Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 7: Трептящи кръгове

LC трептящ кръг – извеждане

Математическо описание на реакцията на LC трептящ кръг, при което намираме честотата на трептене. Написано от Уили МакАлистър.

Да представим математически свободните трептения в една резонансна верига (наричана още трептящ кръг), т.е. електрическа верига, съдържаща индуктор и кондензатор

LC

Тук се раждат синусовите вълни.

История

В тази статия показваме стъпка по стъпка решаването на диференциално уравнение от

2

-ри ред. Не приемам, че имаш предишен опит с този вид уравнение. Сал също има видеа за решаването на уравнения от 2-ри ред. Как се решават диференциални уравнения от

1

-ви ред е показано стъпка по стъпка в статиите за свободните трептения на резонански кръгове от вида

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

. Също така гледай видеата на Сал за решаване на диференциални уравнения от 1-ви ред.

Основни идеи

Свободните трептения в една индукторно-кондензаторна

LC

верига се описват с хомогенно диференциално уравнение от втори ред:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

Изразяваме големината на тока:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

тук

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

е свободното трептение на

LC

веригата, а

V_{0}

е началното напрежение на кондензатора.

В електроинженерството използваме буквата

j

като

\sqrt{- 1}

.
(Буквата

i

вече е заета от тока.)

Въведение

Системи от първи ред

Досега сме разглеждали системи от първи ред – резисторно-кондензаторни

\underset{―}{RC}

и резисторно-индукторни

\underset{―}{RL}

резонансни вериги, които имат един елемент за съхраняване на енергия – кондензатор

C

или индуктор

L

. Свободното трептене на резонасни вериги от първи ред има експоненциална форма, която "скача" към крайната си стойност. Енергията в техните елементи за съхранение се разсейва от резистора.

Системи от втори ред

Сега ще разгледаме верига с два елемента за съхранение на енергия и без резистор. Електрическите вериги с два елемента за съхранение са системи от втори ред, понеже се описват с уравнения с втора производна.

В тази статия разглеждаме реакцията на индукторно-кондензаторна

LC

верига, една от последните две вериги, които ще опишем с обикновено диференциално уравнение. Последната верига с този вид решение е резисторно-индукторно-кондензаторната

RLC

верига (в следващата статия). Решаването на диференциалните уравнения става все по-трудно. За щастие, след като приключим с

LC

RLC

веригите, ще научим хубав пряк път, с който да си улесним живота.

Ще работим с диференциални уравнения, вместо да преминем направо към прекия път, понеже искам да ти покажа откъде идва синусовата вълна в електрониката. Синусовите вълни са свързани с решението на уравнения от втори ред. Те са градивният блок за всички други видове сигнали.

Системите от втори ред са първите системи, които осцилират напред-назад във времето, или трептят. Класически пример за механична система от втори ред е часовник с махало. В електрониката класическата система от втори ред е индукторно-кондензаторната

LC

верига.

Свободни трептения в резонасна верига

Искаме да опишем свободните трептения на

LC

веригата. Свободните трептения са това, което прави веригата, когато няма външна задвижваща сила. Свободните трептения винаги са важна част от характеристиката на една верига.

Свободни трептения в резонасна верига от $2$ ‍-ри ред

За да получим прецизен отговор за свободните трептения, нека да приемем, че във веригата има някаква начална енергия. Означаваме компонентите, като обръщаме специално внимание на прилагането на конвенцията за знаците на пасивни компоненти. Индукторът има начален ток

0 A

, понеже ключът в началото е в отворена позиция. Приемаме, че в кондензатора има начално напрежение преди ключът да се затвори,

v_{C} = - V_{0}

. ( Обърни внимание, че

v_{C}

има знак

+

отдолу.) Оставяме ключа да се затвори в момент

t = 0

Както при всеки анализ на верига, започваме, като записваме един от законите на Кирхоф. В този случай ще използваме закона на Кирхоф за напрежението (KVL) во затворения контур, като започнем отдолу вляво и се завъртим по часовниковата стрелка.

v_{L} + v_{C} = 0

L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Това уравнение на закона на Кирхоф за напрежението съдържа интеграл, с който е сложно да се занимаваме. Начинът да се отървем от интеграл (също познат като примитивна функция) е да намерим производната му. Намираме производната на всеки член в уравнението.

