Съпоставяне на термодинамичното и статичното определение за ентропия

Ако вече гледа за някои от математическите и термодинамични принципи в последните няколко видеа, това, което ще видиш сега, просто ще те изуми. Но за да не повишавам твърде много очакванията ти, нека просто започна. Нека имам един съд. И в този съд имам газови частици. Вътре в съда те се носят наоколо, както обичайно правят газовите частици, и създават някакво налягане върху съда, който има определен обем. Нека кажем, че имаме N на брой частици. Всяка от тези частици може да е в x различни състояния. Нека да го запиша: Всяка частица може да е в х различни състояния. Какво имам предвид под състояние? Нека да вземем частица А. Ще я направя в различен цвят. Частица А може да е в този ъгъл и да има такава скорост. А би могла да е в този ъгъл и да има ето такава скорост. Това са две различни състояния. Тя може да е тук горе и да има такава скорост. А може да е тук и да има ето такава скорост. Ако събереш всички различни състояния, а те са милиони милиарди, ще получиш х. Синята частица може да има х различни състояния. Ти не знаеш. Ние просто казваме: имаме този съд с N частици. И просто знаем, че всяка от тях може да има х различни състояния. Ако всяка от тях може да бъде в х различни състояния, колко конфигурации общо са възможни за цялата система? Значи частица А може да има х различни състояния, частица В може да има х различни състояния. Значи умножено по х. Ако имахме само две частици, тогава щяхме да умножим всички различни места Х, на които може да е синята частица по всички места, на които може да е червената частица, и щяхме да получим всички различни конфигурации на системата. Но ние нямаме само две частици. Ние имаме N частици. Значи за всяка частица трябва да умножиш възможните състояния, които може да има, и ще получиш общо по N пъти. Това е просто комбинаторика. Правиш го N пъти. Тази система може да има N конфигурации. Ако имах само две частици, всяка от тях ако има три различни потенциални състояния, това общо колко конфигурации е? За всеки 3 състояния на тази частица, другата частица също може да има 3 състояния и стават общо девет. Умножаваш ги. Ако имаш друга частица с 3 възможни състояния, умножаваш това по 3 и получаваш 27 различни състояния. Тук имаме N частици. Всяка от тях може да има х различни състояния. Значи общият брой състояния, които имаме за нашата система – х, умножено по себе си N пъти, е х на степен N. Значи имаме х^N състояния в нашата система. Сега, да кажем, че искаме да мислим колко състояния може да има системата. Определени състояния може да са по-малко. Например ако имам по-малко частици, ще имам по-малко потенциални състояния. Или може би ако имам по-малък съд, също ще имам по-малко потенциални състояния. Ще има по-малко потенциални места, на които да бъдат нашите частици. И аз искам да създам някаква променлива на състоянието, която ми казва, колко състояния може да има системата. Това е един вид макростатична променлива. Тя ми казва колко състояния може да има системата. Нека да я означим с S (от англ. дума state – състояние). За първи път в термодинамиката използваме буква, която по някакъв начин е свързана с термина, който представя и по-точно се опитва да измери. S от думата states. И тъй като броят на състоянията може да нарасне много, нека да кажем, че бихме искали да вземем логаритъм от броя на състоянията. Просто обяснявам как е дефинирана тази променлива на състоянието. Ще дам определението. Значи отпред ще сложа логаритъм. Нека да сложа логаритъм. В този случай това ще бъде логаритъм от броя на състоянията, а той е х^n – това е броят на потенциалните състояния. И знаеш, ние се нуждаем от някакъв коефициент за мащаба. Може би ще променя единиците. Нека да сложа отпред една константа. Всяка добра формула се нуждае от константа, за да оправи мерните единици. Това ще бъде малко k. И това е моето определение. Наричам това променлива на състоянието. Ако ми дадеш една система, аз, поне на теория, ще мога да ти кажа колко състояния може да заеме. Добре. Хайде да оградя това тук. Сега нека да кажем, че взема моя съд и... Нека да го копирам и поставя. Взимам моята кутия. И така се случва, че до нея има още една кутия. Те имат обща стена. Те са еднакви по размер, макар че аз не успях да ги направя еднакви. Но са доста близки. Те са равни по големина. И сега взривявам тази стена. Просто изведнъж я изпарявам. Просто изчезва. Това просто изчезва оттук. Какво ще се случи? Веднага след като премахна тази преграда, процесът вече не е изостатичен. Нали? Ще настъпи тотален хаос. След като взривя