Основно съдържание

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 7: Трептящи кръгове

RLC трептящ кръг – извеждане

Логично описание на реакцията на резистор-индуктор-кондензаторна (RLC) верига. Написано от Уили МакАлистър.

Въведение

Нека разгледаме по-задълбочено реакцията на резистор-индуктор-кондензаторна верига

(RLC)

. Това е последната верига, която ще опишем с обикновено диференциално уравнение.

RLC

веригата е представителна за вериги от реалния живот, които можем да построим, тъй като всяка верига има някакво крайно съпротивление. Тази верига има богато и сложно поведение, което намира приложение в много области на електроинженерството.

Основни идеи

Ще моделираме

RLC

веригата с линейно диференциално уравнение от

2

-ри ред с тока

i

като независима променлива:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Получаващото се характеристично уравнение е:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Ще намерим корените на характеристичното уравнение, като използваме формулата за корените на квадратното уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Като заместим с променливите

α

ω_{o}

, можем да запишем

s

малко по-просто като:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

където

α = \frac{R}{2 L}

, а

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

се нарича коефициент на затихване, а

ω_{o}

е резонансната честота.

Ще анализираме примерна

RLC

верига със специфични стойности на компонентите и ще определим как изглеждат токът и напреженията.

Стратегия

Следваме същата линия на разсъждения, която използвахме за решаване на LC веригата от втори ред в по-ранна статия.

Съставяме диференциално уравнение от втори ред, основано на $i$ ‍- $v$ ‍ уравненията за компонентите $R$ ‍, $L$ ‍ и $C$ ‍. Ще използваме закона на Кирхоф за напрежението, за да съставим уравнението.
Правим информирано предположение за решението. Както обикновено, предположението ни ще е експоненциална функция от вида $K e^{s t}$ ‍.
Заместваме предложеното решение в диференциалното уравнение. Изнасяме пред скоби експоненциалните членове и ни остава характеристичното уравнение с променлива $s$ ‍.
Намираме корените на характеристичното уравнение. Този път ще трябва да използваме формулата за корените на квадратното уравнение, за да намерим корените.
Намираме константите, като отчитаме началните условия.
Отпразнуваме решението.

Моделиране на веригата с диференциално уравнение

[бележки за определянето на напрежението]

Когато ключът се затвори, веригата изглежда ето така (сега отбелязваме напрежението на индуктора и резистора с

v_{L}

v_{R}

За всеки отделен елемент можем да запишем

i

v

уравнения.

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{R} = - i R

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

Можем да запишем закона на Кирхоф за напрежението (KVL), като започнем в долния ляв ъгъл и сборуваме напреженията, движейки се по затворения контур по часовниковата стрелка. При индуктора има покачване на напрежението, докато при резистора и кондензатора има пад на напрежението.

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Като заменим членовете

v

със съответните членове

i

, получаваме:

L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Ако искахме, можехме да атакуваме това уравнение и да опитаме да го решим, но е странно да работим с интегралния член. Можем да "премахнем" интеграла, ако намерим производната на цялото уравнение.

\frac{d}{d t} [L \frac{d i}{d t} + R i + \frac{1}{C} \int i d t = 0]

Това ни дава следното уравнение с втора производна, първа производна и прост

i

член, всички все още равни на

0

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Това се нарича хомогенно обикновено диференциално уравнение от втори ред. Хомогенно е, понеже всеки член е свързан с

i

и производните му. То е от втори ред, понеже най-високата производна е втора производна. Обикновено е, понеже има само една независима променлива (няма частични производни). Сега започваме да решаваме диференциалното уравнение.

Предлагане на решение

Точно както направихме при предишните задачи за свободните третпения в резонансни вериги от различни видове ( RC, RL, LC), приемаме решение от експоненциален вид. Експоненциалните функции имат чудесната характеристика, че производните много приличат на оригиналната функция. Когато имаш множество производни, участващи в диференциално уравнение, е хубаво, когато изглеждат подобни. Приемаме решение с този вид:

i (t) = K e^{s t}

K

е настройващ се показател, който представлява амплитудата на тока.

s

е степенният показател до

t

, така че трябва да представлява някакъв вид честота (

s

трябва да има мерни единици

1 / t

). Наричаме това естествена честота.

Проверка на предложеното решение

След това замести предложеното решение в диференциалното уравнение. Ако уравнението се окаже вярно, тогава решението ни е правилно.

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} + R \frac{d}{d t} K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Сега нека поработим върху членовете с производните.