\frac{d}{d t} (L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t) = \frac{d}{d t} 0

Така получаваме втората производна на члена

L

, отърваваме се от интеграла в члена

1 / C

и пак ни остава

0

в дясната страна.

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

Уравнението е по-прегледно, ако първият член няма коефициент, така че делим на

L

. Това диференциално уравнение от втори ред описва същността на веригата ни.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Предлагане на решение

Когато анализирахме математически веригите от първи ред

RC

RL

, предполагахме експоненциално уравнение за

i (t)

. Предполагането работи и с уравнения от втори ред. За уравнението от втори ред има подобни изисквания: искаме функцията и производните ѝ да изглеждат подобни, така че да могат да дадат сбор от

0

. Показателната функция съвпада с описанието. Предполагаме показателна функция с някои променливи параметри:

i (t) = K e^{s t}

K

е членът за амплитудата, който мащабира нагоре или надолу тока.

s

се съдържа в степенния показател и стои до времето

t

. Тъй като степенните показатели нямат измерения,

s

трябва да има мерни единици от

1 / t

, което също се нарича и честота. Тъй като търсим свободни трептения,

s

се нарича свободна честота.

Сега заместваме с предложената фунция в диференциалното уравнение и проверяваме дали прави уравнението вярно.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) + \frac{1}{LC} (K e^{s t}) = 0

Нека поработим върху първия член, като намерим две производни. Първата производна е:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

И сега втората производна:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) = \frac{d}{d t} (s K e^{s t}) = s^{2} K e^{s t}

Заместваме с новата втора производна обратно в уравнението:

s^{2} K e^{s t} + \frac{1}{LC} K e^{s t} = 0

Сега разлагаме на множители, за да изнесем

K e^{s t}

пред скоби:

K e^{s t} (s^{2} + \frac{1}{LC}) = 0

По колко начина можем да направим това уравнение вярно?

K = 0

е доста скучно.

0 = 0

, кой го е грижа?

e^{s t}

никога не става нула за ограничен период от време.

Това ни оставя интересното решение, когато членът (

s + 1 / LC)

е равен на

0

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Това уравнение са нарича характеристично уравнение на веригата. Искаме да намерим корените на характеристичното уравнение (стойността (стойностите) на

s

, която (които) прави (правят) лявата страна равна на нула).

s^{2} = - \frac{1}{LC}

Уха, гледай какво ще се случи. Трябва да коренуваме отрицателно число. Ще получим имагинерно число.

s

има две възможни стойности:

s_{1} = + j \sqrt{\frac{1}{LC}}

s_{2} = - j \sqrt{\frac{1}{LC}}

Електроинженерите използват буквата

j

, за да обозначат имагинерната единица

\sqrt{- 1}

, тъй като вече използваме

i

за тока.

Накратко, даваме име на члена с квадратния корен:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

[Какъв е този крив символ w?]

Корените на характеристичното уравнение могат да бъдат изразени спрямо

ω_{o}

като:

s_{1} = + j ω_{\circ}

s_{2} = - j ω_{\circ}

Какво ще кажеш!

LC

веригата произвежда две комплексни свободни честоти,

s_{1}

s_{2}

. И една от свободните честоти е отрицателна. Любопитно. Това ще е много интересно.

Или

s_{1}

, или

s_{2}

само по себе си е корен на уравнението. За предложеното ни решение ще допуснем, че са възможни и двете свободни честоти,

s_{1}

s_{2}

. Така че записваме общо решение като линейна комбинация от два члена с два променящи се параметъра

K

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

В този момент може да си мислиш: "Комплексни степенни показатели? Отрицателна честота? Наистина ли се случва това?" Отговорът е "да". Така че, моля, изчакай, докато работим с тези изрази.

Равенства на Ойлер

За да работим с тези комплексни степенни показатели, прибягваме до важно равенство.

