If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:12:39

Материална точка, люлееща се по хоризонтална окръжност

Видео транскрипция

Искам да ти покажа как да решиш малко по-сложна задача с центростремителна сила и това е класическа задача. Това е задача, при която има тежест, вързана към нишка, и тази нишка е застопорена към тавана, и на тежестта е дадена начална скорост, така че се люлее в хоризонтална окръжност. Тази тежест ще поддържа постоянна височина, няма да се движи нагоре или надолу, но се върти в хоризонтална окръжност. Ако погледнеш това нещо отгоре или отдолу, изглежда като това. Ще видиш топка, която описва перфектна окръжност, ако погледнеш това нещо отдолу. И искам да попитам две неща. Каква е силата на опън във въжето? И каква трябва да е големината на скоростта на масата? И това са дадените ни променливи. Знаем, че масата е три килограма. Знаем, че дължината на въжето е два метра. И това въже създава ъгъл от 30 градуса по отношение на тази вертикална права тук. Тази задача е класическа, поради добра причина. Ако нямаш ясно концептуално разбиране за това какво имаме предвид под членовете, когато имаме работа с центростремителни сили, и ако нямаш стратегия за решаване на задачи, която да използваш, за да решаваш задачи, тази задача ще ти даде шанс да се запознаеш с тези неща. Ето защо ще преминем през това, за да се уверим, че имаш ясно разбиране за това какво имаме предвид под всички различни членове и да ти покажем, че има стратегия, която можеш да използваш, за да решиш която и да е задача с центростремителна сила. И стратегията е тази. Първо, начертай добра диаграма на силата за обекта или обектите в задачата ти. Нека първо направим това. Силите, които действат върху тази 3-килограмова сфера, са силата на гравитацията – ще имаш сила на гравитацията право надолу. Това ще е m по g. Начинът да намерим силата на гравитацията е с формулата масата по 9,8. И единственият обект, който докосва масата, е въжето. Единствената друга сила върху тази маса е силата на опън. Ще отбележа тази сила с главно Т. Това ще е общата сила на о от въжето. И единствената друга стъпка в тази стратегия за решаване на задачи – всъщност има само две стъпки – е да използваш втория закон на Нютон. Но го използвай само за една посока наведнъж. Обикновено имаме само две посоки. Имаме тази вертикална посока или имаме тази хоризонтална посока. Шансът ни е 50:50. Трябва да изберем една от двете. Не можеш да избереш грешната посока. Ако избереш грешната посока, това просто означава, че не можеш да решиш, понеже ще има твърде много променливи. Но това, което записваш в този процес, вероятно все пак ще е полезно по-късно в задачата, така че не го изтривай. Ако избереш посока, която не можеш да решиш, понеже имаш твърде много променливи, просто премини към другата посока и избери тази посока. Знам коя посока да избера, понеже съм решавал тази задача преди. Но ако ти не знаеш, най-лошото нещо е да се вцепениш. Трябва да опиташ нещо. Ако опиташ грешната посока, не е голям проблем, има само една друга посока, която можеш да избереш. Ще избера да анализирам тези сили във вертикална посока. Ще кажа, че ускорението във вертикална посока, тази посока у, е равно на сумарната сила в посока у, делена на масата. Сега просто ще се запитам какво е ускорението във вертикална посока. То не е 9,8. Много хора искат да кажат -9,8. Но това е само ако тази топка падаше свободно. А тази топка не пада свободно. Всъщност топката дори не променя вертикалната си височина. Остава на същата постоянна височина, а това означава, че не само няма вертикална скорост, но няма и вертикално ускорение, тъй като топката дори не се движи вертикално. Тук вляво, това е страхотно, можем да поставим 0. Нулите са чудесни. Те улесняват изчисленията. Това нещо е равно на сумарната сила във вертикална посока. Една сила ще е силата на гравитацията. Ще поставя това тук. Ще имаш m по g. Тази сила определено е вертикална сила. Но трябва да внимаваш, ако ще приемаме нагоре за положително, това mg ще е отрицателна сила. Що се отнася до насочени в посока у сили, обикновено надолу, според общоприетата практика, избираш да бъде отрицателно. Ще кажа, че mg е отрицателно. И сега се питаме дали има други вертикални сили. Просто поглеждаме диаграмата на силата. Диаграмата на силата ще ни каже дали има други вертикални сили. Поглеждаме тук, единствената друга сила е тази сила на опън. И част от тази сила на опън е вертикална. Не можем да въведем цялата сила на опън в тази формула. Можем да направим