If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Извеждане на LC естествен отговор 4

В последната стъпка на извеждането намираме две начални състояния и ги използваме, за да намерим синусоидално решение за LC естествения отговор. Създадено от Уили МакАлистър.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Сега ще използваме началните условия, за да намерим двете константи А1 и А2. Това е предложеното от нас решение за тока за LC веригата. Едно нещо, което трябва да направим, понеже това е уравнение от втори ред, трябва да имаме две начални условия за променливата, която изследваме тук. Изследваме i. Сега имаме едно начално условие за i, но понеже уравнението е от втори ред, това означава, че имаме нужда от две ic за i. Имаме едно начално условие тук и искам да знам колко е di/dt в момент t равно на нула. Другата информация, която имаме, е това V. V0 при време t равно на нула. Нека използваме това и просто ще го заместим директно в уравнението за индуктора. Уравнението за индуктора при време t равно на нула – напрежението между краищата на индуктора е V0 и това е равно на L*(di/dt). Това означава, че di/dt е равно на V0/L. Сега имаме две начални условия спрямо i. Това е едното и това е другото. (показва на екрана) Можем да ги използваме, за да намерим А1 и А2. Първо нека заместим i в момент t равно на нула и да видим дали можем да направим нещо оттам. Това означава, че времето е равно на нула. Токът е нула и това е равно на А1 по косинус от омега нулево по... t е 0, по нула, плюс А2 по синус от омега нулево по нула – и колко ни дава това? Това е синус от нула, а синус от нула е нула, а косинус от нула е едно. Получаваме, че нула е равно на А1. А1 равно на нула означава, че този целият член (показва) от нашето решение току-що отпадна. Добре, нека запиша какво получаваме. i е равно на А2 по синус от омега 0 по t. Целият този член току-що отпадна от решението. Това тук е предложеното ни решение. Сега трябва да намерим А2 – да го направим. Както може би очакваш, ще използваме второто начално условие, за да направим това. За да използваме началното условие, ни трябва di/dt. Да вземем di/dt от това. Ще вземем d/dt от цялото уравнение и вляво ще получим di/dt, а от другата страна ще получим d/dt от А2 по синус от омега нулево по t. Дотук добре. Да превъртим надолу отново. Нека намерим производната. Получаваме di/dt е равно на – А2 излиза от производната и производната на синус от омега нулево по t, спрямо t е омега нулево по косинус от омега нулево по t. Сега прилагаме началното условие. Да преминем към t = 0 и знаем, че di/dt беше V0/L е равно на А2 по омега нулево по косинус от омега нулево, по 0. Косинус от нула е едно, така че можем да намерим А2. А2 е равно на V0/L и омега нулево идва тук долу. Сега решаваме за втория променлив параметър и можем да запишем i. i беше А2 по синус от омега нулево по t. Нека да запишем А2. i равно на... А2 е V0/L омега нулево по синус от омега нулево по t. Сега искам да се върна назад. Искам да запиша това малко по-различно. Искам да се върна назад и да заместя стойността за омега нулево. Ако помниш, казахме, че омега нулево е равно на 1/LC и корен квадратен от цялото това. Сега L омега нулево е равно на корен квадратен от 1/LC по L и това е равно на корен квадратен от L^2/LC и това е равно на корен квадратен от L/C. Последно, ще запиша 1/L по омега нулево е равно на корен квадратен от С/L, реципрочното. Сега можем да запишем, че i е равно на корен квадратен от С/L по V0 по синус от омега нулево по t. Това е решението за естественото трептене на LC верига. Това има формата на синусова вълна. Честотата се определя от омега нулево, което има два компонента. Амплитудата се определя от началната енергия, която е представена тук от V0, и, отново, от съотношението на двете компоненти. Затова в началото казах, че тук се раждат синусовите вълни.