Извеждане на прекия път за решаване на задачи с еластични удари

Ако успя да издържиш последното видео, видя, че тези задачи с еластичен сблъсък могат да станат доста гадни. Алгебрата става доста сложна. Това, което направихме – ако пропусна видеото, може би прескочи към това по-лесното и това не е проблем, но това, което изпусна, или видя, ако го изгледа, е, че използвахме запазването на импулса, но имахме две неизвестни крайни скорости. Не знаехме скоростта на никое тяло след сблъсъка, така че трябваше да решим този израз и да намерим една от скоростите, а после да я въведем в запазването на кинетичната енергия, което можем да направим, понеже при един еластичен сблъсък кинетичната енергия е запазена. Но тъй като повдигаме този израз на квадрат, той става голям и сложен и бива умножен по други неща. Трябва да комбинираш членове и накрая просто трябва да се молиш да не направиш изчислителна грешка или да не изгубиш някой знак тук. И ако имаш късмет и това проработи, и получиш отговор, ако по време на този процес закръглиш, отговорът ти ще е малко неточен. Очевидният въпрос е дали има по-лесен начин за решаване на тези задачи с еластичен сблъсък, при които имаш две неизвестни крайни скорости. Има по-лесен начин и ще ти го покажа в това видео. За да намерим по-прост начин за решаване на задачата ще направим това, което винаги правим във физиката, за да намерим верен резултат, вместо да решаваме тази задача числово, с числа, ще я решим символично, със символи. Под това имам предвид, че вместо да кажем, че масата на топката за голф е 0,045 килограма, нека просто да кажем, че е коя да е дадена маса и просто да я наречем mg за маса на топката за голф. Може да попиташ: "Как това ще помогне? Ще имаме множество променливи тук вместо числа, това пак ще е каша." Пак ще е малка каша, но когато решаваш задачи символично, често ти позволява да видиш модели, симетрии, съкращения, които могат да се случат в изчислението, които не са толкова очевидни, когато има куп числа. Когато има куп числа, това просто изглежда като голяма каша. Когато тук имаш символен израз, понякога се случва нещо магическо и това ще се случи тук, и това ще ни даде резултат, който е много по-лесен. Нека направим това, нека решим тази задача със символи. Ще се отървем от всички тези числа и ще превърнем тези променливи, вместо да кажем, че началната скорост на топката за тенис е 40 метра в секунда, ще я оставим със символи. Вместо да даваме число ще наречем това vt за топката за тенис, после ще запиша i за начална (initial). Това е началната скорост на топката за тенис. Ще направим същото нещо за топката за голф. Вместо да кажем, че тя е 50 метра в секунда наляво, ще кажем, че е vgi, началната скорост на топката за голф. Когато преди записах 50 имах предвид големината на скоростта. Но този път, когато запиша vg, имам предвид скоростта. С други думи, това vgi може да е отрицателно. Всъщност ако топката за голф се движи наляво, това число ще е отрицателно. Но това не е проблем, това е със символи. Ще третираме това vgi като скоростта, така че това може да е отрицателно число или може да е положително число, ако топката за голф се движеше надясно. Ще направим същото нещо за масите. Вече записах, че масата на топката за голф е mg, сега ще запишем, че масата на топката за тенис е mt. Сега ще решаваме по същия начин, по който го направихме преди, ще използваме запазването на импулса. Началният импулс ще е масата на топката за тенис по началната скорост на топката за тенис, vti, а после плюс масата на топката за голф по началната скорост на топката за голф, vgi. Може да си кажеш: "Чакай, това трябва да е "минус", нали?" Не, знам, че тази топка за голф ще се движи наляво, но оставям това vgi да е скоростта. Тук има скрит отрицателен знак. Ако това се движи наляво, това vgi ще е равно на някакво отрицателно число, с други думи, няма да искам да поставя друг "минус" или ще променя този "минус", който ще е тук, затова пиша "плюс". Това ще е равно на крайния импулс на топката за тенис, mt по vt крайна, плюс крайния импулс на топката за голф, mg по vg крайна. И е добре да следиш неизвестните си. Сега не знам крайните скорости. Дават ми всички тези начални стойности за скоростта и масата. Тези