If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Видове трептения в резонансна RLC верига (трептящ кръг)

Свободните трептения в резонасна RLC верига са три вида: апериодични, критично затихващи и свободно затихващи. Автор Уили МакАлистър.

Въведение

Свободните трептения в електрическа верига резистор-индуктор-кондензатор (RLC) може да приемат три различни форми в зависимост от конкретните стойности на компонентите.
В две предни статии разгледахме описание на реакцията на резонасната RLC верига и изведохме математическа формула, с която моделирахме веригата с диференциално уравнение от 2-ри ред, както и решихме конкретен пример за ел. верига. В тази статия ще разгледаме по-подробно характеристичното уравнение и ще наименуваме различните решения.
Веригата RLC трептящ кръг.

Основни идеи

Характеристичното уравнение за RLC трептящ кръг е:
s2+RLs+1LC=0
Ще намерим корените на характеристичното уравнение, като използваме формулата за корените на квадратното уравнение:
s=R±R24L/C2L
Като заместим с променливите α и ωo, можем да запишем s малко по-просто като:
s=α±α2ωo2
където,
α=R2L, ωo=1LC
α се нарича коефициент на затихване, а ωo е резонансната честота.
В зависимост от относителната големина на α и ωo има три различни вида на решението за i(t):
  • апериодичен режим, α>ω0, при сбор на два намаляващи експоненциала
  • критичен режим, α=ω0, имаме t по намаляващ експоненциал
  • трептение със затихване, α<ω0, при намаляващ синус

Моделиране и решаване на веригата – преглед

В предишна статия съставихме и решихме диференциално уравнение от 2-ри ред, което моделира RLC веригата. Уравнението изглежда ето така:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Предложихме решение от експоненциален вид (което доста добре ни свърши работа) и намерихме това, което се нарича характеристично уравнение и изглежда по следния начин:
s2+RLs+1LC=0
Намерихме s, корените на RLC характеристичното уравнение, като използвахме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение:
s=R±R24L/C2L
Като заместихме с променливите α и ωo, записахме s малко по-просто като:
s=α±α2ωo2
където α=R2L, а ωo=1LC
α се нарича коефициент на затихване, а ωo се нарича резонансна честота.
Преобразувахме предложеното решение в следния вид:
i=K1es1t+K2es2t
Сега да разгледаме по-задълбочено израза за s, корените на RLC характеристичното уравнение, и влиянието, който той има върху решението за i.

Точно решение

Ако искаме точен отговор за определени стойности на R, L и C, извършваме изчисление като това, което направихме в предишната статия за примерната верига. Алтернативно, можем да въведем веригата в симулатор на ел. вериги, за да ни помогне да намерим резултат.

Апериодичен режим, критичен режим и режим на свободно затихване

Можем да получим пълна представа за естеството на свободното трептение, като опишем качествено три възможни резултата.
Резултатът за s зависи от знака на разликата в члена с корен квадратен в уравнението:
s=α±α2ωo2
Какви се оказват корените:
връзказнакът на α2ω2наименованиеs
α>ωo+апериодичен режим2 реални корена
α=ωo0критичен режим2 повтарящи се корена
α<ωoсвободно затихване2 комплексни корена
Какъв се оказва отговорът, i(t):
връзказнак на α2ω2наименованиеi(t)
α>ωo+апериодичен режим2 намаляващи степени
α=ωo0критичен режимt намаляваща степен
α<ωoсвободно затихваненамаляващ синус
Ако при изучаване на инженерни науки си се натъквал/а на Теорията за управлението, тези термини се използват за описване на поведението на динамичните системи. Например движението на ръката на робот може да се опише с диференциално уравнение от втори ред. Ако поискаш роботът ти бързо да се пресегне за предмет, можеш да опишеш как се движи ръката му, като използваш тези думи.
Нека разгледаме трите възможни резултата в повече подробности.