стената, сещаш се, частиците, които рикошират от стената, сега просто ще продължат напред. Нали? Те ще продължат напред, докато може би се ударят в тази стена. Точно когато стената изчезне, тук няма налягане, защото тези приятелчета няма в какво да се удрят. Докато тези тук още не са разбрали какво става. Те не знаят нищо, докато не дойдат тук и не видят: О, няма стена! Налягането се променя. Даже обемът се променя, докато тези приятелчета тук политат в цялото това ново пространство. Всичко се променя. Нали? И какъв е новият ни обем? Ако обемът е бил това, сега колко е? Това е два пъти по първоначалния обем. Нека помислим и за някои други променливи на състоянието, които знаем. Знаем, че налягането ще се понижи. Можем даже да направим връзка между тях, защото знаем, че обемът се е удвоил. Това е 2 по началния обем. А температурата? Дали температурата ще се промени? Температурата е средната кинетична енергия, нали? Или е мярка за средната кинетична енергия. Значи всички тези молекули тук, всяка от тях има кинетична енергия. Това може да са различни кинетични енергии, но температурата е мярка за средната кинетична енергия. Сега, ако взривя тази стена, това ще промени ли кинетичната енергия на тези молекули? Не! Тя изобщо не се променя. Значи температурата е константа. Ако това е Т1, температурата на тази система тук е Т1. И може да кажеш: Хей, Сал, почакай, в това няма логика! Преди, когато цилиндърът ставаше по-голям, температурата се понижаваше! Но причината тогава температурата да се понижава беше, че молекулите извършваха работа. Те самите разширяваха съда. Те раздуваха цилиндъра. Затова те изразходваха част от кинетичната си енергия за извършване на работа. А тук аз просто взривих тази стена. Тези приятелчета изобщо не са се трудили, затова не са изразходили никаква част от кинетичната си енергия за извършване на някаква работа. И затова температурата не се променя. Това е интересно. Добре. И в тази нова реалност – какво се случва сега? В някакъв момент достигаме положение, в което молекулите изпълват съда. Нали? Ако го разглеждаш на микрониво, защо това се случва? Това не е загадка. В тази посока нещата рикошират и продължават да рикошират. Но когато достигнат тук, където беше стената, те просто продължават пътя си, и започват да рикошират чак тук. И когато имаш милиард милиони частици, които правят милиарди милиони рикошети, става еднакво вероятно да са тук, както и там. Сега нека да направим отново нашите изчисления. В старата ситуация, когато гледахме само това, една частица можеше да бъде на х места, или в х състояния. Сега ще имаме два пъти повече състояния, нали? Сега всяка частица може да бъде в 2х различни състояния. Защо казвам 2х? Защото има два пъти по-голям обем, в който да бъде. Но състоянията не са просто позиции в пространството. Но всичко друго... преди това аз може би имах а положения в пространството по b моменти – това всичко са различни моменти, и това беше равно на х. Сега имам 2а местоположения в обема, в който мога да бъда. Имам два пъти по-голям обем. Значи имаме 2а положения в обема, в който мога да бъда, но моментите все още са – имаме само b моменти, така че това е равно на 2х. Значи сега мога да бъда в 2х различни състояния, тъй като имам 2 пъти по-голям обем, в който да се движа, нали? И колко състояния може да има системата? Всяка частица може да има 2х състояния. Значи това е 2х по 2х по 2х. И ще умножа това n пъти. Значи моята нова стойност за s – нека наречем това n начално. Значи s крайно – новата стойност за броя състояния – ще бъде равно на тази константа, която сложих тук, по натурален логаритъм от новия брой състояния. Колко е това? Това е 2х на степен n. И въпросът ми към теб е: Каква е промяната в s след взривяването на стената? Това място си беше тук през цялото време, но частиците не се интересуваха, защото тук имаше стена. Така че каква е промяната в s след взривяването на стената? И пак да повторя: температурата не се променя, защото не е изразходена кинетична енергия. И цялата система е изолирана. Трябваше да го кажа. Процесът е адиабатен и няма пренос на топлина. Ето защо не се променя температурата. Значи каква е промяната ни в s? Промяната ни в s е равна на s крайно минус s начално, което е равно на.. колко е s крайно? Това е ето този израз тук. То е k по натурален алгоритъм... и можем да го запишем като 2^n по x^n. Това е от правилата за степените. И от това ще извадим стойността на s в началото, която е k по натурален логаритъм от x^n. Сега можем да използваме свойствата на логаритмите, спомни си, логаритъм от а минус логаритъм от b, това е просто да ги