Електрична потенциална енергия на заряди

Едно нещо ме объркваше преди. Да приемем, че имаме два заряда. Предлагам да ги кръстим. Този ще кръстим Q1, а този – Q2. Ако доближиш тези два заряда един към друг, а след това ги пуснеш, те ще се раздалечат, защото се отблъскват един друг. Еднаквите заряди се отблъскват, затова Q2 ще отиде надясно, а Q1 ще отиде наляво. Ще започнат да увеличават кинетичната си енергия. Ще увеличат скоростта си. Но откъде идва тази кинетична енергия? Според идеята за запазване на енергията, тази енергия трябва да е дошла отнякъде. Откъде идва тази енергия? Кой е източникът на кинетичната енергия? Източникът е електрическата потенциална енергия. Електрическата потенциална енергия се преобразува в кинетична. Първоначално в тази система има електрическа потенциална енергия, след което електрическата потенциална енергия намалява, а кинетичната нараства. С намаляването на потенциалната енергия кинетичната нараства. Но общото количество енергия в тази система от два заряда ще остане непроменено. Ето откъде идва кинетичната енергия. Идва от електрическата потенциална енергия. Буквата, с която физиците обикновено означават потенциална енергия, е u. Защо u за потенциална енергия? Не знам. Може би PE (ПЕ) също би имало смисъл, тъй като това са първите две букви от "Потенциална Енергия". Но най-често пишем буквата u. Ще сложа малко "е" тук, за да знаем, че става дума за електрическа потенциална енергия, а не, да речем, гравитационна потенциална енергия. Дотук добре. Имаме потенциална енергия, която се превръща в кинетична енергия. Знаем формулата за кинетична енергия на тези заряди. Може да намерим кинетичната енергия на зарядите, като умножим 1/2 от масата на един от зарядите по скоростта на заряда на квадрат. Каква е формулата за електрическа потенциална енергия между тези заряди? Имаме два или повече заряда един до друг. Има ли удобна формула, с която да определим колко електрическа потенциална енергия има в системата? Добрите новини са, че има. Има една хубава формула, която да ни помогне да го сметнем. Лошите новини са, че за да я получим, трябва да знаем висша математика. Няма да пресмятаме сега. Има видео по въпроса. Ще ти дам линк, ако искаш да го гледаш. В този клип само ще ти покажа как да използваш формулата. Формулата изглежда така. За да намерим потенциалната енергия между два заряда, умножаваме електричната константа К по първия и по втория заряд, след което делим на разстоянието между двата заряда. Ще го означим с r. Това е разстоянието от център до център. От центъра на единия заряд до центъра на другия. Разстоянието е r и не го повдигаме на квадрат. В много от тези формули, например за Закона на Кулон, r винаги се повдига на квадрат. Когато търсим електрически полета, повдигаме r на квадрат, но за потенциална енергия не повдигаме на квадрат. За да пресметнем формулата, трябва да съставим интеграл. Този интеграл превръща повдигнатото на квадрат r просто в r. Така че не повдигаме на квадрат. Този път е просто r. И това е формулата за пресмятане на електрическата потенциална енергия между два заряда. Едно нещо ме объркваше преди. Чудех се дали това е електрическата потенциална енергия на този заряд, Q1. Или пък е потенциалната енергия на този заряд, Q2? Най-добре да разглеждаме това като електрическата потенциална енергия на тази система от заряди. Имаш нужда и от двата заряда, за да имаш потенциална енергия. Ако имаше само един, нямаше да има потенциална енергия. Затова мисли за тази потенциална енергия като за потенциалната енергия, която съществува в тази система от заряди. Тъй като това е електрическа потенциална енергия, а всяка енергия се измерва в джаули, и тук мерните единици ще са джаули. Друго важно нещо е, че тази електрическа потенциална енергия е скаларна величина. Това означава, че не е вектор. Няма посока на енергията. Има само число и мерна единица, които посочват колко потенциална енергия има в системата. Това са добри новини. Когато говорим за вектори, трябва да ги разделяме на отделни компоненти. И когато имаме различни компоненти, трябва да смятаме колко от вектора сочи надясно и колко нагоре. Но не е такъв случаят при електрическата потенциална енергия. Тя няма посока. Следователно няма да разделяме на компоненти.. Говорим си само за електрическата потенциална енергия. Как се използва формулата? Как изглеждат задачите с нея? Хайде да опитаме да решим примерна задача, за да видиш как реално се използва формулата в задача. За нашата пробна задача приемам, че знаем стойностите на зарядите. Да кажем, че са в покой и разстоянието помежду им е 3 см. След като ги освободим от покоя, те се раздалечават на 12 см един от друг. Имаме нужда от още нещо. Трябва да знаем масите на всеки заряд. Да приемем, че всеки заряд е 1 кг, за да ни е по-лесно за смятане. Искаме да знаем колко бързо ще се движат тези заряди, след като са