Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Електрична потенциална енергия и напрежение

Еднородно зареден плосък лист

Пример за напреднали: Електрично поле, създадено от еднородно заредена безкрайна равнина. Написано от Уили МакАлистър.

Пример: Електрично поле в близост до еднородно зареден плосък лист

Да разгледаме следващата интересна конфигурация на заряда – електрично поле близо до заредена плоскост.

Резултатът ще покаже, че електричното поле близо до безкраен зареден плосък лист не зависи от разстоянието до плоския лист (полето не спада).

Представи си, че имаме безкрайна заредена плоскост.

Общият заряд на плоскостта, разбира се, е безкрайност, но полезният за нас параметър е количеството заряд на единица площ, плътността на заряда,

σ (C / m^{2})

Какво е електричното поле, дължащо се на заредената плоскост, на разстояние $a$ ‍ от плоскостта?

Благодарение на симетрията в примера можем да зададем някои променливи:

$a$ ‍ е перпендикулярна права, спусната от плоскостта до мястото на тестовия заряд $q$ ‍.
Представи си зареден пръстен в равнината, центърът на който е мястото, където правата $a$ ‍ докосва плоскостта. Радиусът на пръстена е $r$ ‍, а безкрайно малката дебелина е $d r$ ‍.
$d Q$ ‍ е безкрайно малка заредена област от пръстена.
Линия $ℓ$ ‍ преминава от мястото на $d Q$ ‍ до мястото на тестовия заряд.
$d E$ ‍ е електричното поле в точка $q$ ‍, създадено от $d Q$ ‍.

Знаем полето в точка

q

, създадено от

d Q

; то съвпада с определението за поле, създадено от точков заряд:

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{ℓ^{2}}

За да намерим електричното поле за цялата плоскост, трябва да интегрираме два пъти:

първото интегриране е да вземем измененията на $d Q$ ‍ по обиколката на пръстена, за да получим приноса към полето от един определен пръстен, а
второто интегриране е да съберем приносите от всички възможни пръстени (от радиус нула до радиус безкрайност).

Взимаме измененията по обиколката на пръстена, за да получим приноса към полето от един отделен пръстен

Структурата на пръстена удобно ни позволява да избегнем първия интеграл. Всички части на пръстена са еднакво отдалечени от

ℓ

от

q

, така че всяко

d Q

създава поле с еднаква големина в

q

. Наличието на симетрия означава, че приносите за полето от всички

d Q

в един пръстен са насочени в една посока спрямо равнината, по линия

a

. Защо? Понеже всяка странична компонента на полето от определен

d Q

се неутрализира от компонент на полето от

d Q

в противоположната посока спрямо пръстена. Частта на електричното поле право напред по посока на

a

, която означаваме като

d E_{a}

, е свързана с

d E

Аргументът за симетрията е по-ясен при малко по-различна гледна точка спрямо равнината и тестовия заряд. На тези диаграми безкрайната плоскост в дясната част на диаграмата е показана отстрани. От тази гледна точка пръстенът изглежда като вертикална синя линия.

$d Q_{1}$ ‍ е малък заряд, позициониран на върха на пръстена.
$d Q_{2}$ ‍ е малък заряд, позициониран симетрично върху пръстена, в най-долната част.
Приносите на електричните полета от двете $d Q$ ‍ са $d E_{1}$ ‍ и $d E_{2}$ ‍.

Тестовият заряд

q

е на разстояние

ℓ

и от

d Q_{1}

, и от

d Q_{2}

, следователно

d E_{1}

d E_{2}

имат еднаква големина (но различна посока).

Векторите на електричното поле могат да бъдат разложени на ортогонални компоненти, които сочат в посока "

a

" и в посока "

r

". Компонентите "

r

" на двата вектора на електричното поле имат равни големини и сочат в противоположни посоки. Следователно се неутрализират и сумарното електрично поле в посока "

r

" е нула.

Това, което остава, са компонентите "

a

" на двете електрични полета. Тези компоненти са равни по големина и сочат в една и съща посока. Следователно тези приноси се подсилват взаимно и се сумират до

d E_{1 + 2}

Следващата диаграма е малко по-проста. Разглеждаме само едното

d E

и премахваме долния индекс 1. Специално разглеждаме електричното поле, разложено на две ортогонални компоненти,

d E_{r}

d E_{a}

Като използваме подобието на триъгълниците, виждаме, че отношението на компонентата на полето в посока

a

d E_{a}

, спрямо

d E

е същото като отношението на разстоянието

a

към

ℓ

. От определението за косинус,

\frac{a}{ℓ} = \cos θ

От подобието на триъгълниците следва:

\frac{d E_{a}}{d E} = \cos θ

Следователно компонентата в посока

a

на електричното поле от

d Q

е:

d E_{a} = d E \cos θ

d E_{a} = d E \cos θ

Което ни дава това за

d E_{a}

, полето от единичния точков заряд

d Q

d E_{a} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{ℓ^{2}} \cos θ

След това изразяваме приноса към полето от един цял пръстен

d E_{п р ъ с т е н}

d E_{п р ъ с т е н а} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q_{п р ъ с т е н а}}{ℓ^{2}} cos θ

d Q_{п р ъ с т е н а}

е общият заряд, съдържащ се в един пръстен – това е сборът от индивидуалните точкови

d Q

, изграждащи пръстена. Това може да бъде изчислено без интеграл. Общият заряд на един обръч е плътността на заряда в плоскостта

σ

, по площта на пръстена,

d Q_{п р ъ с т е н а} = σ \cdot (2 π r \cdot d r)

Електричното поле в точката, където се намира

q

, е създадено от пръстена с радиус

r

, съдържащо заряд

Q_{п р ъ с т е н а}

, и е равно на:

d E_{п р ъ с т е н а} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π r d r}{ℓ^{2}} cos θ

Сега знаем полето, допринесено от един отделен пръстен.

Интегрирай приносите от всички възможни пръстени

Следващата стъпка е да съберем всички възможни пръстени. За нещастие, не можем да се измъкнем от това интегриране. Точно както направихме за примера с линеен заряд, извършваме смяна на променливите, като заменяме

d r

d θ

С тази смяна на променливите целим да изразим

d θ

чрез

d r

, което позволява

d r

да бъде елиминирано.

Някои полезни тъждества, основани на определенията на тригонометричните функции:

\cos θ = \frac{a}{ℓ} ℓ = a \frac{1}{cos θ} = a sec θ ℓ^{2} = a^{2} {sec}^{2} θ

tg θ = \frac{r}{a} r = a tan θ

За да изразим

d θ

, взимаме производната на

r

спрямо

θ

, като използваме тъждеството за тангенс:

\frac{d r}{d θ} = \frac{d}{d θ} a tan θ

\frac{d r}{d θ} = a {sec}^{2} θ

d r = a {sec}^{2} θ d θ

Да си припомним израза за

d E_{п р ъ с т е н а}

d E_{h o o p} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π r d r}{ℓ^{2}} cos θ

Заместваме с тъждествата за

r

d r

ℓ^{2}

d E_{h o o p} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π (a tg θ) (a \sec^{2} θ d θ)}{(a^{2} {sec}^{2} θ)} cos θ

След опростяване и някои зрелищни съкращения, смяната на променливата е завършена:

d E_{п р ъ с т е н} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} tan θ \cdot cos θ d θ

(Забележи, че всички членове, съдържащи

a

, се съкратиха.)

След смяната на променливата можем да построим диаграмата по отношение на

d θ

θ

и формулата за полето за един пръстен става:

d E_{п р ъ с т е н} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} tan θ \cdot cos θ d θ

което може да бъде опростено още малко,

d E_{п р ъ с т е н} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

Нещо много интересно се случи. В резултат на смяната на променливата и съкращаването всички

r

a

изчезват! Да, точно така! В получаващия се израз за

d E_{п р ъ с т е н}

НЯМА зависимост от разстоянието. Забележително.

Почти сме готови. Готови сме да извършим интегрирането:

E = \int_{в с и ч к и п р ъ с т е н и} d E_{п р ъ с т е н}

където

E

е общото електрично поле от всички пръстени. Замести

d E_{п р ъ с т е н а}

E = \int_{ъ г л и т е т е т а} \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

Какви са границите за ъгъла при интегрирането? Най-малкият възможен пръстен е при

r

е нула;

ℓ

съвпада с

a

θ

е нула. Най-големият пръстен е когато

r

е безкрайност; линията

ℓ

излиза от хоризонта във всяка посока, а

θ

90^{\circ}

или

π / 2

радиана. Тоест границите са от

θ = 0 до π / 2

радиана.

E = \int_{0}^{π / 2} \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

E = - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} cos θ |_{0}^{+ π / 2} = - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} (0 - 1)

Електричното поле на безкрайна заредена плоскост е:

E = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

нютона/кулон

Заключение

Това е електричното поле (силата върху единица положителен заряд) на заредена плоскост. Удивително, изразът за полето не съдържа член за разстоянието, така че полето на заредена плоскост не намалява с разстоянието! За тази въображаема безкрайна заредена плоскост няма значение дали си на един милиметър, или на един километър от равнината, електричното поле е същото.

В този пример разгледахме безкрайна заредена плоскост. Във физичния свят няма такова нещо, но резултатът се прилага забележително добре към реални плоскости, стига площта им да превишава значително

a

и мястото да не е твърде близо до ръба на плоскостта.

Преглед

Като използваме определението за електрично поле, техниката за анализ е:

Зарядът поражда електрично поле.
Електричното поле действа локално върху тестов заряд.

Обобщавайки трите разработени досега примера за електрично поле:

Полето от	"спада" съгласно
точков заряд	$1 / r^{2}$ ‍
заредена линия	$1 / r^{1}$ ‍
заредена плоскост	$1 / r^{0}$ ‍

Тези три конфигурации на заряда са полезни инструменти за прогнозирането на електричното поле в множество практични ситуации.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)