разделим. Значи това е равно на k – можем да изнесем пред скоби това – логаритъм от 2^n... опа, това е главна буква N. Това е главно N. Не искам да го бъркаме с молове. Главно N е броят на частиците, които имаме. Това е 2^N по х^N, делено на x^N. Тези двете се съкращават. И нашата промяна е равна на k по натурален логаритъм от 2^N. Или ако използваме свойствата на логаритмите, можем да изнесем това N отпред. И можем да кажем, че промяната в s, която дефинирах преди – и сега получихме определение, което е различно от това в предишното видео – е равно на N, броя на молекулите, които имаме, по тази константа k, по натурален логаритъм от 2. Значи като взривих тази преграда и дадох на моите молекули два пъти повече място, в което да се движат, промяната в тази функция на състоянието е Nk по натурален логаритъм от 2. И какво всъщност се случи? Имам предвид, че тя просто се увеличи, нали? Тук имам положителна стойност. Натурален логаритъм от 2 е положителна стойност. N е положителна стойност. Това ще бъде много по-голямо число от броя на частиците, които имаме. И аз предполагам, че моята константа, която сложих тук, ще има положителна стойност. Но какво описвам аз тук? Казвам, че като взривих тази стена, моята система може да заеме повече състояния. Има повече различни неща, които може да прави. И тук ще използвам един термин. Нейната ентропия се повиши. Нека да дефинираме s като ентропия. Ще говорим повече за това понятие в бъдеще. Ентропията се повиши, което означава, че броят на състоянията се увеличи. Не трябва да използвам термина ентропия без да кажа, че ентропията се означава с S. Но нека продължим да използваме s за състояние (state). Броят на състоянията се повиши, повиши се с този коефициент. Повиши се с коефициент 2^N. Ето откъде идва N по натурален логаритъм от 2. Добре, и сега ти казваш: Чудесно, Сал. Ти използваш този статистически начин, или може би да кажем начин от комбинаториката, за да измериш възможните състояния. И гледаш действителните молекули. Не гледаш макросъстоянията. А можеш да направиш това. Ти получи това макросъстояние, което казва принципно колко състояния може да има. Но как да го свържем с това s, което дефинира в предишното видео? Спомни си, в предишното видео определихме състояние, което зависи от топлината. И аз дефинирах s, или промяната в s да е равна на добавената топлина в системата, делено на температурата, при която е добавена тази топлина. Хайде да видим дали тези двете са някак свързани. Нека да се върнем към нашата система и РV-диаграмата и да видим дали можем да имаме някаква полза. Добре. Това е налягане, това е обем. В началото, преди да взривим тази преграда, имахме някакво налягане и някакъв обем. Това е V1. След това взривихме стената и отидохме до... Всъщност ще го направя малко по-различно. Искам това да е точно тук. Нека да го сложа тук. Това е нашето V1. Това е първоначалното състояние. Начално състояние, или както искаш го наречи. Това е нашето начално налягане. И след това взривяваме стената и обемът се удвоява, нали? Можем да го означим като 2V1. Обемът се удвои, но налягането се понижи и сме ето тук. Това е състояние 2. Това е този случай, след взривяването на стената. Това, което направихме, не е квазистатичен процес. Не мога да начертая пътя дотук, защото когато взривихме стената, настана пълен хаос и налягането и обемът не бяха дефинирани. Но накрая достигнахме равновесие, когато това изпълни контейнера и всичко се стабилизира. И можем да се върнем тук и да кажем, че сега обемът и налягането са такива. Но не знаем какво се случи в междинните точки. И ако искаме да намерим нашето Q/T, или топлината в системата, научихме в предишното видео, че добавената топлина в системата е равна на работата, извършена от системата. А работата, извършена от системата, е площта под някаква крива, но тук нямаме крива, тъй като нашата система не беше дефинирана, когато изпадна в хаос. Какво можем да направим? Спомни си, че това е функция на състоянието. И това е функция на състоянието. Обясних го в предишното видео. Така че не зависи от това как сме стигнали от тук до тук. Нали? Значи тази промяна в ентропията... но нека внимавам с думите си. Тази промяна в s, тоест s2 минус s1, не трябва да зависи от пътя, по който съм стигнал от s1 до s2. Тоест това не зависи от колкото и безумен да е пътят от тук до тук... Имам предвид, че може да съм изминал някакъв шантав, квазистатичен път като този, нали? Всеки път, който води от от s1 до s2, ще има една и съща топлина, която постъпва в системата, или – нека да взема това. Всяка система, която преминава от s1 до s2, независимо