If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Какво е център на масата?

Научи дефиницията за център на масата и как да го изчисляваш.

Какво е център на масата?

Център на масата е геометрична точка, отнасящоа се за дадено тяло или система от тела. Това е точка, в която се приема, че е съсредоточена цялата маса на тялото (или на системата от тела).
За прости твърди тела с еднаква плътност центърът на масата се намира в пресечната точка на медианите, т.нар. медицентър. Например центърът на масата на еднороден диск ще бъде в неговия център. Понякога центърът на масата не попада никъде в тялото. Центърът на масата на пръстен например се намира в неговия център, където няма материал от самия пръстен.
Фигура 1: Център на масата за някои прости геометрични фигури (червени точки).
Фигура 1: Център на масата за някои прости геометрични фигури (червените точки).
За по-сложни фигури ни трябва по-общо математическо определение за центъра на масата: то е единствената точка, при която сборът от произведенията на масите на всички части на една система (материални точки) и техните радиус-вектори, построени от тази точка, е нула.

Какво е полезното на центъра на масата?

Интересното за центъра на масата на тяло или система е, че това е точка, в която действа коя да е сила върху тялото. Това е полезно, защото улеснява решаването на задачите от механика, в които трябва да опишем движението на тела с необичайни форми и сложни системи.
За целите на изчислението можем да разгледаме тяло с необичайна форма, сякаш цялата му маса е концентрирана в много малко тяло, намиращо се в центъра на масата. Понякога наричаме това въображаемо тяло материална точка.
Ако бутаме едно твърдо тяло в центъра на масата му, тогава обектът винаги ще се движи сякаш е материална точка. Няма да се завърти около някоя ос, без значение от неговата реална форма. Ако тялото е подложено на действието на небалансирана сила в някоя друга точка, тогава то ще започне да се върти около центъра на масата.

Как можем да намерим центъра на масата на които и да е тяло или система?

В общия случай центърът на масата може да се намери чрез събиране на векторите на произведенията на масите на всички части на една система и техните радиус-вектори, насочени към центъра на масата. Една бърза техника, която ни позволява да избегнем използването на векторни изчисления, е намирането на центъра на масата поотделно за компонентите по всяка ос.
За тела, намиращи се по оста х:
Ц, М, start subscript, x, end subscript, equals, start fraction, m, start subscript, 1, end subscript, dot, x, start subscript, 1, end subscript, plus, m, start subscript, 2, end subscript, dot, x, start subscript, 2, end subscript, plus, m, start subscript, 3, end subscript, dot, x, start subscript, 3, end subscript, plus, dots, divided by, m, start subscript, 1, end subscript, plus, m, start subscript, 2, end subscript, plus, m, start subscript, 3, end subscript, plus, dots, end fraction
И аналогично за оста у:
Ц, М, start subscript, y, end subscript, equals, start fraction, m, start subscript, 1, end subscript, dot, y, start subscript, 1, end subscript, plus, m, start subscript, 2, end subscript, dot, y, start subscript, 2, end subscript, plus, m, start subscript, 3, end subscript, dot, y, start subscript, 3, end subscript, plus, dots, divided by, m, start subscript, 1, end subscript, plus, m, start subscript, 2, end subscript, plus, m, start subscript, 3, end subscript, plus, dots, end fraction
Заедно тези ни дават пълните координати left parenthesis, Ц, М, start subscript, x, end subscript, comma, Ц, М, start subscript, y, end subscript, right parenthesis на центъра на масата на системата. Например да разгледаме система от три плоски тела с еднаква плътност, показани на Фигура 2.
Фигура 2: Система с три плоски тела.
Фигура 2: Система от три плоски тела.
Местоположението на центъра на масата в посока x е:
start fraction, 1, dot, 4, plus, 1, dot, 6, plus, 2, dot, 12, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, comma, 5
А в посока y е:
start fraction, 1, dot, 5, plus, 1, dot, 12, plus, 2, dot, 8, comma, 5, divided by, 1, plus, 1, plus, 2, end fraction, equals, 8, comma, 5
Сложни тела често могат да се представят като съставени от прости фигури, всяка със своя маса. Можем тогава да представим всяка съставяща фигура като материална точка, разположена в центроида. Кухините в телата могат дори да бъдат отчетени, като ги представим като фигури с отрицателна маса.
Да разгледаме неправилната плоскост с еднаква плътност, показана на Фигура 3а.
Фигура 3: (a) Плоско тяло с неправилна форма. (b) Тяло, разделено на по-прости фигури.
Фигура 3: (a) Плоско тяло с неправилна форма. (b) Тяло, разделено на по-прости фигури.
Можем да разделим това тяло на четири правоъгълника и един кръг, както е показано на фигура 3b. Тук се интересуваме само от позицията на центъра на масата в съответните мерни единици във фигурата. Материалът има еднаква плътност, следователно масата е пропорционална на площта. За опростяване можем да представим масата на всяка част в единици "квадрати", както е показано на диаграмата.
По посока x центърът на масата е в:
start fraction, 16, dot, 10, plus, 52, dot, 4, plus, 12, dot, 7, comma, 5, plus, 16, dot, 10, plus, left parenthesis, minus, 7, comma, 1, right parenthesis, dot, 4, comma, 5, divided by, 16, plus, 52, plus, 12, plus, 16, –, 7, comma, 1, end fraction, equals, 6, comma, 6
Имай предвид, че площта на кръглата кухина е pi, dot, 1, comma, 5, squared, \simeq, 7, comma, 1. Това се отчита като отрицателна маса.
В посока y:
start fraction, 16, dot, 13, plus, 52, dot, 7, comma, 5, plus, 12, dot, 7, comma, 0, plus, 16, dot, 2, plus, left parenthesis, minus, 7, comma, 1, right parenthesis, dot, 7, comma, 5, divided by, 16, plus, 52, plus, 12, plus, 16, –, 7, comma, 1, end fraction, equals, 7, comma, 4

Какво е център на тежестта?

