Какво са PV диаграмите?

Да разгледаме газ, затворен в съд с плътно пасващо, но все пак подвижно бутало, както е показано по-долу. Можем да извършваме работа върху газа, като натискаме буталото надолу, и можем да затопляме газа, като поставяме съда над пламък или го потапяме във вряща вода. Когато излагаме газа на тези термодинамични процеси, налягането и обемът му могат да се променят.

Удобен начин за представяне на тези промени в налягането и обема е диаграма за обема и налягането, или PV диаграма за кратко. Всяка точка от PV диаграмата съответства на различно състояние на газа. Налягането е отразено на вертикалната ос, а обемът – на хоризонталната, както е показано по-долу.

Всяка точка от една PV диаграма представлява различно състояние на газа (едно за всяка комбинация от обем и налягане). Когато газ претърпява даден термодинамичен процес, състоянието на газа ще се мести из PV диаграмата, описвайки траектория, докато се движи (както е показано на диаграмата по-долу).

Ако можеш да дешифрираш информацията, показана на PV диаграма, можеш да правиш изводи за вътрешната енергия $\Delta U$delta, U на газа, обменената топлина $Q$Q и работата $W$W, извършена от газа. В секцията по-долу ще обясним как да дешифрираш скритата информация, която се съдържа в една PV диаграма.

Да кажем, че газът започва от състоянието, показано на PV диаграмата по-долу.

Ако натиснем буталото надолу, обемът на газа ще намалее, така че състоянието трябва да се премести наляво към по-малка стойност на обема (както се вижда на диаграмата по-долу). Тъй като газът се свива, можем също така да кажем със сигурност, че положителна работа $W$W е извършена върху газа.

Аналогично, ако оставим газа да се разшири, избутвайки буталото нагоре, обемът на газа ще се увеличи, така че състоянието трябва да се премести надясно към по-големите стойности на обема (както се вижда на диаграмата по-долу). Тъй като газът се разширява, със сигурност можем да кажем, че върху газа се извършва отрицателна работа $W$W.

Така че ако някога видим състояние, което се премества наляво по PV диаграма, можем със сигурност да твърдим, че работата, извършена върху газа, е положителна. Аналогично, ако някога видим, че състоянието се премества надясно на PV диаграма, можем със сигурност да твърдим, че работата, извършена върху газа, е отрицателна.

Извършената работа по време на термодинамичен процес е равна на площта под кривата, както е показано на диаграмата по-долу.

Причината работата да е равна на площта под кривата е, че:

И понеже $P\Delta V$P, delta, V е просто $\text{височина} \times \text{ ширина}$start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, times, start text, space, ш, и, р, и, н, а, end text в правоъгълника, показан по-горе, работата е равна на площта. Ако използваме единици за налягане $\text{паскали}$start text, п, а, с, к, а, л, и, end text, а за обем $\text{m}^3$start text, m, end text, cubed, тогава енергията, която ще намерим, ще бъде в $\text{джаул}$start text, д, ж, а, у, л, end text.

Обаче трябва много да внимаваме със знаците. Ако пътят върху PV диаграмата е насочен наляво, обемът се увеличава и се извършва положителна работа върху газа. Ако пътят върху PV диаграмата е насочен надясно (както е показано на диаграмата по-горе), обемът намалява и се извършва отрицателна работа върху газа, тъй като $W_\text{от газа}=-W_\text{върху газа}$W, start subscript, start text, о, т, space, г, а, з, а, end text, end subscript, equals, minus, W, start subscript, start text, в, ъ, р, х, у, space, г, а, з, а, end text, end subscript.

Независимо каква е формата на траекторията, площта под кривата пак ще представлява извършената работа. За всяка крива можем да си представим, че я разделяме на безкраен брой безкрайно малки правоъгълници.

Площта на всяко от правоъгълничетата би представлявало работата, извършена през съответната супер малка стъпка, а сборът от площите би представлявал общата работа, извършена за целия процес.

Трябва да отбележим, че винаги ще предполагаме, че процесите се случват достатъчно бавно, така че целият газ да е в термодинамично равновесие във всеки момент (т.е. всяка негова част да има една и съща температура). Ако това ти изглежда съмнително, имаш право да го поставиш под съмнение. Обаче, въпреки че на практика реалните процеси не отговарят съвсем на това изискване, много реални процеси се моделират добре по този начин.