α2ω2>0 апериодичен режим

При това условие членът ωo2 е по-малък от α2, следователно изразът в квадратния корен ще е положителен. Също знаем, че изразът с квадратния корен ще е по-малък от α. Това означава, че s ще е две реални числа, и двете отрицателни.
s1,2=α±α2ωo2
s1=реално число1 и s2=реално число2
(Увери се, че и s1, и s2 ще са отрицателни.)
Токът ще представлява суперпозиция на два реални експоненциала, и двата намаляващи до нула.
i=K1eреално1t+K2eреално2t
Казваме, че свободното трептение на веригата е апериодично (няма трептения), понеже и двата наслагващи се експоненциала задвижват тока до нула. Реакцията на резонасната верига е апериодична, ако стойността на съпротивлението е голяма в сравнение с резонансната честота.

α2ω2=0 критично затихващ

Границата между свободно затихващ и апериодичен е когато α=ωo. Коефициентът на затихване и резонансната честота се компенсират и разликата на членовете под квадратния корен квадратен е 0. Корените на характеристичното уравнение, s, са две еднакви реални числа, наречени двойни корени.
s1,2=α±α2ωo20
s1,2=α
Решаването на диференциално уравнение от 2-ри ред с двойни корени е малко сложно. Няма да го показваме тук, а вместо това ще те насочим към чудесното видео, което Сал направи за решаването с двойни корени. Заповядай отново ... При двойни корени отговорът е експоненциален член, умножен по t.
i=V0Lteαt
Този вид реакция се нарича критично затихване.

α2ω2<0 свободно затихване

Когато стойността на α е по-малка от ωo, членът с корен квадратен съдържа отрицателно число и получаваме s като две комплексно спрегнати числа с реални и имагинерни части. Примерната верига, върху която работихме в статията описание на реакцията на RLC верига е свободно затихваща система.
Токът изглежда като синусова вълна, която намалява с времето. Представи си звука, който издава един звънец, когато го удариш. Звукът на звънеца иззвънява и заглъхва с времето. Това е свободно затихваща механична система от втори ред. За електрични вериги от втори ред заемаме термина и казваме, че свободнозатихващата система "звъни" при честота от приблизително ωo=1LC.
Ако оставим съпротивлението да стане много малко и в крайна сметка да стигне до 0, тогава α=R/2L слиза до нула и s1,2 става ωo. Веригата става чиста LC конфигурация. Когато описахме реакцията на LC верига, получихме синусова вълна, която траеше вечно. (В реалния живот R никога не достига 0, така че винаги се губи някаква енергия. Никой звънец не звъни вечно.)
Първата примерна верига, с която работихме по-рано в тази статия, имаше R=2Ω,L=1H, и C=1/5F.
Няма да повтаряме решението, но ето някои наблюдения с използване на обозначенията α и ωo
Коефициентът на затихване α е
α=R2L=221=1
Резонансната честота ωo е
ωo=1LC=111/5=5
Като гледаме членовете под квадратния корен:
α2ω2=1252=4= отрицателно число, което, видяхме, води до решение, което е намаляващ синус. Следователно бихме описали примерната верига като система със свободно затихване.

Обобщение

Резистор-индуктор-кондензаторната RLC верига е електронният еквивалент на люлеещо се махало без триене. Веригата може да бъде моделирана с линейно диференциално уравнение от втори ред:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
Получаващото се характеристично уравнение е:
s2+RLs+1LC=0
Намерихме корените на характеристичното уравнение, като използвахме формулата за корените на квадратното уравнение:
s=R±R24L/C2L
Като заместихме с променливите α и ωo, записахме s малко по-просто като:
s=α±α2ωo2
където α=R2L, а ωo=1LC
В зависимост от относителната големина на α и ωo, намерихме три различни форми на решението:
  • апериодичен режим, α>ω0, води до сбора на два намаляващи експоненциала
  • критично затихващ, α=ω0, води до t по намаляващ експоненциал
  • свободно затихващ, α<ω0, води до намаляващ синус

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.