Математическо доказателство на формулата за центростремително ускорение

В това видео искам да направя доказателство с висша математика на известната формула за центростремително ускорение, която дава големината на центростремителното ускорение – реалната посока ще се промени, тя винаги ще сочи навътре, но големината на центростремителното ускорение е равна на големината на скоростта на квадрат, делена на радиуса. Искам да поясня – това тук е скаларна формула, говорим за големината на ускорението и големината на скоростта. Ако това бяха вектори, върху тях щеше да има стрелки – не искам хората да се объркват, понеже това е v, това се отнася до големината на скоростта на квадрат. И това е големината. Всички тези са скаларни величини. Нека си представим някакъв обект в орбита около една планета. Да кажем, че това е планетата и имаш някакъв обект, който е в орбитата около нея, и се движи в обратна на часовниковата стрелка посока. Нека уточним вектора на положението му като функция на времето. Това е векторът на положението му и ще се промени като функция на времето, докато това нещо се върти. За целта на това доказателство ще приемем... Нека начертая малко оси тук. Това е нашата ос у, а това е нашата ос х. Ще определим тита като ъгъла между положителната част на оста х и вектора ни. И ще приемем, че това нещо е в орбита с радиус r. Големината на вектора на положението, въпреки че посоката ще се промени, няма да се промени – тя винаги ще има дължина r. Това обикаля в окръжност с радиус r. Големината на вектора на положението, която се променя като функция на времето, ще е r. Как можем да запишем вектора на позицията по отношение на компонентите му във всеки даден момент? Можем да запишем вектора на позицията– и ще го направя с разлагане на вектори, така че може да искаш да си припомниш тези видеа, ако нещо ти изглежда странно – и ще използвам малко тригонометрия, като разделя вектора на компонентите му. И те окуражавам да прегледаш някои от тези видеа, ако това ти изглежда страшно. Ако вземеш вектора на позицията във всеки даден момент, големината е r, този ъгъл е тита, неговата х компонента, в синьо, този вектор тук – трябва да кажа големината на вектора – ще е r по косинус от тита. Научихме, че това произлиза от базисната тригонометрия, когато започнахме задачите с двуизмерно движение на тяло – видяхме как да разделим векторите на компонентите им. И у компонентата на този вектор ще е r по синус от тита. Това ще е r по синус от тита. Векторът на позицията във всеки даден момент може да бъде записан като сбор на неговите х и у компоненти. Големината на х компонентата му ще бъде r по косинус от тита. И мога да запиша тита като функция на времето, ако искам, но просто ще запиша r по косинус от тита – нека го запиша така, за да показва тита като функция на времето. Това нещо се движи и ще е това по i единичния вектор – използваме разлагане на вектори. Това е единичният вектор i, казва ни, че х компонентата ще е в положителна х посока. Плюс големината на у компонентата, която е r по синус от тита, което ще е функция на времето. Да поясним – функцията на времето се прилага към тита. Това се движи в посока j. Това е нашият единичен вектор j. Сега имаме позицията като функция на тита, което е функция на времето. Нека вземем производната на това. Каква е производната на вектора на позицията по отношение на времето? Това просто ще е векторът на скоростта като функция на времето, и това ще е равно на – просто трябва да вземем производната на всяка от тези части по отношение на времето. И използваш верижното правило. Ще имаш r отвън, понеже това е константа. Ще имаш r производната на косинус от тита по t по отношение на тита t. И просто използвам верижното правило. Това ще е минус синус от тита по t и после ще трябва да умножим това по производната на тита от t по отношение на t. Тоест по d тита върху dt. Това е просто верижното правило. Това ще е как се променя в посока х. Правим нещо подобно в посока у – взимаме същата производна. Имаме скаларната величина r отпред. r и после производната на синус от тита по отношение на тита просто ще е косинус от тита. И ще запиша това като функция на времето и после трябва да умножиш това по скоростта, с която тита се променя по отношение на t, по d тита върху dt. И всичко това ще е по единичния вектор j. Има нещо, което може би вече осъзна, и трябва отново да гледаш видеото за ъглова скорост, ако това ти е непознато, но d тита върху dt – това е ъгловата скорост. Ето защо казах да изгледаш отново видеото. Скоростта, с която ъгълът се променя по отношение на времето, е ъглова скорост. Това тук е ъгловата скорост. И за целта на това видео трябва да направим едно предположение. Ще приемем, че омега, което е скоростта на промяна на ъгъла ни по отношение на времето – ще приемем, че това е константа. Това е предположение, което правим за това доказателство. Приемаме, че омега е константа. И ако омега е константа, можем да я