Спомни си, че вътрешната енергия и температурата са правопропорционални $U \propto T$U, \propto, T. Така че ако температурата се увеличи, вътрешната енергия също се увеличава.

А ако газът, който разглеждаме, е идеален, знаем също, че

А ако газът не може да напуска системата (така че броят молекули $N$N е константа), можем да кажем, че $PV \propto T$P, V, \propto, T. Всичко това означава, че

Така че ако величината 'налягане по обем' $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis се увеличи, то температурата $T$T и вътрешната енергия $U$U също трябва да се увеличат (което означава, че $\Delta U$delta, U е положително). Тази идея е представена на диаграмата по-долу.

Това означава, че всеки път, когато състоянието на PV диаграмата се оказва по-нагоре и надясно, отколкото е започнало, $\Delta U$delta, U ще е положително число. По същия начин, всеки път, когато състоянието на PV диаграмата се оказва по-надолу и наляво, отколкото е започнало, $\Delta U$delta, U ще е отрицателно число.

А ако състоянието на PV диаграмата се премести нагоре и наляво (налягането се увеличи, а обемът спадне), или надолу и надясно (налягането спадне, а обемът се увеличи), не е ясно от само себе си дали величината $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis се е увеличила или е намаляла (тъй като единият множител се е увеличил, а другият е намалял). За да сме сигурни, трябва да проверим точните стойности на началните и крайните $P$P и $V$V върху осите на графиката, за да кажем дали величината $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis се е увеличила или е намаляла.

Също е добре да отбележим, че ако величината $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis не се променя, тогава температурата $T$T и вътрешната енергия $U$U също не се променят. Например, ако налягането се удвои и обемът намалее два пъти, $(P \times V)$left parenthesis, P, times, V, right parenthesis запазва стойността си (тъй като $2P \times \dfrac{V}{2}=PV$2, P, times, start fraction, V, divided by, 2, end fraction, equals, P, V). Температурата и вътрешната енергия $U$U в края на процеса ще имат същите стойности като в началото на процеса.

При дадена PV диаграма обикновено трябва да разчитаме на първия закон на термодинамиката $\Delta U=Q+W$delta, U, equals, Q, plus, W, за да определим знака на общата топлина, която се поглъща или се отдава от газа. Ако решим това уравнение за топлината $Q$Q, получаваме:

$Q=\Delta U-W$Q, equals, delta, U, minus, W,

Сега като знаем това, можем да използваме това, което знаем за намирането на знака на $\Delta U$delta, U и $W$W, за да намерим знака на $Q$Q в много ситуации. Така че например ако промяната на вътрешната енергия е положителна, а извършената работа е отрицателна,

$Q=(+)-(-)=+\qquad$Q, equals, left parenthesis, plus, right parenthesis, minus, left parenthesis, minus, right parenthesis, equals, plus ...общата топлина трябва да е положителна.

Което има смисъл, тъй като вътрешната енергия се увеличава, дори ако газът извърши работа, което означава, че повече топлина трябва да е навлязла в газа, отколкото се е загубила, заради извършената от газа работа.

Или например ако вътрешната енергия намалее, а работата е положителна,

$Q=(-)-(+)=-\qquad$Q, equals, left parenthesis, minus, right parenthesis, minus, left parenthesis, plus, right parenthesis, equals, minus ...общата топлина трябва да е отрицателна.

Което има смисъл, защото ако вътрешната енергия намалее, въпреки че е извършена работа върху газа, това означава, че топлината, отдадена от газа, трябва да е повече от енергията, получена от газа от работата, която е извършена върху него.

Идеален газ в запечатан съд претърпява процеса, показан на PV диаграмата по-долу.

Идеален газ в затворен съд преминава през процесa, показан на PV диаграмата по-долу. Първоначалният обем на газа е $V_i=0{,}25 \text{ m}^3$V, start subscript, i, end subscript, equals, 0, comma, 25, start text, space, m, end text, cubed, а крайният му обем е $V_f=0{,}75 \text{ m}^3$V, start subscript, f, end subscript, equals, 0, comma, 75, start text, space, m, end text, cubed. Началното налягане на газа е $P_i=70{~}000 \text{ Pa}$P, start subscript, i, end subscript, equals, 70, space, 000, start text, space, P, a, end text, а крайното му налягане е $P_f=160{~}000 \text{ Pa}$P, start subscript, f, end subscript, equals, 160, space, 000, start text, space, P, a, end text.

