Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 6

Урок 1: Импулс на тяло и импулс на сила

Какво представлява удар в две измерения?

Научи как да се справяш с удари в 2 измерения (направления)... и стани по-добър в билярда.

Как можем да решаваме задачи за удар в две измерения?

В други статии разгледахме как се съхранява импулсът при удари. Разгледахме също как кинетичната енергия се прехвърля между телата и се преобразува в други форми на енергия. Приложихме тези принципи към прости задачи, в които често движението е ограничено в едно направление.

Ако две тела се блъснат челно, те могат да отскочат и да продължат в същата посока, от която са дошли (т.е. в едно измерение). Обаче ако две тела се ударят при малък ъгъл, те ще продължат в две направления (измерения) след удара (като при удар под малък ъгъл между две билярдни топки).

За удар, при който телата се движат в 2 измерения (например x и y), импулсът ще се съхрани във всяка посока поотделно (стига да няма външен импулс в тази посока).

С други думи, общият импулс в посока x ще бъде същият преди и след удара.

Σ p_{x i} = Σ p_{x f}

Също така общият импулс в посока y ще бъде същият преди и след удара.

Σ p_{y i} = Σ p_{y f}

При решаването на задачи за удар в две измерения добрият подход обикновено следва обща процедура:

Идентифицирай всички тела в системата. Означи ги с ясни символи и начертай проста диаграма, ако е нужно.
Запиши всички стойности, които знаеш, и определи какво точно ти трябва, за да решиш задачата.
Избери координатна система. Ако много от силите и скоростите са насочени в определена посока, препоръчително е да използваш тази посока за х или у оста, за да опростиш сметките; дори и това да означава осите на твоята диаграма да не са успоредни на листа.
Идентифицирай всички сили, действащи на всяко тяло в системата. Увери се, че са записани всички импулси или провери дали разбираш къде външните импулси могат да бъдат пренебрегнати. Спомни си, че запазването на импулса важи само при случаите, в които няма външни импулси. Запазването на импулса обаче може да се приложи поотделно за хоризонтални и вертикални компоненти. Понякога е възможно да се пренебрегне външният импулс, ако той не е в посоката, която ни интересува.
Напиши уравнения, които показват импулса в системата преди и след сблъсъка. Могат да се запишат отделни уравнения за импулса в посока х и за импулса в посока у.
Реши получените уравнения, за да определиш израз за променливата (променливите), които ти трябват.
Замести със стойностите, които знаеш, за да намериш крайната стойност. Ако ти се наложи да събираш вектори, често е удобно да го направиш графично. Може да се начертае векторна диаграма и да се използва методът за събиране на вектори начало към край. Тогава може да се използва тригонометрия, за да се намери големината и посоката на всички вектори, които знаеш.

Задача с билярдна топка

Фигура 1 описва геометрията на сблъсък на бяла и жълта билярдна топка. Жълтата първоначално е в покой. Бялата топка е изиграна в положителна x посока, така че да се удари жълтата топка. Ударът кара жълтата топка да се придвижи към долния десен джоб при ъгъл 28° спрямо оста x.

Масата на жълтата топка е 0,15 kg, а на бялата е 0,18 kg. Звуков запис разкрива, че сблъсъкът се е случил 0,25 s след като играчът е ударил бялата топка. Жълтата топка пада в джоба 0,35 s след сблъсъка.

Упражнение 1a: Каква е скоростта на бялата топка след сблъсъка?

В тази задача трябва да знаем скоростта (големината и посоката) на бялата топка след сблъсъка. Ще използваме индексите "б" и "ж" за бялата и жълтата топка, и "н" и "кр" за началната и крайната скорост. На фигурата са отбелязани осите х и у, така че ще низползваме тях за нашия анализ.