от пътя, ще има еднаква промяна в ентропията, или промяна в s. Защото то е едно тук, и друго ето тук. И ние просто взимаме разликата между двете. Каква е системата, която може да направи това? Наричаме я изотермна. И знаем, че всички тези са една и съща изотерма, нали? Знаем, че температурата не се променя. Казах го. Защото няма изразходена кинетична енергия и никоя частица не е извършила никаква работа. Значи можем да разгледаме теоретичен процес, в който вместо да правим нещо като това, имаме ситуация, в която започваме с нашия оригинален съд, с нашите молекули в него. Можем да сложим един резервоар тук, който има температура, която е равна на нашата температура. И това може да е бутало, върху което има натиск от някакви камъчета, които натискат в посока наляво. И ние бавно премахваме камъчетата, така че газът да избутва буталото и да извършва някаква работа и да запълни целия този обем, или два пъти началния обем. А температурата остава постоянна заради този топлинен резервоар. Така че този тип процес е един вид алтернативна версия на този, който правехме при диаграмите на Карно. Може да се опише така. Преминаваме от това състояние в това състояние и това е квазистатичен процес по изотермата. Би изглеждал ето така. И тогава тук ще имаме крива. За този процес, каква ще бъде площта под кривата? Площта под кривата е равна на интеграла – правихме го няколко пъти вече – от началния обем до новия обем, който е два пъти по първоначалния обем, или р по промяната на обема, нали? р е височината, по малката промяна в обема, което е всеки правоъгълник. И интегралът е просто сумата от всички тези лица. Това е принципно работата, която извършва системата. А работата, която извършва системата, тъй като се движим по изотерма, е равна на топлината, добавена в системата. Защото вътрешната енергия не се променя. И какво е това? Правили сме това много пъти, но аз ще го направя отново. Това е интеграл от V1 до 2V1. PV е равно на nRT, нали? nRT Значи P е равно на nRT/V. nRT/V по dV. и t е T1. И всичко това се случва по една изотерма, така че всички тези членове са константи. Значи това е равно на интеграл от V1 до 2V1, от nRT1 по 1/V по dV. Решавал съм този интеграл няколко пъти. И това е равно на – ще пропусна няколко стъпки, защото съм го решавал вече в няколко видеа – натурален логаритъм от 2V1/V1, нали? Първообразът на това е натурален логаритъм. Натурален логаритъм от това минус натурален логаритъм от това е равно на натурален логаритъм от 2V1/V1. Което е равно на NRT1 по натурален логаритъм от 2. Интересно. Сега нека да добавим едно малко интересно нещо към това уравнение. Значи това е nRT, но ако искам да го запиша като брой на молекулите, n е броят на моловете. Значи мога да представя n като броя на молекулите, разделен на 6 по 10^23. Нали? Може да се запише така. Ако го представим по този начин – спомни си, че всичко това е, защото се опитваме да намерим количеството работа, която върши нашата система. Нали? Но ако го направим по този начин, уравнението става – да видим. Работата, извършена от системата – това е нашият квазистатичен процес, който ни довежда от това състояние до това. Това става по квазистатичен начин, така че имаме площ под кривата. Така че работата, извършена от системата, е равна на – нека да го напиша. N по R върху 6 по 10^23, по Т1 по натурален логаритъм от 2. Добре. Нека представим това като някаква нова константа. За удобство ще използвам малка буква k. Значи извършената работа е равна на броя частици, които имахме, по новата константа – нарича се константа на Болцман, и е просто 8, делено на това. По Т1, по натурален логаритъм от 2. Добре. Това е обаче само в тази ситуация. В другия случай не става, нали? Не мога да говоря за тази система, че е извършила някаква работа. Но тази система извърши някаква работа. И понеже я извърши по една изотерма, делта – промяната във вътрешната енергия е равна на 0, така че промяната във вътрешната енергия е равна на топлината, добавена в системата, минус работата, извършена от системата – това ще бъде 0, тъй като температурата не се променя. Значи тази работа е равна на топлината, добавена към системата. Значи топлината, добавена към системата от нашия малък резервоар, ще бъде – топлината ще бъде броят частици които имаме, по константата на Болцман, по температурата на изотермата, по натурален логаритъм от 2. И всичко това е страничен ефект от това, че удвоихме обема. В предишното видео дефинирах промяната в s като Q, делено на добавената топлина, делено на температурата, при която е добавена топлината. За тази квазистатична система, каква беше промяната