Центърът на тежестта е точката, в която действа силата на тежестта на едно тяло или система. В повечето задачи по механиката се приема, че гравитационното поле е еднородно. Центърът на тежестта тогава е точно в същата позиция като центъра на масата. Термините център на тежестта и център на масата често се използват взаимозаменяемо, тъй като често са в една и съща точка.

А как да определим центъра на масата на реално тяло?

Има няколко полезни експериментални теста, които могат да се направят, за да се определи центърът на масата на твърдо физично тяло.
Методът ръб на маса (Фигура 4) може да се използва, за да се намери центърът на масата на малки твърди тела с поне една плоска страна. Тялото бавно се бута без завъртане по повърхността на маса към нейния ръб. В момента, в който тялото тъкмо ще падне, се чертае права, успоредна на ръба на масата. Процедурата се повтаря с тялото, завъртяно на 90°. Пресечната точка на двете прави дава местоположението на центъра на масата в равнината на масата.
Фигура 4: Методът ръб на маса, използван за намиране на центъра на масата на тяло с неправилна форма.
Фигура 4: Методът ръб на маса, използван за намиране центъра на масата на тяло с неправилна геометрична форма.
Методът на отвесната права (Фигура 5) също е полезен за обекти, които могат да бъдат свободно окачени около точка на въртене. Добър пример за това е парче картон с неправилна форма, окачено на корково табло. Картонът се завърта свободно около кабърчето под действието на гравитацията, след което се установява в стабилно, неподвижно състояние. Спуска се отвесна права от кабърчето и се използва за маркиране на линия върху обекта. Кабърчето се премества на друго място и процедурата се повтаря. Тогава центърът на масата се намира под точката на пресичане на двете прави.
Фигура 5: Методът на отвесната права, използван за намиране на центъра на масата на тяло с неправилна форма.
Фигура 5: Методът на отвесната права, използван за намиране центъра на масата на тяло с неправилна геометрична форма.

Център на масата и условие за равновесие

Едно полезно приложение на центъра на масата е определянето на максималния ъгъл, при който едно тяло може да бъде наклонено преди да се преобърне.
Фигура 6а показва напречно сечение на камион. Той е лошо натоварен, тъй като има много тежки предмети, натоварени в лявата страна. Центърът на масата е показан като червена точка. Червена права е спусната от центъра на масата, представяща силата на гравитацията. Гравитацията действа върху цялата тежест на камиона през тази права.
Ако камиона се наклони на ъгъл theta, start subscript, t, end subscript (както е показан на фигура 6b), тогава цялата му тежест ще се издържа от левия ръб на лявото колело. Ако ъгълът се увеличи, тогава опорната точка ще се премести извън всяка точка на контакт с пътя и каминонът със сигурност ще се обърне. Ъгълът theta, start subscript, t, end subscript е границата на обръщане.
Фигура 6: Точка на обръщане на лошо натоварен камион.
Фигура 6: Точка на обръщане на неправилно натоварен камион.
Упражнение 1: Определи точката на обръщане на тялото с еднородна плътност, показано на фигура 7, когато е наклонено надясно.
Фигура 7: Наклонено тяло от Упражнение 1.
Фигура 7: Наклонено тяло от Упражнение 1.

Отправна координатна система за център на масите

Когато се използва термина отправна система във физиката, той се отнася за координатната система, използвана за изчисленията. Една отправна система има набор от оси и начало (точка нула). В повечето задачи отправната система е фиксирана спрямо експеримента и се избира удобна (но случайна) точка нула. Това е познато като експериментална отправна система. Обаче в класическата физика също е възможно да се използва всяка друга отправна система и да се очаква законите на физиката да са валидни за нея. Това включва отправни системи, които се движат според експеримента.
Едно много полезно свойство на центъра на масите е, че той може да се използва, за да се дефинира нулева точка на специална отправна система. Тази координатна система понякога се нарича ЦМ система. ЦМ системата е особено полезна в задачи със сблъсъци между тела. Оказва се, че импулсът на напълно дефинирана система, измерен в ЦМ система, е винаги нула. Това означава, че изчисленията често могат да бъдат много по-прости, когато са направени в ЦМ система, сравнено с експерименталната отправна система. Нека разгледаме един прост пример:
Нека разгледаме две колички, движещи се по писта в една и съща посока, както е показано на Фигура 9. Лявата количка се движи по-бързо, следователно неизбежно ще има сблъсък. Да предположим, че сблъсъкът е еластичен. Какви са скоростите след удара?
Фигура 9: Две движещи се колички преди сблъсък: ударът много по-лесно се анализира в ЦМ координатна система.
Фигура 9: Две движещи се колички преди сблъсък: ударът много по-лесно се анализира в COM рамка.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.