RLC естествен отговор – логика

В тази статия разглеждаме какво представлява реакцията на резистор-индуктор-кондензаторна верига $(\text{RLC)}$‍. Това е последната верига, която ще анализираме с обикновено диференциално уравнение, което ще направим в следващите две статии.

$\text{RLC}$‍ веригата е представителна за вериги от реалния живот, които можем да построим, тъй като всяка верига има някакво крайно съпротивление. Тази верига има богато и сложно поведение, което намира приложение в много области на електроинженерството.

За да разберем логически реакцията на $\text{RLC}$‍ резонансната верига, ще разгледаме как се движи зарядът във веригата в течение на времето. Ако поставим начален заряд в кондензатора и после затворим ключа, този заряд ще преминава напред-назад от едната плоча на кондензатора до другата, като преминава през индуктора и резистора в двете посоки. Всеки цикъл на трептене ще е малко по-кратък от предишния, понеже се губи енергия, когато движещият се заряд нагрява резистора.

$\text{RLC}$‍ електрическата верига има механичен аналог: люлеещо се махало. Това е добър начин да онагледим какво се случва във веригата.

За тази дискусия приеми, че съпротивлението на резистора е сравнително малко, например няколко ома. Това допускане е подобно на това, което направихме за реакцията на LC резонасната верига. Този път добавяме малък резистор, което съответства по-добре на веригите в реалния живот.

Да кажем, че кондензаторът има начално напрежение $V_0$‍, което означава, че съхранява някакъв заряд $q$‍. Приеми, че зарядът е постъпил там от някаква външна верига, която не е показана. Понеже ключът е отворен, няма начален ток в индуктора, нито в кондензатора или в резистора. Така че зарядът просто си стои там в кондензатора и не прави нищо.

Какво ще се случи, когато ключът се затвори и оставим веригата да прави "каквото си иска"? Наблюдаваното поведение наричаме свободно трептение. Ще го разгледаме, като проследим какво се случва със заряда $q$‍.

Количеството заряд $q$‍ се определя от произведението на началното напрежение на кондензатора и капацитета на кондензатора, $q=\text{C}{v}_{\text{C}}$‍. В началото целият заряд все още е в кондензатора. Общото количество заряд $q$‍ е постоянно и не се променя по време на свободното трептение. (Можем да проследим къде е, като наблюдаваме напрежението на кондензатора.)

Когато кажем "подаване на заряд на кондензатора", това означава да подадем някакво количество заряд $+q$‍ на горната плоча и точно същото количество $-q$‍ на долната плоча, при което разделяме заряда. В дългосрочен план, в края на свободното трептение, целият този разделен заряд ще е протекъл и ще е открил заряд с противоположния знак, с който да остане, което го прави неутрален. Зарядът не изчезва, но разделението на заряда изчезва.

Като правим нашето допускане, следим $+q$‍ и знаем, че същото количество $-q$‍ се движи в противоположната посока. Опитай да "си представиш" движението на заряда мислено, докато преминаваме през тази дискусия.

Сега затваряме ключа и оставяме $\text{RLC}$‍ веригата да прави "естественото" си нещо.

Индукторът започва с $0$‍ ток и $0$‍ волта. Резисторът също има $0$‍ ток, така че според закона на Ом има $0$‍ волта между краищата на резистора.

Затвореният ключ изведнъж осигурява затворен път за $+$‍ заряда на горната плоча да търси $-$‍ заряда на долната плоча (и обратно, непоказано).

Изведнъж индукторът и резисторът заедно "виждат" напрежението в кондензатора, $v_{\text{C}}={\text{V}}_0$‍. Това напрежение ще създаде ток в индуктора и резистора. Откъде идва този ток? Идва от заряда на кондензатора, разбира се. Зарядът се привлича от електричната сила на привличане към противоположния заряд на другата плоча.

През резистора сега протича ток и законът на Ом ни казва, че ще има пад на напрежението през $\text{R}$‍. Приехме, че $\text{R}$‍ беше малко, така че падът на напрежението също ще е малък. Но все пак резисторът малко се затопля, докато разсейва малко мощност.

В индуктора протича ток, така че той започва да съхранява енергия в ограждащото го магнитно поле. Тази съхранена енергия ще излезе от магнитното поле след малко. (Напрежението между краищата на индуктора е малко по-малко от $v_{\text{C}}$‍, поради малкия пад на напрежението през резистора.)

В кондензатора токът протича навън от горната плоча, преминава през резистора, през индуктора и към долната кондензаторна плоча. Ако $q$‍ слиза надолу, тогава $q=\text{C}v$‍ ни казва, че $v_{\text{C}}$‍ трябва също да слиза надолу.