се раздалечили на 12 см един от друг. Синият заряд тук, Q1, ще се движи наляво. Q2 ще се движи надясно. Колко бързо ще се движат? За да го сметнем, ще използваме запазването на енергия. Ще включим и двата заряда в нашата енергийна система и ще приемем, че това е цялата система. Следователно общата начална енергия на системата ще е равна на общата крайна енергия на системата. Каква енергия имаше нашата система в началото? Тъй като в началото системата беше в покой, значи нямаме кинетична енергия в началото. Имало е само електрическа потенциална енергия в началото. Нека кръстим тази енергия u initial (начална u). И това ще трябва да е равно на крайната енергия, след като се раздалечат на 12 см. Колкото повече се раздалечават, толкова по-малко потенциална енергия ще имат, но все пак ще имат някаква потенциална енергия. Ще я кръстим u final (крайна u). Зарядите се движат. Тъй като се движат, значи имат кинетична енергия. Следователно добавяме кинетичната енергия. Като използваме формулата за електрическа потенциална енергия, разбираме, че тази първоначална потенциална енергия е равна на 9 по 10 на девета. Това е електричната константа К, умножена по заряда Q1. Това ще бъде равно на 4 микрокулона. "микро" е 10 на минус шеста. Трябва да го получим в обикновени кулони. След това умножаваме по Q2, което е 2 микрокулона. Значи получаваме два пъти по 10 на минус шеста, делено на разстоянието. Това е началната електрическа потенциална енергия, тоест, говорим за началното разстояние между тях. То беше 3 см. Но тук не мога просто да сложа 3. Това е в см. Ако искам да получа отговор в джаули, така че да получа скоростта в метри в секунда, трябва да обърна сантиметрите в метри. 3 см са 0,03 метра. Делим на 100, защото 1 метър има 100 сантиметра. И не повдигам на квадрат. Разстоянието r тук не се повдига на квадрат, така че не повдигаме на квадрат тук. Ще бъде равно на... същото това нещо тук. Затова ще копирам и поставя това. Единствената разлика е, че това сега е крайната електрическа потенциална енергия. Стойността на К е същата. Стойността на всеки заряд е една и съща. Единствената разлика е, че след като са се раздалечили, те вече отстоят един от друг не на 3, а на 12 см. Така че тук ще напишем 0,12 метра, тъй като 12 см е 0,12 метра. И сега трябва да добавим кинетичната енергия. Ще я наричам засега k. Общата кинетична енергия в системата, след като са се раздалечили на 12 см. Ако сметнеш тези двата члена, ако умножиш всичко отляво, ще получиш 2,4 джаула начална електрическа потенциална енергия. И ако сметнеш всичко в този член – умножаваш зарядите, разделяш на 0,12 и умножаваш 9 по 10 на девета – ще получиш 0,6 джаула електрическа потенциална енергия, след като са се отдалечили на 12 см, плюс кинетичната енергия в системата. Сега ще сменим тази кинетична енергия с формулата за кинетична енергия, която е 1/2 mv на втора степен. Но има проблем. И двата заряда се движат. Ако искаме да смятаме правилно, трябва да предвидим, че и двата заряда ще имат кинетична енергия, не само единият от тях. Така че ако сметнем само 1/2 по 1 кг, по v на втора степен, ще получим грешен отговор, тъй като ще сме пренебрегнали факта, че другият заряд също има кинетична енергия. Можем да направим две неща. Тъй като масите са еднакви, те ще имат еднаква скорост, което означава, че мога да запиша тази маса тук като 2 кг по общата скорост на квадрат. А може и просто да запишем два члена, по един за всеки заряд. Това е по-безопасният вариант. Затова ще действам така. По-лесно е да разгледаме задачата по този начин. Добре, да го решим. 2,4 минус 0,6 е 1,8 джаула, което ще е равно на 1/2 по 1 кг по скоростта на втория заряд на квадрат, плюс 1/2 по 1 кг, умножено по скоростта на първия заряд на квадрат. Тук трябва да отбележа следното. Тъй като имат еднакви маси, ще се движат с една и съща скорост. 1/2 v на квадрат плюс 1/2 v на квадрат е просто v на квадрат, тъй като 1/2 v на квадрат плюс 1/2 v на квадрат е 1 цяло от v на квадрат Но ако си от досетливите, може би ще си кажеш: "Почакай! Този заряд, въпреки че е със същата маса, имаше по-голям заряд от другия заряд. Не би ли трябвало този заряд да се движи по-бързо, тъй като имаше повече заряд?" Отговорът е не. Силата, която тези два заряда упражняват един върху друг, е винаги една и съща, дори да имат различни заряди. Не звучи логично, но е вярно. Третият закон на Нютон ни казва, че това е вярно. Ако упражняват една и съща сила при еднакво разстояние, те ще извършват едно и също количество работа. А ако масата им е една и съща, значи ще се движат и с еднаква скорост. Ще имат еднаква скорост, v. За да пресметнем скоростта v, ще извадим корен квадратен от всяка страна и ще получим, че скоростта на всеки заряд ще бъде корен квадратен от 1,8. Всъщност трябва да разделя първо джаулите на килограми, защото дори като е 1, мерните единици трябва да се пресмятат