Като използваме разлагане на числовите редове на Маклорен за

e^{j x}

\sin j x

\cos j x

е възможно да изведем тъждества на Ойлер:

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Във видеото в линка всеки път, когато Сал казва

i

, ние ще кажем

j

Тези равенства ни позволяват да превърнем странното нещо

e^{и м а г и н е р н о}

в нормално комплексно число. Реалната и имагинерната части идват от косинусова или синусова функция, така че и реалната, и имагинерната компоненти са някъде в диапазона от

- 1

до

+ 1

Използвай равенствата на Ойлер

Можем да използваме равенствата на Ойлер в предложеното решение.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

i (t) = K_{1} (\cos ω_{\circ} t + j \sin ω_{\circ} t) + K_{2} (\cos ω_{\circ} t - j \sin ω_{\circ} t)

Умножи по константите:

i (t) = K_{1} \cos ω_{\circ} t + j K_{1} \sin ω_{\circ} t + K_{2} \cos ω_{\circ} t - j K_{2} \sin ω_{\circ} t,

и събери членовете синус и косинус:

i (t) = (K_{1} + K_{2}) \cos ω_{\circ} t + j (K_{1} - K_{2}) \sin ω_{\circ} t

Не знаем нито

K_{1}

или

K_{2}

, нито техните сбор или разлика. Изглежда напълно разумно да заменим неизвестните

K

с различна неизвестна

A

, за да направим нещата да изглеждат малко по-прости.

Ако поставим

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

, а

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

), тогава

i (t)

е:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

Използвахме равенствата на Ойлер, за да преобразуваме комплексните степенни показатели в сбор на тригонометрични тъждества. Това уравнение е първата ни среща със синус и косинус като функция на времето (синусоидална форма на вълната), докато учим електроника.

(Забележи как дефинирахме

A_{2}

да включва

j (K_{1} - K_{2})

, така че

j

вече не се появява директно в предложеното решение.)

Проверка на предложеното решение

След това проверяваме предложеното решение, като го вкарваме в диференциалното уравнение от втори ред. Ако можем да намерим стойности за костантите, които правят уравнението вярно, предложеното ни решение е вярно.

Намери началните условия

Началните условия, необходими за резонасна верига от втори ред, са по-сложни от тези за верига от първи ред. Когато правехме това за вериги от първи ред,

RC

или

RL

, трябваше да знаем една величина – началния ток или напрежение. С верига от втори ред

LC

трябва да знаем две неща: тока и производната на тока, когато ключът се затвори.

Записваме всичко, което знаем за

t = 0^{-}

(моментът точно преди ключът да се затвори):

Ключът е отворен, така че $i (0^{-}) = 0$ ‍
Началното напрежение на кондензатора е известно: $v_{C} (0^{-}) = - V_{0}$ ‍.

Ако

t = 0^{+}

е моментът точно след като ключът се затвори, целта ни е да намерим

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

Знаем някои характеристики на индукторите и кондензаторите, които ще ни отведат от

t = 0^{-}

до

t = 0^{+}

Токът на индуктора не може да се промени незабавно, така че
$i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍
Напрежението на кондензатора не може да се промени незабавно, така че
$v (0^{+}) = v (0^{-}) = V_{0}$ ‍

(След като ключът се затвори, има само едно

v

, така че просто ще го наричаме

v

отсега нататък.)

Сега имаме

i (0^{+})

, но все още не и

d i / d t (0^{+})

. Откъде можем да получим тази производна? Ами от уравнението

i

v

на индуктора?

v = L \frac{d i}{d t}

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} v (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Сега имаме второто начално условие. Това ни казва, че в момента точно след като ключът се затвори, токът в индуктора започва да се променя с наклон от

V_{0} / L

ампера всяка секунда.

Обобщение на началните условия

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Използвай началните условия, за да намериш $A_{1}$ ‍ и $A_{2}$ ‍

Използваме началните условия едно по едно, за да намерим константите. Първото начално условие е

i = 0

при

t = 0^{+}

. Нека го заместим в предложеното решение и да видим къде ще ни отведе:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

0 = A_{1} \cos (ω_{\circ} \cdot 0) + A_{2} \sin (ω_{\circ} \cdot 0)

0 = A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0 = A_{1} \cos 0 \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + A_{2} \sin 0 \end{array}

0 = A_{1}

A_{1}

0

, така че предложеният член косинус отпада от решението. Предложеното ни решение сега изглежда така:

i (t) = A_{2} \sin ω_{\circ} t

Сега търсим

A_{2}

, като използваме второто начално условие. Производната на

i

при

t = 0^{+}

е:

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Вземи производната на предложеното

i (t)

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} \sin ω_{\circ} t)

\frac{d i}{d t} = ω_{\circ} A_{2} \cos ω_{\circ} t

Изчисляване на този израз при

t = 0

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cos (ω_{\circ} \cdot 0)