в s? С колко се промени нашият член s? Промяната в s е равна на добавената топлина, делено на температурата. NkT1 по натурален логаритъм от 2, всичко това върху Т1. Значи делта... всичко това се съкращава. И промяната в големината на s е равна на Nk по натурален логаритъм от 2. Сега сигурно вече започва да ти просветва. Когато дефинирахме в предишното видео, ние се занимавахме само с термодинамиката, и казахме, че искаме да имаме променлива на състоянието, която да е свързана с топлината, и просто измислихме това нещо тук, което казва, че промяната в тази променлива на състоянието е равна на топлината, добавена към системата, делено на температурата, при която се прилага тази топлина. И когато използвахме това определение, промяната в стойността на s от тази позиция до тази позиция, за един квазистатичен процес, се оказа ето това. Nk по натурален логаритъм от 2. Това е функция на състоянието. Променлива на състоянието. Тя не зависи от пътя. Всеки процес, който ни довежда от тази точка до тази точка, има една и съща промяна в s. Делта s за всеки процес ще има една и съща стойност, която е Nk по натурален логаритъм от 2. Всяка система, по определение, нали? Това е променлива на състоянието. Не ме интересува дали изчезва или пътят е много сложен. Това е състояние. То зависи само от това и от това, нашата промяна в s. Като ни е дадено това, дори тази система – казахме, че системата от началото на това видео започна от обем V1 и стигна до обем V2. По определението от предишното видео – по това определение – промяната в s е равна на броя на молекулите по някаква константа по натурален логаритъм от 2. Това е същият резултат, който получихме, когато използвахме статистическа гледна точка, когато се интересувахме колко различни състояния може да има системата. И изумителното тук е, че започнахме с едно хубаво макросъстояние в нашия свят на двигателя на Карно, което всъщност не знаехме какво означава. Но получихме точно същия резултат, когато се опитвахме да измерим броя състояния, които може да заеме системата. Това беше дълго видео, разгънато в две видеа, за запознаване с ентропията. Ентропия. И в термодинамиката промяна в ентропията – ентропията е s, s като състояние (state) – термодинамиката, или цикълът на Карно, или двигателят на Карно, се определя като... Промяната в ентропията се определя като топлината, добавена към системата, делено на температурата, при която е добавена. В света на статистическата механика определяме ентропията като някаква константа – и тя е особено удобна, това е константата на Болцман – някаква константа по натурален логаритъм от броя на състоянията, които имаме. Понякога се записва като омега, понякога като нещо друго. Този път е броят на състоянията, които имаме. И ние току-що показахме в това видео, че това са еквивалентни дефиниции. Това са еквивалентни дефиниции. Когато използваме броя на състоянията за това, с колко се е увеличило, получаваме този резултат. И когато използваме термодинамичната дефиниция, получаваме същия резултат. Приемаме, че тази константа е равна на тази константа, ако и двете са константа на Болцман, която е 1,3 по 10^(-23), тогава нашите дефиниции са еквивалентни. И логиката за ентропията е – в последното ние сякаш се затрудняваме. Ние просто я дефинирахме така, но всъщност се питахме какво означава. Промяната в ентропията просто означава колко повече състояния може да има системата. Знаеш, че понякога в уроците по химия в гимназията наричат това безпорядък. И то е безпорядък. Но не искам да си го представяш като все едно, че една мръсна стая има по-висока ентропия от една чиста стая, което понякога хората използват като пример. Това не е вярно. Това, което трябва да си представяш, е стадион, пълен с хора, в който има повече състояния от един празен стадион. Това има повече ентропия. Всъщност трябва да бъда внимателен тук. Мога да кажа, че един стадион при висока температура има повече ентропия, отколкото има в моя хладилник. Частиците на стадиона имат повече потенциални състояния от частиците в моя хладилник. Сега ще те оставя тук, и ще взема това определение тук, което мисля, че е много основно. Това и това са едно и също определение – и ще го използваме, когато разглеждаме втория закон на термодинамиката. И само още нещо. Тук записах омега, но в нашия пример това е 2 на степен N. Ето защо това е опростено. Първия път това беше х на степен N, а втория път, когато увеличихме пространството двойно, или нашият обем, беше x^N по 2^N. Искам да съм сигурен, че ти е ясно какво е омега, в контекста на това, което разглеждахме. Ще се видим в следващото видео.