Среден член: Първата производна на члена

R

R \frac{d}{d t} K e^{s t} = s R K e^{s t}

Водещ член: Взимаме производната на водещия

K e^{s t}

член два пъти:

\frac{d}{d t} K e^{s t} = s K e^{s t}

\frac{d}{d t} s K e^{s t} = s^{2} K e^{s t}

така че водещият член става:

L \frac{d^{2}}{d t^{2}} K e^{s t} = s^{2} L K e^{s t}

Заместваме тези обратно в диференциалното уравнение:

s^{2} L K e^{s t} + s R K e^{s t} + \frac{1}{C} K e^{s t} = 0

Сега можем да изнесем общия член

K e^{s t}

K e^{s t} (s^{2} L + s R + \frac{1}{C}) = 0

Направи уравнението вярно

Сега нека намерим по колко начина можем да направим това уравнение вярно.

Можем да поставим

K

да е равно на

0

. Това означава, че

i = 0

и не поставяме нищо във веригата, и не получаваме нищо. Доста скучно.

Членът

e^{s t}

никога не става

0

, освен ако не чакаме докато

t

стигне

\infty

. Това е дълго време отсега. Това ни оставя с един интересен начин да направим уравнението вярно: ако членът с всички

s

е нула.

s^{2} L + s R + \frac{1}{C} = 0

Това се нарича характеристично уравнение на

LRC

резонасната верига.

Намери корените на характеристичното уравнение

Нека намерим стойностите на

s

, които правят характеристичното уравнение вярно. (Искаме да намерим корените на характеристичното уравнение.)

Имаме точно правилния инструмент за това – формулата за корените на квадратното уравнение:

За всяко квадратно уравнение от вида

a x^{2} + b x + c = 0

формулата за намиране на корените на квадратно уравнение ни дава корените (пресичанията на нулата):

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Ако се върнем към характеристичното уравнение, можем да заместим стойностите на компонентите на веригата, за да получим корените.

a = L

b = R

c = 1 / C

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Това е отговорът за

s

, естествената честота. Трябва да разчепкаме това още малко, за да получим представа за значението на решението.

Можем да направим обозначението малко по-компактно, като заменим части на израза с две нови променливи,

α

ω_{o}

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Нека запиша характеристичното уравнение по този начин

(

като разделим на

L)

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Ако използваме

α

ω_{o}

, характеристичното уравнение може да бъде записано по следния начин:

s^{2} + 2 α s + ω_{o}^{2} = 0

Можем да преработим формулата за корените на квадратното уравнение, като вкараме знаменателя

2 L

във всеки член на числителя:

s = - \frac{R}{2 L} \pm \sqrt{{(\frac{R}{2 L})}^{2} - (\frac{4 L / C}{4 L^{2}})}

Вторият член под квадратния корен се свежда до:

(\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = (\frac{4 L / C}{4 L^{2}}) = \frac{1}{LC}

И това ни позволява да изразим

s

спрямо

α

ω_{o}

като:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

Знаем, че

s

е някакъв вид честота (трябва да има мерни единици

1 / t

). Това означава, че двата члена, съставящи

s

, също са някакъв вид честота.

$α$ ‍ се нарича коефициент на затихване. Той определя колко бързо общият сигнал спада до нула.
$ω_{o}$ ‍ се нарича резонансна честота. Тя ще определи колко бързо системата се люлее напред-назад. Това е същата резонансна честота, която определихме при свободните трептения на $LC$ ‍ резонансна верига.

Предложено решение, актуализирано

С помощта на формулата за корените на квадратното уравнение получихме две решения за

s

, ще ги наречем

s_{1}

s_{2}

. Трябва да включим и двете в предложеното решение, така че актуализираме предложеното си решение до линейна комбинация (суперпозиция) на два отделни експоненциални члена с четири настройващи се показателя:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

s_{1}

s_{2}

са естествени честоти,

K_{1}

K_{2}

са членове за амплитудата.

Примерна верига

Сега ще ни е полезно да разгледаме конкретен пример с реални стойности на компонентите, за да видим как се получава едно определено решение. Ето я примерната ни верига:

Диференциалното уравнение за

RLC

веригата е

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

С реални стойности на компонентите става:

1 \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 2 \frac{d i}{d t} + 5 i = 0

Както винаги правим, приемаме решение от вида

i (t) = K e^{s t}

Извършваме анализа, който направихме по-горе, което води до следното характеристично уравнение:

s^{2} + 2 s + 5 = 0

Намираме корените на характеристичното уравнение с формулата за корените на квадратното уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

С реални стойности на компонентите:

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2}

s = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2}

s = - 1 \pm \frac{\sqrt{- 16}}{2}

s = - 1 \pm j 2

(Електроинженерите използват буквата

j

за имагинерното

\sqrt{- 1}

, тъй като използваме

i

като символ за тока.)

Получаваме комплексен отговор, точно както при свободното трептене на

LC

резонансна верига, само че този път комплексният отговор включва и реална част, и имагинерна част.

