Формула за тънка леща

Да кажем, че имам тънка изпъкнала леща с фокусно разстояние f и едно тяло с височина h0 стои на разстояние u от лещата. Да кажем, че знаем тези стойности. Знаем фокусното разстояние, u и h0, и въпросът е можем ли да намерим къде ще е изображението? И каква ще е височината на изображението? Можем да начертаем диаграма на лъчите. Нека начертаем два лъча и, където те се се пресичат, там се образува изображението. Целта е да намерим каква е височината на изображението и колко надалеч от лещата е образувано това изображение. Това са две неща, които трябва да открием. Трикът, който ще направим тук, ще е много подобен на това, което сме правили, когато работим с огледала. Идеята е, че трябва да намерим подобни триъгълници, при които това да са дължините на страните, а после можем да използваме свойствата на подобните триъгълници, за да намерим зависимост между тях. Спри видеото и виж дали можеш да намериш двойки подобни триъгълници в тази фигура. Ако гледаш внимателно, ще видиш, че тези двата са подобни триъгълници. Ако разгледаш този ъгъл тук, той трябва да е същият като този ъгъл. Те са вертикално противоположни един на друг. После този ъгъл е равен на този ъгъл, понеже и двата са правоъгълни триъгълници и, следователно, другият ъгъл също трябва да е еднакъв, което ги прави подобни триъгълници. И също, забележи, дължините на страните са точно каквото искаме и сега можем да кажем, че страните им имат еднакви съотношения и, следователно ако вземеш тази височина и разделиш на тази височина, или ако вземеш hi и разделиш на ho, това трябва да е същото като съотношението на всяка друга страна. Можем да вземем това сега, това трябва да е същото като v/u, тоест това е равно на v делено на u. Тук намерихме едно уравнение. Това едно уравнение съдържа и двете неизвестни. Не знаем hi, не знаем v, така че не можем да използваме това. Още не сме открили отговора си. Трябва ни друго уравнение. Трябва да намерим друга двойка подобни триъгълници и ако не успя да ги намериш преди, отново те окуражавам да спреш видеото и да видиш дали можеш да намериш друга двойка подобни триъгълници. Този път опитай да намериш в кой има f като дължина на страната. Отново, ако разгледаш внимателно, ще видиш, че тези са подобни триъгълници. Отново, единият ъгъл е 90 градуса, те са равни един на друг, после имаш тези вертикално противоположни ъгли, които също са равни един на друг, което означава, че третият ъгъл също трябва да е еднакъв и, като резултат, тези два триъгълника са подобни, така че можем да запишем подобно уравнение за тези два триъгълника. Височината им и дължините на страните им също имат едно и също съотношение. Спри видеото и опитай да запишеш подобно уравнение за тези триъгълници. Добре, да направим това отново. Ако вземеш hi делено на тази височина, която е ho... Ако вземеш hi, делено на ho, това трябва да е същото като тази дължина. На какво е равна тази дължина? Това е общата дължина, v, и това е f, тоест това е v - f. Делено на тази дължина, която е f. И това е уравнение номер две. Сега, забележи, имаме две уравнения със само две неизвестни и можем да ги елиминираме, и можем да намерим каква е височината на изображението и какво е разстоянието на изображението. Свършихме с геометрията, сега трябва да използваме алгебра, за да елиминираме променливите и ако погледнеш внимателно, ще видиш, че имат еднакви леви страни, което означава, че можем директно да поставим десните страни да са равни едни на други. За последно, опитай да спреш видеото и виж като използваш десните страни дали ще измислиш уравнение, подобно на това, което получихме за огледалата. Добре, да направим това. Да освободим малко място. Вече не ни трябва диаграма. Просто трябва да решим двете уравнения. Можем да изравним десните страни. v делено на u трябва да е равно на v - f, делено на f. Просто трябва да "поразчистим" това уравнение, за да можем да запомним това. Ще се отървем от знаменателите. Ще умножим цялото уравнение по u, а после по f, така че получаваме v*f, u се съкращава, а тук f се съкращава. Получаваме v - f по u, Просто ще умножим