Основно съдържание

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Урок 7: Трептящи кръгове

Видове трептения в резонансна RLC верига (трептящ кръг)

Свободните трептения в резонасна RLC верига са три вида: апериодични, критично затихващи и свободно затихващи. Автор Уили МакАлистър.

Въведение

Свободните трептения в електрическа верига резистор-индуктор-кондензатор

(RLC)

може да приемат три различни форми в зависимост от конкретните стойности на компонентите.

В две предни статии разгледахме описание на реакцията на резонасната

RLC

верига и изведохме математическа формула, с която моделирахме веригата с диференциално уравнение от

2

-ри ред, както и решихме конкретен пример за ел. верига. В тази статия ще разгледаме по-подробно характеристичното уравнение и ще наименуваме различните решения.

Основни идеи

Характеристичното уравнение за

RLC

трептящ кръг е:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Ще намерим корените на характеристичното уравнение, като използваме формулата за корените на квадратното уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Като заместим с променливите

α

ω_{o}

, можем да запишем

s

малко по-просто като:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

където,

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

се нарича коефициент на затихване, а

ω_{o}

е резонансната честота.

В зависимост от относителната големина на

α

ω_{o}

има три различни вида на решението за

i (t)

апериодичен режим, $α > ω_{0}$ ‍, при сбор на два намаляващи експоненциала
критичен режим, $α = ω_{0}$ ‍, имаме $t$ ‍ по намаляващ експоненциал
трептение със затихване, $α < ω_{0}$ ‍, при намаляващ синус

Моделиране и решаване на веригата – преглед

В предишна статия съставихме и решихме диференциално уравнение от

2

-ри ред, което моделира

RLC

веригата. Уравнението изглежда ето така:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Предложихме решение от експоненциален вид (което доста добре ни свърши работа) и намерихме това, което се нарича характеристично уравнение и изглежда по следния начин:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Намерихме

s

, корените на

RLC

характеристичното уравнение, като използвахме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Като заместихме с променливите

α

ω_{o}

, записахме

s

малко по-просто като:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

където

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

се нарича коефициент на затихване, а

ω_{o}

се нарича резонансна честота.

Преобразувахме предложеното решение в следния вид:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

Сега да разгледаме по-задълбочено израза за

s

, корените на

RLC

характеристичното уравнение, и влиянието, който той има върху решението за

i

Точно решение

Ако искаме точен отговор за определени стойности на

R

L

C

, извършваме изчисление като това, което направихме в предишната статия за примерната верига. Алтернативно, можем да въведем веригата в симулатор на ел. вериги, за да ни помогне да намерим резултат.

Апериодичен режим, критичен режим и режим на свободно затихване

Можем да получим пълна представа за естеството на свободното трептение, като опишем качествено три възможни резултата.

Резултатът за

s

зависи от знака на разликата в члена с корен квадратен в уравнението:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

Какви се оказват корените:

връзка	знакът на $α^{2} - ω^{2}$ ‍	наименование	$s$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	апериодичен режим	2 реални корена
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	критичен режим	2 повтарящи се корена
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	свободно затихване	2 комплексни корена

Какъв се оказва отговорът,

i (t)

връзка	знак на $α^{2} - ω^{2}$ ‍	наименование	$i (t)$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	апериодичен режим	2 намаляващи степени
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	критичен режим	$t \cdot$ ‍ намаляваща степен
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	свободно затихване	намаляващ синус

Ако при изучаване на инженерни науки си се натъквал/а на Теорията за управлението, тези термини се използват за описване на поведението на динамичните системи. Например движението на ръката на робот може да се опише с диференциално уравнение от втори ред. Ако поискаш роботът ти бързо да се пресегне за предмет, можеш да опишеш как се движи ръката му, като използваш тези думи.

Нека разгледаме трите възможни резултата в повече подробности.