можем да приемем, че са ни "дадени". Нещата, които не знам, са крайните скорости. Отново, точно както преди, когато направихме това числово, не мога да намеря нито една от тези, понеже има две неизвестни. Често, когато решаваш задачите със символи, тъй като в някакъв момент ще искаш да ги поразчистиш, опитваш да търсиш начини да опростиш. Няма много начини, по които можем да опростим, но мога да преместя този член mt вляво и да преместя този член mg вдясно, така че мога да запиша това като mg по vti минус mt по vt крайна. И, подобно, вдясно ще получа mg, vg крайна, а после изваждам този член от двете страни. Ще получа минус mg по vg начална и, забележи, можем да изнесем общ член. Може да си кажеш: "Защо правим това?" Ако правех това за пръв път и аз можеше да не знам. Но често е добре да опитаме да опростим колкото е възможно. И в този случай това ще е изключително важно. Това ще е важна стъпка в опита да опростим целия този процес. Сега мога да видя как това не би било очевидно, но просто трябва да ми повярваш за момент. Ще искаме да направим това, понеже след малко ще направи живота ни много по-лесен. Вдясно ще запиша това като mg по (vg крайна минус vg начална). За да следиш нещата, променливите, които не знам, са това vt крайна и това vg крайна. Все още вдясно съм "заседнал". Изглежда малко по-добре, понеже членовете са групирани, но пак, ако сблъсъкът е еластичен, ще трябва да използвам запазването на кинетична енергия. Ще направим това тук. Ако взема общата начална кинетична енергия и поставя това да е равно на общата крайна кинетична енергия, ще имам 1/2 масата на топката за тенис, vti, началната скорост на топката за тенис, на квадрат, така че това е просто началната скорост на топката за тенис на квадрат плюс началната кинетична енергия на топката за голф, която ще е 1/2 mg vgi на квадрат. Това ще трябва да е равно на крайната кинетична енергия на всички тела, така че ще имам 1/2 по масата на топката за тенис по крайната скорост на топката за тенис на квадрат плюс 1/2 по масата на топката за голф по крайната скорост на топката за голф на квадрат. И, отново, правим това, за да поразчистим нещата. Искаме накрая да получим един хубав израз, така че ще съкратя няколко члена. Виж, навсякъде има 1/2. Мога да съкратя 1/2 от всеки член тук, като просто разделя двете страни на 1/2, или мога да си представя, че умножавам двете страни на 2. Това ще ни отърве от всички тези 1/2. После ще направя същия трик, който направих тук. Ще преместя всички членове mt от едната страна и всички членове mg от другата страна. Отново, може да не е очевидно защо правим това, но ти обещавам, че ще се случи нещо магическо, така че трябва да ми повярваш. Ако запиша mt по vti на квадрат и после ще извадя този член от двете страни, за да получа всички mt заедно, пак ще имам - mt vt крайна на квадрат. Това ще е равно... понеже сега ще извадя този член от двете страни, за да получа всички mg заедно. Вече имам този член тук, mg vg крайна на квадрат минус... а после този член, който изваждам от двете страни, mg vg начална на квадрат, и играя същата игра, която играх тук – изнасям общ член. Мога да изнеса общ член mt. Получавам mt по (vti на квадрат минус vtf на квадрат). Това ще е равно на mg по количеството vg крайна на квадрат минус vg начална на квадрат. Сега нещата стават интересни. Ако разгледаш това ляво уравнение и това дясно уравнение, те изглеждат доста по-подобни, което е чудесно, понеже искам да въведа това дясно уравнение в лявото уравнение по хитър начин, който кара нещата да се съкратят. Затова правя нещата по този начин. Можехме да използваме груба сила, точно както направихме числово. Намираме една от тези скорости, въвеждаме я директно в една от тези скорости, получаваме огромна каша и се опитваме да комбинираме членове. Но този начин, който правим тук, ще е много по-поразчистен. Какво правим сега? В този момент искам да направя това ляво уравнение да изглежда повече като това дясно уравнение. Има ли някакъв начин да променя тази разлика на квадрати в разлика само на скорости? Има! Ако помниш, мога да запиша този член, който е повдигнат на квадрат, като mt по количеството vti минус vt крайна умножено по vti плюс vt крайна. Понеже когато ги