третираме като константа и можем да я изнесем от израза. Нека изнесем минус омега по r от този израз тук. Можем да преобразуваме скоростта като функция на времето. Ще изнеса минус омега по r и ако изнеса минус омега по r, ти остава този първи член, отрицателният знак беше изнесен, r беше изнесено, омега беше изнесено, и имаш просто синус от тита по t. И не беше нужно да пояснявам, че тита е функция на t, но това изрично заявява, че тита е функция на t. И после по единичния вектор i. Плюс – и ако изнасяме минус омега r, това става минус косинус от тита, което е функция на t, и това е по единичния вектор j. Нека затворя скобите. Изнесохме минус омега r. Нека сега вземем производната на това по отношение на времето. Ако вземем производната на скоростта по отношение на времето, това очевидно е просто ускорението по отношение на времето и ще приемем, че големината на това нещо е константа, но реалната посока се променя – тоест това е ускорението като функция на времето и това ще е равно на това минус омега r, отваряме скобите. Каква е производната на това тук? Производната на синус по отношение на тита – просто използваме верижното правило – производната на синус по отношение на тита ще е косинус от тита като функция на t. И също трябва да вземем това и да го умножим по производната на тита по отношение на t. Мога да запиша d тита върху dt. Но това, отново, е просто омега. Това е просто омега и това, разбира се, е в посока i. И след това взимаме производната на косинус от тита от t по отношение на тита – това ще е минус синус от тита, тоест имаме отрицателен знак отпред, така че това става плюс синус от тита като функция на t. И после трябва да използваме верижното правило – производната на тита по отношение на t. Трябва да умножим по това и можем да запишем d тита върху dt тук, но това, отново, е същото нещо като омега. Всичко това бива умножено по единичния вектор j. И можем да затворим скобите. Нека изнесем това друго омега и получаваме нещо интересно. Получаваме, че векторът на ускорението като функция на времето е равен на – и ако изнесем още една омега, получаваме минус омега на квадрат по r – просто изнасям още едно омега – по, ще запиша това в скоби, косинус от тита като функция на t по нашия единичен вектор i плюс синус от тита, което е функция на t, по нашия единичен вектор j. Какво е всичко това тук? Просто погледни това – r по това, особено ако разпределиш r, това е точно това нещо тук. Ако разпределиш t, получаваш точно r по косинус от тита като функция на t по единичния вектор i плюс синус от тита като функция на t по единичния вектор j. Всичко това оградих в този оранжев правоъгълник. Това е векторът на позицията като функция на времето. Получихме много интересен резултат. Получихме, че векторът на ускорението като функция на времето е равен на отрицателната стойност на големината на постоянната ни ъглова скорост на квадрат, която приемаме за константа, по вектора на позицията ни. И да поясним, ъгловата скорост е един вид псевдо вектор, по принцип бива третирана като скаларна величина, особено при работа с 2 измерения. Тя всъщност е псевдо скаларна величина, но нека просто използваме това. Приемаме, че това тук е постоянна скаларна величина. Много, много, много сме близо до края. Искаме да свържем това – това е скаларната версия – ако искахме да вземем големината на двете страни, казваме, че векторът на ускорението е равен на тази константа по вектора на позицията. Нека вземем големината на двете страни на това. Получаваме, че големината на вектора на ускорението, който ще наричам а с индекс с, ще е равна на големината на това минус омега на квадрат, но когато взимаш само големината това е все едно да вземеш абсолютната стойност, абсолютната стойност е просто едномерна версия на големината, това ще е плюс омега на квадрат. Не ни интересува посоката, знакът ни дава посоката, но ни интересува само реалната големина. Това ще е големината на минус омега на квадрат по големината на вектора на позицията. Големината на омега на квадрат просто ще е омега на квадрат – можеш да махнеш знака – а големината на вектора на позицията, както видяхме в началото на видеото, е просто r – нашият радиус. Така че това тук ще е равно на радиуса на окръжността около която обикаляме. Знаем също, че ъгловата скорост, или големината на ъгловата скорост, е равна наголемината на нашата скорост, делена на радиуса на окръжността, около която обикаляме. Можем да заместим това тук. Ако повдигнем на квадрат, това ще е (v/r)^2 – видяхме това във видеото за ъглова скорост – по r, и това ще е големината на ускорението, което всъщност е центростремителното ускорение, насоченото навътре ускорение. Това ще е равно на – мисля, че виждаш накъде отиваме. Това е равно на v^2 върху r^2 по r, но това r се съкращава с r^2, така че ти остава само v^2/r. И готово! Големината на центростремителното ускорение е равна на големината на скоростта на квадрат, делено на радиуса. И сме готови.