В крайна сметка стигаме до състояние, в което количеството заряд на горната плоча е същото като на долната плоча. Следователно напрежението между краищата на кондензатора пада до $0$‍.

При индуктора има протичане на ток, въпреки че напрежението е при или близо до $0$‍. Енергията, съхранена в магнитното поле на индуктора, поддържа потока на тока. (Токът не спада рязко до $0$‍, когато напрежението на индуктора стига до $0$‍. Индукторът "не позволява" резки промени на тока.)

Дори след като напрежението падне до $0$‍, токът от индуктора продължава да движи заряд от горната плоча на кондензатора до долната. Сега има повече положителни заряди на долната плоча, отколкото на горната, така че знакът на напрежението се обръща и става отрицателен.

Докато зарядът се натрупва в долната плоча, той отблъсква пристигащия нов заряд от тока на индуктора (електростатично отблъскване). Токът от индуктора се "огъва" и започва да пада към $0$‍.

След известно време напрежението ще стигне до пикова отрицателна стойност. Напрежението ще е отрицателно и малко по-малко от оригиналното $v_{\text{C}}(0)$‍, което имаме в кондензатора в началото. Помниш ли резистора? Той източва енергия от веригата, така че пиковото отрицателно напрежение не е толкова високо, колкото началната точка. Зарядът спира да се движи за кратък момент, когато напрежението е в пик, така че токът спада до $0$‍.

Предишното изображение е почти същото като в началото. Токът е обратно до нула и напрежението е при (малко по-ниска) пикова стойност. Можем да се върнем обратно към началото на историята и да я разкажем същата, освен че зарядът ще се движи от долната плоча на кондензатора обратно към горната. Ето го крайният резултат след един пълен цикъл:

В края на един цикъл сме обратно там, откъдето започнахме, но някаква енергия е била премахната от системата. Зарядът ще продължава да преминава напред-назад между горната и долната кондензаторни плочи, като губи малко енергия всеки път, докато системата в крайна сметка не стигне до покой.

$\text{LC}$‍ веригата е аналогична на механичен осцилатор, люлеещо се махало без триене. $\text{RLC}$‍ веригата има подобен механичен аналог. Добавянето на резистор към $\text{RLC}$‍ е равностойно на добавянето на въздушно съпротивление, за да накараме махалото да разсейва енергия и да спре.

Докато махалото се люлее напред-назад, триенето поради въздушното съпротивление разсейва енергия и всяко залюляване става по-късо и по-късо, докато махалото най-сетне не спре да се движи. Ако въздушното съпротивление е ниско, махалото се люлее дълго време преди да спре. Ако е много високо, махалото прави само едно бавно връщане до долния център и спира. При една прецизна стойност махалото ще падне до долния център колкото бързо може без да преминава по-напред и да се връща назад.

Нашата $\text{RLC}$‍ верига ще прояви същия вид поведение, докато токът и напрежението преминават напред-назад. (Друг добър механичен аналог е тежест, висяща от пружина. Ако дръпнеш тежестта надолу и я пуснеш, нейното движение нагоре-надолу е подобно на движението на махалото напред-назад.)

Помниш ли, че приехме, че съпротивлението на резистора е сравнително малко? Малкото съпротивление позволява на системата да се люлее напред-назад за известно време. Какво мислиш ще се случи, ако съпротивлението на резистора е по-голямо? (Подсказка: Колко дълго ще се люлее махалото, ако триенето в точката на окачване е по-голямо?)

В следващите две статии ще разгледаме прецизно как работи $\text{RLC}$‍ веригата, като направим формално извеждане на реакцията на резонансната верига. Ще можем да предвидим честотата на трептене и ще видим колко бързо отшумява сигналът.

Проследихме заряда, преминаващ през $\text{RLC}$‍ резонасна верига в течение на времето. Започнахме със заряд в кондензатора и затворихме ключа. Зарядът протичаше напред-назад от едната плоча на кондензатора до другата, като преминаваше през индуктора и резистора в двете посоки.

При преминаването на ток през индуктора той съхранява енергия в магнитното поле, което го огражда. Тази енергия се връща във веригата, като избутва заряд по нея.

Всеки цикъл на трептене е малко по-нисък от предишния, поради загубената енергия, тъй като движещият се заряд нагрява резистора.

Люлеещото се махало е механичен аналог на $\text{RLC}$‍ електрична верига. Помага ти да визуализираш какво се случа във веригата.