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cdot 1

A_{2} = \frac{1}{ω_{\circ} L} V_{0}

Можем да разширим

ω_{\circ}

L

C

, за да получим:

[покажи ми го алгебрично]

A_{2} = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0}

И накрая, след много усърдна работа, решението за тока е:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

Реални стойности на компонентите

За да демонстрираме как изглежда решението, поставяме стойности на компонентите

L = 1

хенри и

C = 1 / 4

фарад, и начално напрежение на кондензатора от

10 V

Естествената честота

ω_{\circ}

е:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \sqrt{\frac{1}{1 \cdot 1 / 4}} = 2 радиана/секунда

Токът като функция на времето е:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t = \sqrt{\frac{1 / 4}{1}} 10 \sin ω_{\circ} t

i (t) = 5 \sin 2 t

Токът започва да се покачва в момента, в който ключът се затвори:

Токът поема на модел на синусова вълна, който продължава вечно. (Няма резистор в тази идеална верига, така че енергията никога не се разсейва. Във вериги от реалния живот ще има малки съпротивления, които в крайна сметка разсейват енергията.)

Свободната честота на синусовата вълна е

ω_{\circ} = 2 радиана / сек

. Можем да преобразуваме от радиани в секунда в цикли в секунда, (също познато като херц, или

Hz

), като знаем, че

1

пълен цикъл на синусова функция съответства на

2 π

радиана. Обикновено използваме символа

f

за цикли в секунда. Преобразуването е:

ω = 2 π f

Свободната честота на веригата в цикли в секунда, херцове,

Hz

, е

f = \frac{2 радиана/сек}{2 π} = \frac{1}{π} Hz,

или, равностойно, токът завършва пълен цикъл на всеки

π

секунди.

Бърз поглед обратно към началните условия

Можем да погледнем близо до началната точка, за да видим как решението описва началните условия. Синусовата вълна започва в началната точка,

i = 0

. И забележи как наклонът на синята синусова вълна близо но началната точка съвпада с наклона на правата черна линия,

i = 10 A / sec

Напрежение, $v (t)$ ‍

В този момент сме намерили големината на тока. Ако искаш да продължиш малко по-нататък, опитай да намериш напрежението

v (t)

Намери израз за $v (t)$ ‍ след като ключът се затвори.

Вероятно най-бързият път е да използваме индукторното

i

v

уравнение, за да намерим

v

спрямо

d i / d t

v (t) =

[Покажи отговора]

Обобщение

Описахме свободните трептения в една индукторно-кондензаторна

LC

верига, като първо съставихме това хомогенно диференциално уравнение от втори ред:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

После приехме решение от вида

K e^{s t}

, което ни даде характеристичното уравнение за веригата:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Когато изчислявахме корените на характеристичното уравнение, се натъкнахме на много странен израз:

e^{j ω_{\circ} t}

, степен с комплексен степенен показател. После бръкнахме в торбата си с трикове и извадихме:

Равенства на Ойлер

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Тези равенства ни позволиха да изразим комплексния степенен показател като комбинация от синусови и косинусови функции. (В електроинженерството използваме буквата

j

за означение на

\sqrt{- 1} .

)

После разгледахме внимателно веригата, за да намерим началните условия. За система от втори ред намерихме начално

i

и начално

d i / d t

Открихме функция за

i (t)

, която удовлетвори диференциалното уравнение:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

ω_{\circ} \equiv \sqrt{\frac{1}{LC}}

е свободната честота на

LC

веригата.

V_{0}

е началното напрежение на кондензатора.

(Това решение се използва, когато началният ток в индуктора е

0

[Авторски права]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

История

Основни идеи

Въведение

Системи от първи ред

Системи от втори ред

Свободни трептения в резонасна верига

Свободни трептения в резонасна верига от 2‍ -ри ред

Предлагане на решение

Равенства на Ойлер

Използвай равенствата на Ойлер

Проверка на предложеното решение

Намери началните условия

Обобщение на началните условия

Използвай началните условия, за да намериш A1‍ и A2‍

Реални стойности на компонентите

Бърз поглед обратно към началните условия

Напрежение, v(t)‍

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Свободни трептения в резонасна верига от $2$ ‍-ри ред

Използвай началните условия, за да намериш $A_{1}$ ‍ и $A_{2}$ ‍

Напрежение, $v (t)$ ‍