$α^{2} - ω^{2} > 0$ ‍ апериодичен режим

При това условие членът

ω_{o}^{2}

е по-малък от

α^{2}

, следователно изразът в квадратния корен ще е положителен. Също знаем, че изразът с квадратния корен ще е по-малък от

α

. Това означава, че

s

ще е две реални числа, и двете отрицателни.

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1} = - {реално число}_{1}

s_{2} = - {реално число}_{2}

(Увери се, че и

s_{1}

, и

s_{2}

ще са отрицателни.)

Токът ще представлява суперпозиция на два реални експоненциала, и двата намаляващи до нула.

i = K_{1} e^{- {реално}_{1} t} + K_{2} e^{- {реално}_{2} t}

Казваме, че свободното трептение на веригата е апериодично (няма трептения), понеже и двата наслагващи се експоненциала задвижват тока до нула. Реакцията на резонасната верига е апериодична, ако стойността на съпротивлението е голяма в сравнение с резонансната честота.

Нека

R = 10 Ω, L = 1 H

C = 1 / 9 F

.
Нека началните условия да са

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Намери $i (t)$ ‍.

Намери коефициента на затихване и резонансната честота:

α = \frac{R}{2 L}

, така че

α = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

, така че

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 9}} = 3

Намери (отрицателните реални) корени на характеристичното уравнение:

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1, 2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = - 5 \pm \sqrt{16} = - 1, - 9

Състави предложено решение:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

i = K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}

Използвай двете начални условия (същите като в предишния решен пример):

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Изрази

K_{1}

K_{2}

при

t = 0

. Като използваме първото начално условие:

i (0) = 0 = K_{1} e^{- 0} + K_{2} e^{0}

0 = K_{1} + K_{2}

Сега намираме производната на тока от нашето допускане и използваме второто начално условие:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} [K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}] = - K_{1} e^{- t} - 9 K_{2} e^{- 9 t}

\frac{d i}{d t} (0) = 10 = - K_{1} e^{- 0} - 9 K_{2} e^{0}

10 = - K_{1} - 9 K_{2}

Сега решаваме двете уравнения от началните условия заедно. От първото начално условие:

K_{1} = - K_{2}

Като заместим във второто начално условие:

10 = - (- K_{2}) - 9 K_{2}

10 = - 8 K_{2}

K_{2} = - 1, 25,

и следователно

K_{1} = + 1, 25

И решението за тока е:

i = 1, 25 e^{- t} - 1, 25 e^{- 9 t}

$α^{2} - ω^{2} = 0$ ‍ критично затихващ

Границата между свободно затихващ и апериодичен е когато

α = ω_{o}

. Коефициентът на затихване и резонансната честота се компенсират и разликата на членовете под квадратния корен квадратен е

0

. Корените на характеристичното уравнение,

s

, са две еднакви реални числа, наречени двойни корени.

s_{1, 2} = - α \pm {\sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}}^{0}

s_{1, 2} = - α

Решаването на диференциално уравнение от

2

-ри ред с двойни корени е малко сложно. Няма да го показваме тук, а вместо това ще те насочим към чудесното видео, което Сал направи за решаването с двойни корени. Заповядай отново ... При двойни корени отговорът е експоненциален член, умножен по

t

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

Този вид реакция се нарича критично затихване.

Нека

R = 4 Ω

L = 1 H

C = 1 / 4 F

.
Нека началните условия да са

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Намери $i (t)$ ‍.

Диференциалното уравнение, с което моделираме веригата, е:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 4 \frac{d i}{d t} + 4 i = 0

от където получаваме съответното характеристично уравнение:

s^{2} + 4 s + 4 = 0

Можем да разложим това директно (няма нужда да използваме формулата за корените на квадратното уравнение):

(s + 2) (s + 2) = 0

което ни дава двойни реални корени:

s_{1} = - 2

s_{2} = - 2

С двойните реални корени решението е:

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

i = \frac{10}{1} t e^{- 2 t}

i = 10 t e^{- 2 t}

Критичното затихване доста прилича на апериодичната реакция. Трудно е да се определи разликата на око. Критичното затихване е границата на всички възможни реакции на затихване.