Намирането на корените на характеристичното уравнение ни даде два възможни отговора за

s

, така че предложеното решение за

i

сега е записано като суперпозицията на два различни експоненциални члена:

i = K_{1} e^{(- 1 + j 2) t} + K_{2} e^{(- 1 - j 2) t}

Членовете в степенните показатели са комплексно спрегнати числа. Нека си поиграем с начина, по който е записано това. Можем да разделим реалните и имагинерните части на степенните показатели:

i = K_{1} e^{- 1 t} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- 1 t} e^{- j 2 t},

и да изнесем общия член

e^{- 1 t}

i = e^{- t} (K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t})

Забележи, че след като изнесохме пред скоби реалната част на

s

, получихме водещ член, намаляващ експоненциал,

e^{- t}

Членовете в скобите са сбор от два имагинерни експоненциала, в които степенните показатели са комплексно спрегнати числа. Това изглежда точно като това, което видяхме при свободното трептене в

LC

резонансен кръг. Както направихме тогава, викаме на помощ формулата на Ойлер.

Формула на Ойлер

Като използваме разлагане на числовите редове на Маклорен за

e^{j x}

\sin j x

\cos j x

е възможно да изведем формула на Ойлер:

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Във видеото в линка, където Сал казва

i

, ние казваме

j

Тези формули ни позволяват да превърнем

e^{и м а г и н е р н о ч и с л о}

в нормално комплексно число.

Използвай формулата на Ойлер

Можем да използваме формулата на Ойлер, за да преобразуваме сбора

K_{1} e^{+ j 2 t} + K_{2} e^{- j 2 t}

K_{1} (\cos 2 t + j \sin 2 t) + K_{2} (\cos 2 t - j \sin 2 t) .

Умножи с константите

K_{1}

K_{2}

K_{1} \cos 2 t + j K_{1} \sin 2 t + K_{2} \cos 2 t - j K_{2} \sin 2 t,

и събери членовете синус и косинус:

(K_{1} + K_{2}) \cos 2 t + j (K_{1} - K_{2}) \sin 2 t

Без да объркваме уравнението, можем да опростим как изглежда това, ако заменим неизвестните

K

с различна неизвестна,

A

. Нека

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

Предишният израз става:

A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t

И сега поставяме това обратно в предложеното решение:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t)

Дотук добре. Сега трябва да открием

A_{1}

A_{2}

, като използваме началните условия.

Намери началните условия

За уравнение от втори ред ти трябват две начални условия, за да получиш пълно решение: едно за независимата променлива,

i

, и друго за първата ѝ производна,

d i / d t

Ако можем да открием

i

d i / d t

при специфично време, можем да намерим

A_{1}

A_{2}

Намирането на началните условия за

RLC

резонансна верига е почти същото като за LC верига. Просто трябва да вземем предвид резистора.

Ето какво знаем за

t = 0^{-}

(момента преди ключът да се затвори):

Ключът е отворен, така че $i (0^{-}) = 0$ ‍
Началното напрежение на кондензатора е уточнено: $v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ ‍

Ако

t = 0^{+}

е моментът точно след като ключът се затвори, целта ни е да намерим

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

. Знаем някои свойства на индукторите и кондензаторите, които ни казват какво се случва, когато ключът се затвори, преминавайки от

t = 0^{-}

до

t = 0^{+}

Токът на индуктора не се променя веднага, така че $i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0$ ‍
Токът на кондензатора не се променя внезапно, така че $v_{C} (0^{+}) = v_{C} (0^{-}) = V_{0}$ ‍

Сега знаем едно начално условие,

i (0^{+}) = 0

, и знаем нещо за напрежението, но не знаем

d i / d t (0^{+})

Нека преминем към второто начално условие,

d i / d t (0^{+})

. Всеки път, когато видя

d i / d t (0^{+})

, това ме кара да мисля за индукторното

i

v

уравнение. Ако можем да определим напрежението между краищата на индуктора, можем да определим

d i / d t

. Нека направим това чрез процеса на елиминиране.

Законът на Кирхоф за напрежението в затворения контур е:

+ v_{L} - v_{R} - v_{C} = 0

Тъй като

i (0^{+}) = 0

, това означава, че напрежението между краищата на резистора,

v_{R}

, трябва да е

0

. Също знаем, че напрежението между краищата на резистора е

v_{C} = V_{0}

. Нека запишем закона на Кирхоф за напрежението с тези стойности.

v_{L} - 0 - V_{0} = 0

И сега знаем напрежението между краищата на индуктора при

t = 0^{+}

v_{L} = V_{0}

Можем да използваме това, за да изведем

d i / d t

, като използваме индукторното

i

v

уравнение.

v_{L} (0^{+}) = L \frac{d i}{d t} (0^{+})

10 = 1 \frac{d i}{d t} (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10 A / sec

В момента точно след като ключът се затвори токът в индуктора има начален наклон от

10

ампера в секунда.

