If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Извеждане на LC естествен отговор 2

Като започваме от диференциалното уравнение, намираме предложено експоненциално решение и го въвеждаме в уравнението. Това ни дава характеристично уравнение. Проявява се "естествена честота". Създадено от Уили МакАлистър.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

В последното видео съставихме диференциално уравнение, което описа LC трептящ кръг, а сега ще се заемем с решаването на веригата от втори ред. Ще използваме същата техника като тази за решаване на обикновени диференциални уравнения от първи ред. Търсим функция на I, която прави цялото уравнение вярно, и ще направим това, като предположим едно I, заместим го в уравнението и видим дали върши работа. Ако върши работа, печелим. Ако не върши работа, трябва да помислим за нещо друго и продължаваме да правим това, докато не го решим. Като знам това, което знам за производните, и гледам това уравнение, мога ли да предположа правдоподобно решение? Тук имаме две неща. Имаме два члена, които трябва да дават сбор нула за всяко време, а това означава, че каквато функция избера за I, като тук има някои мащабиращи фактори... Нека запиша това уравнение ето така. Тук имам коефициент по I, някак трябва напълно да се извади от втората производна на I. Тези два члена трябва да изглеждат подобни за всяко време t. Има една функция I, където производните изглеждат подобни на това, с което започнахме, а това е показателната функция. Ще направя предположение. Ще предположа, че I от t е нещо във вида някаква константа по числото е, на степен времето t по някакъв друг коефициент. k е променлив параметър и това е амплитуда. Това ни казва колко голям е сигналът. Какво е s? s е горе в степенния показател заедно с t и знаем, че когато в степенния показател имаме нещо, това, което е в степенния показател не трябва да има мерни единици, което означава, че s по t няма мерни единици. А това означава, че s има мерна единица 1 върху времето, следователно s е някакъв вид честота. В частност това ще е честота в радиани. Ще е в радиани в секунда. S ще се нарича естествена честота. Да продължим да работим върху това. Ще заместя това обратно в уравнението ни и ще видим дали работи. Можем да заместим I директно тук и ни трябва втората производна на I. Нека първо вземем първата производна, d/dt от I е равно на d/dt от k по е на степен st. Можем да намерим тази производна и това е равно на k*s по e на степен st. Тук също има степен. Сега ни трябва втората производна. Тоест искаме да диференцираме това. Втората производна на I спрямо времето е равна на първата производна на s k по e^st и това е равно... Още едно s слиза долу, така че това е s^2 по k по e^st. Добре, сега имаме втората производна. Можем да заместим това тук. Нека го направим. Уравнението става s^2 по k, по e^st, плюс 1/LC, цялото по k по e^st, равно на нула. Сега да изнесем пред скоби. Има общ член тук. Има общ член. k по e^st. k по e^st. Ще го изнеса пред скоби. k по e^st по... какво остава? s^2 плюс 1/LC равно на нула. Добре, колко променливи показатели имаме тук? Такива са k и s. Това са двата. L и C са константи, които са стойностите на нашата верига. Трябва да намерим някакви стойности на k и s, за които уравнението е нула. Мога да поставя k да е равно на нула и това ще означава, че нула е равно на нула, така че амплитудата ни ще е нула. Ако не поставим нищо във веригата, не получаваме нищо. Това е напълно безполезно. Това не е интересно решение. e^st става ли някога нула? e на някаква степен става ли някога нула? Никога не става. Ако поставим t да премине до плюс безкрайност и s е отрицателно, тогава e^st ще стане нула, но плюс безкрайност време от сега е доста далеч в бъдещето не искам да чакам толкова дълго. Интересното решение става... можем ли да поставим s^2 + 1/LC да е равно на нула? Това уравнение се нарича характеристично уравнение. Да видим какво се случва, когато опитаме да решим това. Първата стъпка от това е... ще получа s^2 равно на -1/LC или s е равно на корен квадратен от -1/LC. О, виж какво се случва тук. Взимаме корен квадратен от отрицателно число. Какво ще се случи тук? Отговорът ни ще бъде имагинерно число. Мога да запиша това като корен квадратен от минус 1 по корен квадратен от 1/LC и това ми дава два отговора. Първия отговор ще означа като отговор s1 и това ще е равно на j, което е имагинерно число. Това е корен квадратен от минус 1 за електроинженерите, по какво? По корен квадратен от 1/LC. Второто решение, s2, е отрицателното на това, минус j по корен квадратен от 1/LC. Има две възможни решения на диференциалното ни уравнение. Ще дам специално име на този израз тук, понеже не искам да го пиша непрекъснато. Ще го нарека омега нула. Това е малката гръцка буква омега. (показва написаното на екрана) Това е главната омега, (записва на екрана) която използваме за омове, но малката омега често се използва като тази променлива тук. Мога да кажа, че s1 е равно на +j по омега с индекс 0, и s2 е равно на -j по омега с индекс 0. Ще използваме това уравнение за кратко, но просто помни, че направих това просто заместване. Имаме два различни корена, за които диференциалното уравнение става нула. Когато комбинираме тези в решение за I ще използваме комбинация от тези двете. Не знаем кое е. Може да са и двете. Може да се наслагват едно върху друго и за това е суперпозицията. Сега ще имаме... трябва да имаме k1. Ще имаме две константи. k1 по e^s1t, плюс k2 по e^s2t. Мога да запиша това като... Нека запишем някои от числата тук. k1 по e^+j по омега нулево, по t, плюс k2 по e^-j по омега нулево, по t. Това е предложеното решение. И сега трябва... Намерихме две стойности за s. Сега имаме тези две константи. Трябва да намерим тези. В следващото видео ще използваме началните условия, за да намерим k1 и k2.