Извеждане на LC естествен отговор 3

В последното видео направихме предположение кое е решението за диференциалното уравнение, измислихме показателно уравнение за предположение и докато правехме анализа, разработихме характеристично уравнение. За един от променливите параметри получихме комплексно число – естествената честота на трептене на веригата. Ето го видът на предложеното от нас решение. Сега нещата се усложняват, но ти обещавам, че доста скоро ще го опростим. Имаме две решения за s, s1 и s2, които заместихме като + и -j по омега нулево. Имаме още променливи параметри за амплитудата, които трябва да намерим. В това видео ще продължим решаването на диференциалното уравнение – това е предложеното от нас решение, доста сложно изглеждащ израз, и оттук нататък името му ще е нещо много важно в електрониката и като цяло – тъждество на Ойлер. Ще използваме това тъждество, за да открием какво да правим с тези комплексни експоненциални членове. Ако потърсиш този термин в Кан Академия, ще намериш обяснение за това откъде идват тези тъждества, а аз просто ще ги запиша тук. Тъждеството на Ойлер е e^jx – всичко е тук горе, цялото е равно на косинус от x плюс j по синус от х. Това е едно от тъждествата, а другото тъждество е, че e^-jx е равно на косинус от х минус j по синус от х. Тези са полезни, понеже имаме тази показателна функция с комплексната единица вътре, когато преминем към тази страна, това е нормално комплексно число, косинус от х е някакво число между + и -1, синус от х е някакво число между + и -1 и това е просто нормално комплексно число, така че това може да опрости живота ни, докато продължаваме напред. Това е много важно тъждество, което използваме, за да решим LC веригата. Сега ще се върна назад и ще преработя двете степени, като използвам тъждеството на Ойлер. Това ще стане доста голямо, но скоро ще намалее. Ще се преместя тук: i е равно на k1 по е на степен j, омега, t, ще заместя с това тук, става косинус от х, като х е равно на омега 0 по t, плюс j по синус от х, като х е омега 0 по t. Използвахме първото тъждество. Вторият член е +k2 по... сега имаме отрицателен знак в степенния показател, така че ще използваме второто тъждество – косинус от омега 0 по t, минус j по синус от омега 0 по t. Решението ни зае целия екран, но да видим дали можем да подредим нещата. Ще събера всички членове косинус, този и този, а после ще събера членовете синус. Добре, i е равно на косинус от омега 0 по t, и косинусът е умножен по k1 и плюс k2. Сега нека добавим към това... имаме j по синус и j по синус, така че ще запишем синус от омега 0 по t ето тук и j по k1.. сега имаме знак минус, който прави това -k2. Значи токът е някакво число по косинус, плюс j по някакво число, по синус. Това са две произволни константи, и аз просто ще измисля други, ще нарека това А1, а това ще нарека А2, като ще запазя j, по (k1 - k2). Сега мога да запиша, че i е равно на А1 по косинус от омега 0 по t, плюс А2 по синус от омега 0 по t. Оттук нататък ще работим с тези коефициенти А. Ако искам да знам какви са оригиналните k, мога просто да се върна към тези уравнения тук, след като намеря А и мога да пресметна двете k. Нека продължим нататък. Как ще намерим А1 и А2? За да направим това, ще използваме началните условия, i по c. Можем да си спомним, че в оригиналната схема имахме някакъв заряд q тук, което означава, че имахме + или -V0 и казахме, че токът оттук е нула в началото. Това са началните ни условия, V в момент 0 е равно на V0 и токът в момент нула е равен на нула. Ще използваме тези две стойности, за да намерим А1 и А2. Ще го направим в следващото видео, докато продължаваме извеждането на естественото трептене.