това, само ако тази сила на опън беше насочена вертикално нагоре, но тя не е. Част от нея е вертикално нагоре, а част от нея е хоризонтално. Част от силата на опън е насочена насам. Ще нарека това х компонентата на силата на опън. И част от тази сила на опън е насочена вертикално. Ще кажа, че това е у компонентата на силата на опън. Можем да въведем само тази у компонента на силата на опън в тази формула тук, тъй като въвеждаме насочените в посока у сили в това уравнение. Просто мога да запиша +Ту. Но не искам да направя това. Искам да намеря Т, а не Ту. Искам да запиша Ту по отношение на Т. Мога да направя това. Погледни образувания тук триъгълник. Тази сила на опън и това Ту ще направят един ъгъл тук. И този ъгъл трябва да е същият ъгъл, какъвто въжето прави с тази вертикална права. Силата на опън не е въжето. Силата на опън е сила, приложена от въжето. И силата на опън се простира в същата посока като въжето. Но силата на опън не е въжето. Това е често срещано погрешно схващане. Понякога хората мислят: "о, силата на опън е 2 метра, нали така!" Не. Това дори не е сила. Това е дължината на въжето. И, да, дължината на въжето се простира в същата посока както силата на опън, но силата на опън е различна от дължината на въжето. Но този ъгъл между силата на опън и тази вертикална компонента на силата на опън е същото нещо като ъгъла между въжето и вертикалната посока. Това означава, че можем да обозначим това като 30 градуса. И сега мога да намеря каква е вертикалната компонента на силата на опън по отношение на Т и по отношение на тита. Имам правоъгълен триъгълник. Това е прав ъгъл. Тази страна, която искам да намеря, Ту, е прилежаща към тези 30 градуса. След като е прилежаща, ще използваме косинус. С други думи, ще кажем, че косинус от тита е равен на прилежащата страна върху хипотенузата. Понякога хората се объркват. Те си казват: "Мислех, че вертикалът винаги е срещулежащата страна." Тя ще е срещулежаща страна, ако знаехме този ъгъл, но не знаем този ъгъл. Знаем този връхен ъгъл. И това означава, че вертикалната страна е прилежаща към този ъгъл. След като знаем този ъгъл можем да запишем, че косинус от 30 градуса ще е равен на прилежащата страна – сега прилежащата страна е Ту. А хипотенузата ще е Т. Тук хората се стряскат. Казват си, че имат твърде много променливи. Но това не е проблем. Можем да отбележим, че общата хипотенуза е Т. Въпреки че не я знаем, това не е проблем. Ще извършим малко действия със символи и ще намерим Ту. Ако умножа двете страни по Т, получавам Ту. Вертикалната компонента на силата на опън ще е равна на общата сила на опън по косинус от 30 градуса. Това е вертикалната компонента на силата на опън. И това е силата, която мога да въведа във вертикалната сумарна сила. И ще добавя, понеже това сочи нагоре, Т, общата сила на опън, по косинус от 30. И после трябва да разделя на масата. Сега мога да намеря Т. Ако умножа двете страни по m, m по 0 ще е 0. Ще преместя mg и после деля на косинус от 30, за да получа, че силата на опън във въжето ще е равна на mg, силата на гравитацията, делена на косинус от 30. И ако заместим с числата ще получим, че Т е равно – масата беше 3 килограма, g винаги е 9,8. Делено на косинус от 30. Това ни дава сила на опън от около 33,9 нютона. Просто ще кажа, че това е 34 нютона. Това е силата на опън във въжето. Това е първото нещо, което искахме да намерим. Току-що го намерихме. Това е силата на опън във въжето. Нека направим следващата част. Да опитаме да намерим големината на скоростта. Сега хората започват да се притесняват. Те се чудят какво да направят. Не се отклонявай от плана. Начертахме диаграмата на силата. Използвахме втория закон на Нютон за една от посоките. Все още имаш да вършиш работа. После използваш втория закон на Нютон за друга посока. Просто ще направим това за посока х. Ще се заемем с посока х. Ще кажа, че ускорението в посока х е равно на сумарната сила в посока х, делена на масата. И ще си задам същия въпрос. Има ли ускорение в посока х? Нямаше ускорение в посока у. Може да си помислиш, че няма и в посока х. Но има. Тази тежест се движи в окръжност. Това означава, че в тази посока ще има центростремително ускорение. Хоризонталната посока по същество е просто центростремителната посока. За да направим това по-ясно, просто ще запиша ас и Fс. И когато имаш центростремително ускорение, можеш да замениш това с v^2. Големината на скоростта на квадрат, делена на радиуса. И това ще е равно на сумарната центростремителна сила върху масата. Каква сила действа в центростремителна