умножа, получавам vti на квадрат минус vt крайна на квадрат и после кръстосаните членове ще се съкратят. Ако не ми вярваш, изпробвай го самостоятелно. Провери, за да се увериш, че се умножава до това. Ще заменя този член с този и това ще е равно на – ще направя същото нещо в дясната страна. Ще запиша това като mg по количеството vg крайна минус vg начална, а после това е умножено по количеството vg крайна плюс vg начална и, отново, това ще се умножи и ще получим това. Ако не ми вярваш, опитай самостоятелно. Сега можем да работим, виж това. Тук ще се случи магията. Имам mt по vti минус vt крайна тук. И имам точно същия израз ето тук. Ще взема целия този израз, mg по количеството vg крайна минус vg начална, и ще го въведа вместо това. Mоже да си кажеш: "Защо можем да направим това?" Понеже този член тук, mt по тази разлика, е същият като този член тук, mt по тази разлика, и знам, че този член е равен на този член, те са еднакви. Мога да заменя това – навсякъде, където видя това, мога да го заменя с това, понеже са равни. Така че това е позволено, не засягам равенството, ако просто въведа този член вместо този член, понеже те са равни. Това ще направя. Ще взема този член за mg, ще го въведа в тази страна и какво ще получа? Ще получа mg по vg крайна минус vg начална. На това е равен целия този член. Но все още е умножен по това, така че трябва да го сваля и пак умножавам. Пиша vt начална плюс vt крайна. Това ще е равно на... Тази дясна страна остава същата, не направих нищо с нея. Сега виждаш ли нещо? Виждаш ли колко е чудесно това? Мога да разделя двете страни на mg. То се съкращава и това ще е странно. В този израз, който намираме, няма да ни остане маса. Зависимостта, която ще получим, не зависи от масите на сблъскващите се тела, което е малко странно и готино. Но дори още по-добре, виж този член, vg крайна минус vg начална, това е ето тук, vg крайна минус vg начална. Мога да разделя двете страни на него и то ще се съкрати. Ще получим един от най-простите изрази, които можеш да си представиш. Нека направя малко място за него. Нека поразчистя. Ще получим, че vt начална, началната скорост на тенис топката, плюс vt крайна, крайната скорост на тенис топката, трябва да е равно на vg начална – ще променя реда тук, понеже това е събиране и можеш да промениш реда на нещата, които събираш, просто за да изглежда като лявата страна – vg начална, началната скорост на топката за голф, плюс vg крайна, крайната скорост на топката за голф. Виж колко е красиво това. Казва ни, че при един еластичен сблъсък, ако вземеш началната и крайната скорост на едно от телата, това трябва да е равно началната плюс крайната скорост на другото тяло, без значение от какви са масите на сблъскващите се тела. Никога не бих забелязал това, освен ако не го бяхме решили със символи, за да видим, че тези неща се съкращават. Това не би било очевидно. Можеше да реша милион от тези задачи с еластичен сблъсък и вероятно никога нямаше да предположа, че това беше така. Голямата причина това да е полезно е, понеже сега можем да използваме този прост израз, вместо да използваме запазването на кинетична енергия. Запазването на кинетичната енергия ни създаваше всички проблеми, понеже там големините на скоростите бяха повдигнати на квадрат. И когато въведохме израз и го повдигнахме на квадрат, получихме този гаден числов израз, с който трябваше да се справим. Но сега с този прост израз между скоростите, можем просто да намерим една от тези неизвестни скорости в това уравнение и да я въведем в уравнението за запазването на импулса. Няма да има повдигане на израз на квадрат. Пак ще трябва да въведеш едното уравнение в другото, но процесът ще е много по-разчистен, много по-прост и по-неподатлив на изчислителни грешки. В следващото видео ще ти покажа един пример за това как да използваш този процес, за да можеш бързо да намериш крайната скорост на всяко тяло при един еластичен сблъсък. Да обобщим, използвахме символичен израз за запазване на импулса, въведохме това във формулата за запазване на енергия и получихме красив, прост резултат, който ще можем да използваме, за да решаваме задачи с еластичен сблъсък по начин, който избягва нуждата от използване на запазването на енергия всеки път.