$α^{2} - ω^{2} < 0$ ‍ свободно затихване

Когато стойността на

α

е по-малка от

ω_{o}

, членът с корен квадратен съдържа отрицателно число и получаваме

s

като две комплексно спрегнати числа с реални и имагинерни части. Примерната верига, върху която работихме в статията описание на реакцията на RLC верига е свободно затихваща система.

Токът изглежда като синусова вълна, която намалява с времето. Представи си звука, който издава един звънец, когато го удариш. Звукът на звънеца иззвънява и заглъхва с времето. Това е свободно затихваща механична система от втори ред. За електрични вериги от втори ред заемаме термина и казваме, че свободнозатихващата система "звъни" при честота от приблизително

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} .

Честотата е само приблизително

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

поради присъствието на коефицента на затихване. Докато синусовата вълна намалява, всеки период на вълната е малко по-дълъг от този преди него. Ако слушаш звънец внимателно, колкото по-дълго продължава тонът, толкова по-ниска става нотата, само едва-едва.

ω_{o}

е честотата в момента, в който е ударен звънецът.

Ако оставим съпротивлението да стане много малко и в крайна сметка да стигне до

0

, тогава

α = R / 2 L

слиза до нула и

s_{1, 2}

става

ω_{o}

. Веригата става чиста

LC

конфигурация. Когато описахме реакцията на LC верига, получихме синусова вълна, която траеше вечно. (В реалния живот

R

никога не достига

0

, така че винаги се губи някаква енергия. Никой звънец не звъни вечно.)

Първата примерна верига, с която работихме по-рано в тази статия, имаше

R = 2 Ω, L = 1 H,

C = 1 / 5 F .

Няма да повтаряме решението, но ето някои наблюдения с използване на обозначенията

α

ω_{o}

.я

Коефициентът на затихване

α

α = \frac{R}{2 L} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1

Резонансната честота

ω_{o}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 5}} = \sqrt{5}

Като гледаме членовете под квадратния корен:

α^{2} - ω^{2} = 1^{2} - \sqrt{5}^{2} = - 4 =

отрицателно число, което, видяхме, води до решение, което е намаляващ синус. Следователно бихме описали примерната верига като система със свободно затихване.

Обобщение

Резистор-индуктор-кондензаторната

RLC

верига е електронният еквивалент на люлеещо се махало без триене. Веригата може да бъде моделирана с линейно диференциално уравнение от втори ред:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Получаващото се характеристично уравнение е:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Намерихме корените на характеристичното уравнение, като използвахме формулата за корените на квадратното уравнение:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Като заместихме с променливите

α

ω_{o}

, записахме

s

малко по-просто като:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

където

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

В зависимост от относителната големина на

α

ω_{o}

, намерихме три различни форми на решението:

апериодичен режим, $α > ω_{0}$ ‍, води до сбора на два намаляващи експоненциала
критично затихващ, $α = ω_{0}$ ‍, води до $t$ ‍ по намаляващ експоненциал
свободно затихващ, $α < ω_{0}$ ‍, води до намаляващ синус

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Физика – 11. клас (България)

Курс: Физика – 11. клас (България) > Раздел 3

Въведение

Основни идеи

Моделиране и решаване на веригата – преглед

Точно решение

Апериодичен режим, критичен режим и режим на свободно затихване

α2−ω2>0‍ апериодичен режим

α2−ω2=0‍ критично затихващ

α2−ω2<0‍ свободно затихване

Обобщение

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

$α^{2} - ω^{2} > 0$ ‍ апериодичен режим

$α^{2} - ω^{2} = 0$ ‍ критично затихващ

$α^{2} - ω^{2} < 0$ ‍ свободно затихване