това, за да опростим. Нека опростим. v*f е равно на v*u. Просто ще умножим това, -f*u. За да направим това уравнение да изглежда по-добре, просто делим цялото уравнение на uv и f. Да видим какво получаваме вляво. Получаваме v и f се съкращава. Тук получаваш 1/u, да запишем това тук. 1/u е равно – тук v + u се съкращава. Остава ни 1/f. Тук f и u се съкращават, което означава, че ни остава 1/v. Ако добавим 1/v към двете страни, за да се уверим, че това изглежда подобно на формулата за огледалото, можем да запишем, че 1/f е равно на 1/v + 1/u. И готово. Това е уравнението, което свързва фокусното разстояние, разстоянието на тялото и разстоянието на изображението. И, подобно, след като знаем v, можем да заместим в някое от двете уравнения, можем да заместим тук, и можем да намерим каква е височината на изображението. Точно както за огледалата, можем да определим нещо, наречено увеличение m. Това е определено като височината на изображението делено на височината на тялото. Това е определението за увеличението... височината на тялото. То ни казва колко е увеличено изображението в сравнение с тялото и се оказва, че е просто v/u това е второто уравнение, нека просто качим тези две уравнения горе, тъй като намерихме това уравнение за този специфичен случай, в който имахме изпъкнала леща и получихме реално изображение, тези уравнения може да не са общи уравнения, може да не работят в случаи, в които имаме виртуални изображения, вдлъбната леща. Така че какво правим? Справяли сме се с такава ситуация и преди. Отговорът е – конвенцията за знаците. Виждали сме, че ако третираш тези разстояния като позиции на графика и ако запишеш тези разстояния със знаци, тогава те стават обща формула и точно това ще направим тук. Ще използваме същата декартова конвенция на знаците и ще поставим знаци тук, и ще ги генерализираме. Точно както преди, когато полюсът на огледалото биваше избиран за начална точка на координатната система, сега ще изберем оптичния център за начална точка на координатната система, а после ще изберем посоката на падане да е положителна посока в тази диаграма. Дясната страна е посоката на падане, така че това става положителна посока, което означава, че всички позиции вдясно от началната точка на координатната посока са положителни посоки, а всички позиции вляво от началната точка на координатната система са отрицателни посоки. Трябва да поставим тези знаци тук. Ако погледнеш това уравнение, да започнем с това фокусно разстояние – то е позицията на главния фокус и това е тук, това е положително. Това остава положително. Разстоянието на изображението е позицията на изображението, която също е от положителната страна. Това също остава положително. Разстоянието на тялото е позицията на тялото, то е от отрицателната страна. Така че това става "+" по "-", така че става "-". Тоест, крайното уравнение, общото уравнение е следното – ще го оградим, понеже това автоматично става общото уравнение и това е силата на конвенцията за знаците, сега можем да използваме това за всеки случай, който искаме. Да генерализираме това. За конвенцията за знаците за височината ще изберем над главната ос да е положителна височина, а под главната ос ще е отрицателна височина. Да видим, височината на изображението е отрицателна, понеже това е под главната ос. Тук има отрицателен знак. Височината на тялото е над главната ос. Това е положително. v е разстоянието на изображението. Тоест това е позицията на изображението, която остава положителна. u е позицията на тялото, която остава отрицателна. Помни, увеличението m е определено като hi делено на ho, а не като -hi/hо. Това не е крайното ни уравнение. Трябва да се отървем от отрицателния знак за височината. Ако погледнеш внимателно, двата отрицателни знака се съкращават, което означава, че това е общото уравнение, понеже сега това използва конвенцията за знаците. Това е общото уравнение. Това са уравненията за лещите, които са много подобни на уравненията за огледалото. Единствената разлика между тях е знакът на u. Ако обърнеш това, ако направиш u отрицателно, получаваш уравнението за огледалото.