Намери константите $A_{1}$ ‍ и $A_{2}$ ‍, като използваш началните условия

Като напомняне, предложеното решение е:

i = e^{- t} (A_{1} \cos 2 t + A_{2} \sin 2 t)

и началните условия са:

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Ако изчислим

i

при

t = 0

, можем да намерим една от константите

A

. Заместваме

t = 0

i = 0

в предложеното решение:

0 = e^{- 0} (A_{1} \cos 2 \cdot 0 + A_{2} \sin 2 \cdot 0)

0 = 1 (A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0)

0 = (A_{1} \cdot 1 + A_{2} \cdot 0)

A_{1} = 0

A_{1} = 0

, така че членът косинус отпада от решението. Едно готово, едно остава. Предложеното ни решение сега изглежда:

i = A_{2} e^{- t} \sin 2 t

Нека изследвламе

A_{2}

, като използваме второто начално условие:

Трябва ни уравнение за производната на

i

. Откъде можем да получим нещо такова? Ами ако вземем производната на предложеното решение?

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} e^{- t} \sin 2 t)

Предложеното решение е произведението на две функции. За да вземем производната му, използваме правилото за диференциране на произведение на функции:

{(f g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Идентифицирай двете части на произведението и техните производни:

f = A_{2} e^{- t} g = \sin 2 t

f^{'} = - A_{2} e^{- t} g^{'} = 2 \cos 2 t

Събери частите според правилото за диференциране на произведение от функции:

\frac{d i}{d t} = - A_{2} e^{- t} \sin 2 t + A_{2} e^{- t} 2 \cos 2 t

\frac{d i}{d t} = A_{2} e^{- t} (2 \cos 2 t - \sin 2 t)

Можем да изчислим този израз при

t = 0^{+}

10 = A_{2} e^{- 0} (2 \cos 0 - \sin 0)

10 = A_{2} \cdot 1 \cdot (2 - 0) = 2 A_{2}

A_{2} = 5

Решение за тока

И накрая, след куп усърдна работа, решението за тока е:

i = 5 e^{- t} \sin 2 t

Графиката на

i

като функция на времето изглежда ето така:

Когато ключът се затвори, токът рязко скача нагоре и приема формата на първата извивка нагоре на синусова вълна. Синусовата вълна бързо отшумява след няколко залюлявания, понеже енергията в системата бързо се разсейва като топлина, докато зарядът протича през резистора.

Ролята на "триенето" в този пример, изиграна от стойността на резистора, представлява доста висока скорост на разсейване на енергия. Токът видимо променя знака си само два пъти, преди да се установи при нула.

Това е пример за решение със свободно затихване. Ще въведем този описателен термин в следващата част.

Намери напреженията

Има само един ток във веригата. Сега, когато знаем реакцията на тока, можем да намерим реакцията на трите напрежения.

Напрежение на резистора

Използваме закона на Ом, за да намерим напрежението на резистора:

(

има знак

-

, понеже

i

е назад спрямо

v_{R})

v_{R} = - i R

v_{R} = - 5 e^{- t} \sin 2 t \cdot 2 Ω

v_{R} = - 10 e^{- t} \sin 2 t

Напрежение на индуктора

Напрежението на индуктора намираме от уравнението

i

v

на индуктора:

v_{L} = L \frac{d i}{d t}

v_{L} = 1 \cdot \frac{d}{d t} (5 e^{- t} \sin 2 t)

[покажи стъпките на диференциране]

v_{L} = - 5 e^{- t} (\sin 2 t - 2 \cos 2 t)

Напрежение на кондензатора

За да намерим напрежението на кондензатора, използваме интегралния вид на кондензаторното

i

v

уравнение:

(

друг допълнителен знак

-

, понеже посоката на

i

е обърната спрямо

v_{C})

v_{C} = \frac{1}{C} \int - i d t

v_{C} = \frac{1}{1 / 5} \int - 5 e^{- t} \sin 2 t d t

[покажи интегрирането]

v_{C} = 5 e^{- t} (\sin 2 t + 2 \cos 2 t)

Ето ги всички три напрежения на графика заедно:

[Друг начин да намерим напрежението на кондензатора е като използваме закона на Кирхоф за напрежението.]

Обобщение

Резистор-индуктор-кондензаторната

RLC

верига е електронният еквивалент на люлеещо се махало без триене. Веригата може да бъде моделирана с линейно диференциално уравнение от втори ред:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Получаващото се характеристично уравнение е:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Намерихме корените на характеристичното уравнение, като използвахме формулата за корените на квадратното уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Като заместихме с променливите

α

ω_{o}

, записахме

s