежение е валидна за всеки вид подреждане на заряди. Разбира се, има различно специфично решение всеки път (уравнението по-горе за U, equals, point, point, point се променя, но всичко след това, използващо U, пак е правилно). Силата на концепцията за напрежението е в това, че описва пространството със скаларно поле. Не е нужно да следим посоките на векторите. Това значително опростява изчисленията.

Какво е волт ?

Може би забеляза, че нещо липсва. Не сме предоставили детайли за мерната единица за напрежението: волт. Волтът е така наречената "производна единица от международната система". Статията за Стандартни мерни единици за електричество съдържа подробно определение за волт.

[Използвани източници]

[Авторски права]