посока? Можеш да намериш това. Това е просто силата, която действа в посока х, понеже това е посока х. Посока х е посоката, която сочи към центъра на окръжността. Затова посока х тук е просто центростремителната посока. За да намерим кои сили са центростремителни, просто ще погледна диаграмата на силата. Имаше защо да я чертая. Начертах я, за да можем да я погледнем и да открием кои сили са вертикални, за да ги поставим тук, и кои сили са центростремителни, тоест хоризонтални, за да ги поставим тук. Единствената сила, която е хоризонтална, е хоризонталната компонента на силата на опън. Това е Тх. Но отново, вместо просто да въведем Тх, ще въведем каква е тази компонента по отношение на ъгъла и на общата сила на опън, точно както направихме тук. Ту беше Т косинус от 30. Може да не е изненадващо, че Тх, хоризонталната компонента, ще е просто Т по синус от 30. И ако не ми вярваш, можеш да си го докажеш. Помисли си. Тази Тх компонента е срещулежащата страна на този ъгъл. И за срещулежащата използваме синус. Можем да кажем, че синус от 30 ще е х компонентата, която е срещулежащата страна, върху хипотенузата, която е Т. И ако търсиш Тх, умножаваш двете страни по Т и получаваш, че Тх е просто Т, общата сила на опън, по синус от 30. Можем да въведем това тук. Знаем, че единствената компонента, която действа като центростремителна сила, тоест която сочи към центъра на окръжността, е тази х компонента, която намерихме, че е Т по синус от 30 градуса. Виждаш защо ако бяхме избрали първо тази посока, нямаше да можем да решаваме, понеже нямаше да знаем големината на скоростта, v, и нямаше да знаем силата на опън Т. Само понеже избрахме първо посока у успяхме да намерим силата на опън. И сега знаем тази сила на опън, която е 34 нютона, можем да я въведем тук и да намерим нашата големина на скоростта. Но тук хората често правят една грешка. Хората искат да въведат r като 2 метра, понеже си казват, че съм им дал 2 метра тук, така че ще го използват. Това тук е r, нали? Не е ли това r? Не, това не е r. r тук – винаги в центростремителната формула за ускорението – това r представлява радиусът на окръжността, по която се движи обектът. И този обект не се движи в окръжност с радиус 2. Радиусът на окръжността, по която се движи този обект, изглежда ето така. Това е радиусът на окръжността. И това не е 2 метра. Как да намерим това? Отново ще използваме тригонометрия. Ще кажем, че имаме правоъгълен триъгълник. Но този път ще направим правоъгълен триъгълник от дължината, а не от силата. Не от тази сила на опън. Правим правоъгълен триъгълник от дължината. Но отново знаем, че тази страна има прав ъгъл. Знаем, че от тази страна това е 30 градуса. Затова казваме, че радиусът е срещуположната страна на тези 30 градуса. Ще използваме синус от тита. Ще кажем, че синус от тита, който е 30, е равен на срещуположната страна, а това е r, делена на общата дължина на нишката, L. И ако намеря радиуса, получавам, че радиусът на окръжността, по която се движи тази топка, ще е L по синус от 30, където L ще са тези 2 метра. Ще въведем това тук. Ще кажем, че v^2, делено на r, което е L по синус от 30, ще е равно на Т по синус от 30, делено на масата. И сега можем да решаваме. Можем да умножим двете страни по L синус от 30. И получаваме, че v^2 ще е равно на Т по синус от 30 по L синус от 30, делено на масата на сферата. И след като искам да намеря v, а не v^2, ще намеря корен квадратен от двете страни и като взема корен квадратен от двете страни, получавам, че v е корен квадратен от Т синус 30, L синус 30, върху масата. Ако въведем числата, получаваме, че v е корен квадратен от Т, което е 34 нютона, по синус от 30 по L. И това L се отнася до общата дължина, която е 2 метра, по синус от 30. Цялото делено на масата, която беше 3 килограма. Което, ако намериш, ти дава големина на скоростта от около 2,38. Просто ще кажа 2,4 метра в секунда, което е големината на скоростта, която опитвахме да намерим. Да обобщим, когато решаваш трудна задача с центростремителна сила, начертай добра диаграма на силата, после използвай втория закон на Нютон само за една посока и въведи само силите в тази посока за сумарната сила. Ако посоката, която избереш, се простира по центростремителната посока, тоест сочи към центъра на окръжността, тогава можеш да използваш v^2/r за центростремителното ускорение. Но отново, въвеждай само сили, които са в тази посока на центростремителната сила. И се увери, че разбираш, че когато кажем радиус, говорим за радиуса на окръжността, по която се движи обектът.