Алгебрични манипулации с Лоренцови трансформации

В това видео искам да се запознаем числово още по-добре с трансформацията на Лоренц, за да можем да я разпознаем в различните ѝ видове, и да започнем да разбираме логиката зад нейното поведение. Нека просто запишем трансформацията на Лоренц – или поне както аз предпочитам да я запиша. Нека си припомним – ако съм в моята отправна система, нося се през пространството, мога да взема s за отправната система на Сал. Някакво събитие в пространство-времето от моя гледна точка ще има някаква координата х. Ще направя това в зелено. И ще има някаква координата ct – ще направя това в оранжево. Трансформациите на Лоренц ще преминат от координатите в моята отправна система, пространствено-времевите координати за едно събитие, към отправната система на моята приятелка. Можем да кажем, че това е s' отправна система и нейната отправна система, събитието, ще има пространствено-времевите координати х' – нека го запиша така: (х'; ct'). Днес ми е трудно да сменям цветовете. ct' – нека запиша всичко по начина, по който го записах в предишни видеа, а после ще направя малко алгебрични преобразувания, за да можем да разпознаем това в неговите различни форми. Ако искаме да получим х', виждаме, че това ще се основава на Лоренцовия фактор по х минус мащабирана версия на ct, а коефициентът на мащабиране е бета – и след малко ще редефинираме бета – бета по ct, като нашият Лоренцовия фактор – нека го запиша тук – Лоренцовият фактор е 1 върху корен квадратен от 1 минус (v^2)/(с^2). Или можем да запишем това като 1 върху корен квадратен от 1 минус бета на квадрат, където бета е равна на v/c. Ето. Така получаваме х' и това ще се основава на Лоренцовия фактор в зависимост от v и, разбира се, останалата част от това ще зависи от х и ct. Как получаваме ct'? ct' ще е равно на – ще го запиша ето тук – ct' ще е равно на Лоренцовия фактор по – и, отново, това ще е хубавата симетрия, за която говорихме – по ct, ще запиша това в оранжево, ct минус бета по х. Както казах преди, предпочитам да го записвам по този начин. По-лесно ми е да го запомня. По-лесно ми е да го запомня, поради тази хубава симетрия. Когато се опитвам да намеря х', това е х минус бета по ct. Когато търся ct', то е ct минус бета по х. И в двата случая го умножавам по Лоренцовия фактор. Нека малко преработим това, за да го разберем малко по-добре, и да го съгласуваме с това, което може да видиш в други източници, включително, да кажем, учебника си. Знаем, че бета е равна на v/c и това е v/c, така че можем да запишем това като v/c по с, това с ще се съкрати с това с. И можем да преобразуваме това като х' е равно на Лоренцовия фактор, гама, по х минус vt. v*t. Това тук е много интересно, понеже ако игнорираш гама, или ако гама е едно, това по същество е Галилеева трансформация. Ако това е просто х - vt, това е просто логиката ни за ежедневието, но Нютоновата физика ще ни каже – когато го разгледаш в този вид, си мислиш, че просто ще мащабираш това по тази трансформация на Лоренц, която има това интересно поведение, че ако v е много, много по-малко от скоростта на светлината, тогава целият този фактор ще е доста близо до 1, а това е причината Галилеевата трансформация да важи за ежедневните скорости. Но ако v започне да се приближава до скоростта на светлината, това силно се увеличава и получаваме много по-различен резултат, отколкото с традиционната ни Галилеева трансформация. Нека помислим какво се случва тук и тук, вместо да остана с ct', също ще разделя двете страни на с, така че просто изразяваме времето, както нормално го разбираме. Просто променливите t', а не ct'. Нека също разделим двете страни на с. Тук делиш на с и тук можеш да разделиш на с, и тук можеш да разделиш на с – тези с се съкращават, тези с се съкращават, така че ни остава t' е равно на Лоренцовия фактор по t минус... сега ще получим v*x и ще разделим два пъти на с, тоест върху с^2. vx... v*х върху с^2. И тези два начина са по-често срещаните начини, по които виждаме трансформацията на Лоренц. Причината да не ми харесва толкова този вид, въпреки че изглежда спретнато, когато го погледнеш – изглежда все едно мащабираш Галилеевата трансформация – но тук вече не виждаш симетрията, а трябва да видиш симетрията тук, понеже говорихме за пространство-времето. Не говорим за независимост между пространство и време. Видяхме как ъглите в диаграмата на Минковски бяха симетрични, ъглите между обикновената ос и осите х' и ct'. Тук не ми харесва, че вече не виждаш симетрията, докато я виждаше по първия начин, по който записах това. Често казано, също така ми е трудно да запомня това. Но нека помислим какво се случва тук, когато v е много малка част от скоростта на светлината. Както вече казахме, Лоренцовият фактор ще е много близо до 1 и ако v е много малка част от с, тогава този втори член тук ще е доста близо до 0. Ако v е малка част от с, тогава това нещо ще стане доста – нека запиша това – ако v е много по-малко от с, тогава това ще се намали до t' приблизително равно на – понеже Лоренцовият фактор ще е доста близо до 1, това ще е доста близо до 0. Това ще е доста близо до t. Подобно, за v, ако е много по-малко от с тук, Лоренцовият фактор ще е доста близо до 1, така че х' ще е приблизително равно на х минус vt. За малки стойности на v, като например такава е дори скоростта на един куршум или дори скоростта на космическата совалка, или скорости, които са много, много по-малки от скоростта на светлината, от 3*10^8 метра в секунда – затова Галилеевите трансформации са доста добри приблизителни изчисления. Надявам се, че това започва да ти изглежда логично. Започни да изчисляваш това, изчисли това за v от ежедневието ни, а после виж какво се случва, когато v започне да доближава 0,8 пъти скоростта на светлината, 0,9с, 0,99с, помисли какво се случва с Лоренцовия фактор. И се надявам, че ще разбереш поведението на цялото това нещо.