Извеждане на LC естествен отговор 1

В това видео ще започнем извеждането на свободните трептения на LC трептящ кръг, т.е. на индуктор-кондензаторна верига. Това е трудно извеждане, но в края се отплаща. Има наистина забавна изненада накрая и тя е, че там се раждат синусовите вълни. Ще приключим със синусови вълни в края на това. И това е много хубав резултат, понеже те са навсякъде в електрониката и в природата. Ще започнем, като кажем, че ще поставим някакъв заряд на този кондензатор тук. В тази верига ще има ток I, ще трябва да започнем от нула. Токът I е нула, но това е токът през веригата и това означава, че и тук съществува ток. Нека поставим ключ в тази верига. Ще затворим този ключ при t = 0. Имаме една променлива I и другата променлива, която ще използваме, е V, а V е напрежението тук след като ключът се затвори. Искаме да намерим I и V. Засега ще се фокусираме върху намирането на тока I. След като намерим I, е лесно да намерим V. Това ще е независимата променлива – токът. Нека започнем анализа. В момента t = 0 зарядът, който съществува тук, ще започне да тече по веригата и напрежението и токът ще започнат да се променят. Нека запишем няколко израза, да започнем, като напишем няколко неща, които знаем, че са верни за нашите два компонента. Ще започнем с кондензатора. Първо ще запишем уравнение за нашия кондензатор като тук ще има преобръщане на знаците, така че трябва да внимаваме. Ако имаме V на кондензатора и I в кондензатора ще кажа, че токът на кондензатора Ic е равно на С по dv(с)/dt. Ако погледнем тук, Vс е същото като V тук, положителен знак отгоре, отрицателен знак отдолу, така че Vc и V са еднакви. Но трябва да внимавам, I е в противоположната посока на тока, който избрах за независимата променлива, така че това е обърнато. I... има отрицателен знак, преобръщаме, равно е на -С dv dt. Това е IV уравнението за тази верига. Имаме този допълнителен отрицателен знак. Сега искам да запиша интегралната форма на IV уравнението на кондензатора, която е, че V е равно на 1/С по интеграла на Idt. Не забравяй отрицателния знак, това е важен знак минус, който да помним. Нека направим напрежението между краищата на индуктора, напрежението на индуктора е същата променлива, V, е L di dt. Няма допълнителен знак минус тук. Спазено е правилото за знаците за пасивни компоненти. Сега имаме израз за V на кондензатора и имаме израз за V на индуктора, и знаем, че това е едно и също напрежение. Нека поставим тези две неща заедно, така че да можем да кажем, че L di dt е равно на минус 1/С по интеграла от Idt. Просто поставихме двете идентични напрежения да са равни едно на друго. Сега малко ще преработя това. L di dt плюс 1/С интеграла от Idt е равно на нула. Просто събрахме членовете от едната страна и казахме, че другата страна става нула. Сега, тъй като не съм свикнал да имам интеграли в уравненията, предпочитам да имам производни, тъй като имам опит с диференциални уравнения, нека, ако взема производното на цялото това уравнение, ето какво ще направим. Ще диференцираме спрямо времето на цялото това тук и това ни дава... получаваме втората производна на първия член, получаваме L, втората производна на I спрямо времето плюс 1/С и после производната на интегралът от Idt се превръща просто в I, а производната на нула от тази страна е нула. Сега това е диференциалното уравнение за LC верига. Нарича се хомогенно обикновено диференциално уравнение от втори ред. Диференциално уравнение е понеже има производни, хомогенно е понеже има само производни на I спрямо t и нищо друго. Индикаторът е, че тази страна е равна на нула, няма член от тази страна. Когато можеш да запишеш уравнението по този начин, казваме, че е хомогенно. Нарича се уравнение от втори ред, понеже има тази втора производна тук. Съставихме това хомогенното обикновено диференциално уравнение от втори ред и в следващото видео ще се заемем с решаването му. Ще го направим стъпка по стъпка.