Решение:

Можем да намерим извършената работа, като определим общата площ под кривата на PV диаграма. Трябва да се уверим, че използваме общата площ до края на оста на обема. Например можем да си представим, че в горния случай виждаме областта под кривата като триъгълник и правоъгълник (както е показано по-долу).

И просто намираме сумата на площите на триъгълника и правоъгълника. Височината на правоъгълника е налягането $P_i$P, start subscript, i, end subscript, а ширината на правоъгълника е промяната в обема $\Delta V=V_f-V_i$delta, V, equals, V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript. Така че:

$\blueD{\text{площ 1}}=\text{височина} \times \text{широчина} \quad$start color #11accd, start text, п, л, о, щ, space, 1, end text, end color #11accd, equals, start text, в, и, с, о, ч, и, н, а, end text, times, start text, ш, и, р, о, ч, и, н, а, end text (площ на правоъгълника)

$\blueD{\text{area 1}}=P_i \times \Delta V \quad$start color #11accd, start text, a, r, e, a, space, 1, end text, end color #11accd, equals, P, start subscript, i, end subscript, times, delta, V (височината е $P_i$P, start subscript, i, end subscript и широчината е $\Delta V$delta, V)

$\blueD{\text{area 1}}=(70{~}000\text{ Pa}) \times (0{,}75\text{m}^3-0{,}25\text{m}^3)\quad$start color #11accd, start text, a, r, e, a, space, 1, end text, end color #11accd, equals, left parenthesis, 70, space, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis, times, left parenthesis, 0, comma, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, comma, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis (заместваме със стойностите)

$\blueD{\text{area 1}}=35{~}000 \text{ J} \quad$start color #11accd, start text, a, r, e, a, space, 1, end text, end color #11accd, equals, 35, space, 000, start text, space, J, end text (изчисляваме)

Можем да намерим площта на триъгълника, като използваме $A=\dfrac{1}{2}bh$A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h.

$\greenD{\text{площ 2}}=\dfrac{1}{2}bh \quad$start color #1fab54, start text, п, л, о, щ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h (лице на триъгълник)

$\greenD{\text{площ 2}}=\dfrac{1}{2}b(160{~}000\text{Pa}-70{~}000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, п, л, о, щ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, left parenthesis, 160, space, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, space, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (височината на триъгълника е разликата в наляганията $P_f-P_i$P, start subscript, f, end subscript, minus, P, start subscript, i, end subscript)

$\greenD{\text{площ 2}}=\dfrac{1}{2} (0{,}75\text{m}^3-0{,}25\text{m}^3)(160{~}000\text{Pa}-70{~}000\text{ Pa}) \quad$start color #1fab54, start text, п, л, о, щ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 0, comma, 75, start text, m, end text, cubed, minus, 0, comma, 25, start text, m, end text, cubed, right parenthesis, left parenthesis, 160, space, 000, start text, P, a, end text, minus, 70, space, 000, start text, space, P, a, end text, right parenthesis (основата на триъгълника е разликата в обемите $V_f-V_i$V, start subscript, f, end subscript, minus, V, start subscript, i, end subscript)

$\greenD{\text{площ 2}}=22{~}500 \text{ J} \quad$start color #1fab54, start text, п, л, о, щ, space, 2, end text, end color #1fab54, equals, 22, space, 500, start text, space, J, end text (изчисляваме)

Така че общата площ под кривата е $35{~}000 \text{ J} + 22{~}500 \text{ J}=57{~}500 \text{ J}$35, space, 000, start text, space, J, end text, plus, 22, space, 500, start text, space, J, end text, equals, 57, space, 500, start text, space, J, end text

Тази площ представлява абсолютната стойност на общата работа, извършена по време на процеса. За да определим знака на извършената върху газа работа, забелязваме, че процесът премества състоянието надясно, което води до разширяване на газа. Когато газът се разширява работата, извършена върху газа, е отрицателна. Така:

$W_\text{върху газа}=-57{~}500 \text{ J}\quad$W, start subscript, start text, в, ъ, р, х, у, space, г, а, з, а, end text, end subscript, equals, minus, 57, space, 500, start text, space, J, end text (можем да празнуваме)