правилно. Трябва да получа джаули за килограм. Ако сметна този корен квадратен, ще получа 1,3 метра в секунда. Ето това е скоростта на зарядите, след като са стигнали на 12 см един от друг. Потенциалната енергия се превръщаше в кинетична енергия. Затова крайната потенциална енергия беше по-малко от началната потенциална енергия и цялата тази енергия се преобразува в кинетичните енергии на тези заряди. Решихме задачата. Да пробваме нещо друго. Хайде вместо зарядите в началото да са в покой на 3 см един от друг, този път да са в покой, но на 12 см, а Q2 да е отрицателен заряд. Сега вместо +2 микрокулона ще имаме -2 микрокулона. След като този заряд е отрицателен, значи се привлича от положителния заряд. По същия начин положителният е привлечен от отрицателния. От състояние на покой на 12 см един от друг им позволяваме да се придвижат един към друг, докато не стигнат на разстояние 3 см. Задаваме същия въпрос – каква ще бъде скоростта им, когато стигнат на 3 см един от друг. Как ще се променят сметките? След като първоначално са били в покой, кинетичната им енергия е била 0. Това не се променя. Но този път началното разстояние не е 3 см. Вместо да започнат на разстояние 3 см и да приключат на 12 см, те първоначално ще се намират на 12 см и накрая ще се доближат до 3 см. Какво друго е различно? Единствената друга разлика е знакът на Q2. Може да си мислиш, че не бива да слагам знаците на зарядите тук, за да не се объркам. Но тук имаме електрическо поле и електрическа сила. Това не са вектори, следователно можем да пишем положителни и отрицателни знаци. Така и трябва да правим. Най-лесното нещо е да сложим знаците. И уравнението ще ти посочи дали накрая ще имаш положителна потенциална енергия, или отрицателна потенциална енергия. Не обичаме да слагаме знаците във формулите за електрическо поле и електрична сила, защото те са вектори. А при векторите трябва да преценим в каква посока сочат и този минус тук може да ни обърка. Но сега няма как да се объркаме. Този минус ще ни каже дали имаме положителна или отрицателна потенциална енергия. Няма нужда да се тревожим – величината не е векторна, а скаларна. Накратко – ако е положителен заряд, слагаме плюс. Ако е отрицателен, слагаме минус. Тази формула е достатъчно умна, да го пресметне и тъй като е скаларна величина, няма нужда да мислим за разбиване на компоненти. С други думи, вместо 2, тук имаме –2 микрокулона. И вместо +2 в тази формула ще имаме -2 микрокулона. И когато умножим лявата страна, няма да се изненадаме от резултата – минус 0,6 джаула начална потенциална енергия. Сигурно ще се притесниш и ще си кажеш: "Я чакай малко! Как така започваме с отрицателна потенциална енергия? В това няма никакъв смисъл. Как ще получим кинетична енергия в система, която започва с потенциална енергия, която е по-малка от 0?" Изглежда малко странно. Как така стартираме с потенциална енергия, по-малка или равна на нула, и в крайна сметка получаваме кинетична енергия? Това е така, защото това тук, нашата крайна потенциална енергия, ще бъде дори по-малко. Ако го сметна, ще получа -2,4 джаула. И след това добавяме кинетичната енергия в системата. С други думи, системата все още трупа кинетична енергия, защото все още губи потенциална енергия. Това, че имаш отрицателна потенциална енергия, не значи, че не може да имаш по-малко потенциална енергия от началната. Малко като при финансите. Повярвай ми, ако започнеш с по-малко от 0 лева, т.е. ако имаш дълг, това не значи, че не можеш да харчиш пари. Ти можеш да се сдобиеш с кредитна карта и да задлъжнееш дори повече. Все още можеш да си купуваш неща, макар да нямаш пари или дори да имаш дългове. Това просто ще значи, че ще задлъжняваш все повече. Същото е и с електрическия потенциал. Задлъжнява все повече и повече, за да може да натрупа кинетична енергия. Не е най-доброто финансово решение, но това е физика – на зарядите не им пука. Добре, нека намерим кинетичната енергия в системата. Прибавяме 2,4 джаула към двете страни и получаваме +1,8 джаула отляво. Ще имаме два члена, защото и двата заряда се движат. Ще е равно на 1/2 по 1 кг по скоростта на един от зарядите на квадрат, плюс 1/2 по 1 кг по скоростта на другия заряд на квадрат. Това пак ще прави просто v на квадрат. Ако пресметнем v, ще получим същата стойност като миналия път – 1,3 метра в секунда. Да си припомним – формулата за електрическа потенциална енергия между два заряда е k по Q1 по Q2 върху r. И тъй като енергията е скаларна величина, можем да сложим тези знаци, които да ни подскажат дали потенциалната енергия е положителна или отрицателна. Тъй като това е енергия, може да се използва за запазване на енергия. Възможно е системата да има отрицателна електрическа потенциална енергия, като в същото време превръща енергията в кинетична енергия. Трябва само да е сигурно, че електрическата потенциална енергия става още по-отрицателна.