Фигурата показва съответните разстояния, които са минали двете топки. Знаем времената между събитията, така че можем да намерим скоростите. Като съберем цялата информация, която имаме, получаваме:

\begin{aligned} m_{б} & = 0, 18 kg \\ m_{ж} & = 0, 15 kg \\ v_{б н} & = \frac{1 m}{0, 25 s} ∠ 180^{\circ} \\ v_{ж н} & = 0 \\ v_{ж к р} & = \frac{1 m}{0, 35 s} ∠ 62^{\circ} \end{aligned}

Няма индикация, че енергията се е запазила в тази задача. (Това е нееластичен удар. Всички импулси при сблъсъка идват от движещата се топка.)

Ударите между твърди билярдни топки се случват много бързо, така че можем да приложим запазването на импулса:

\begin{aligned} m_{б} \cdot v_{б н} & = m_{б} \cdot v_{б к р} + m_{ж} \cdot v_{ж к р} \\ v_{б к р} & = \frac{1}{m_{б}} (0, 72 ∠ 180^{\circ} kg \cdot m / s - 0,428 ∠ 62^{\circ} kg \cdot m / s) \end{aligned}

Нужните векторни пресмятания, за да намерим

v_{б к р}

, могат да бъдат направени графично. Фигура 2 показва векторна диаграма с двата вектора на импулсите

p_{wi}

- p_{yf}

, събрани по метода начало към край. Синият вектор за импулс, свързващ началото на веригата към края, представя сумата

v_{б к р}

в този случай.

Забележи, че изваждането на вектор

p_{yf}

е същото като добавянето на

- 1 \cdot p_{yf}

. Умножаването по -1 е просто преобръщане на посоката на вектора. Тези статии за вектори съдържат много примери за прости действия с вектори.

Непознатите стойности са намерени, използвайки тригонометрия и са показани в синьо. Полученият вектор, показан в синьо, е крайният импулс на бялата топка. Разделяйки на масата на бялата топка, получаваме нейната скорост.

\frac{0,396 kg \cdot m / s}{0, 18 kg} ∠ - 30, 33^{\circ} = 2, 2 m / s ∠ - 30, 33^{\circ}

Забележи, че също е възможно (и, по принцип, по-бързо) да направим векторна аритметика чрез използване на калкулатор, който може да работи с комплексни числа. Но пак е препоръчително да скицираш векторите, така че резултатът да може да бъде проверен визуално.

Упражнение 1b: Има ли вероятост бялата топка да падне в който и да е джоб? Ако е така, как можем да го избегнем?

Фигурата удобно показва ъгъла на линията, пресичаща центъра на масата на бялата топка при сблъсъка и горния десен джоб. Даден е като

31^{\circ}

спрямо оста x. Тъй като това е много близко до нашия изчислен ъгъл, вероятно топката ще падне в джоба.

Стига посоката, в която първоначално е играна бялата топка, da остане същата, контактната точка с жълтата топка ще остане същата, и това ще гарантира падането ѝ в горния десен джоб. Ако увеличим или намалим големината на началната скорост, тогава бялата топка ще удари съответно или горния, или десния ръб на масата.

Упражнение 1c: Колко енергия е загубена в околната среда при този сблъсък?

Няма начин, по който може да се запази потенциалната енергия в тази система, затова можем да намерим изгубената енергия, като извадим крайната енергия на системата от началната.

\frac{1}{2} m_{w} v_{wi}^{2} - (\frac{1}{2} m_{w} v_{wf}^{2} + \frac{1}{2} m_{y} v_{yf}^{2})

\frac{1}{2} 0, 18 kg \cdot (4 m / s)^{2} - \frac{1}{2} 0, 15 kg \cdot (2, 86 m / s)^{2} - \frac{1}{2} 0, 18 kg \cdot (2, 2 m / s)^{2} = 0, 39 J

Отскачаща бейзболна топка

Да разгледаме ситуация, в която една бейзболна топка е насочена към неподвижна дървена дъска от машина за хвърляне. Машината е настроена да изстрелва топката с маса 0,145 kg с 10 m/s. Топката удря дъската, образувайки ъгъл 45° спрямо повърхността на дъската. Дъската е леко гъвкава и ударът е нееластичен. Топката отскача назад при ъгъл 40° спрямо повърхността на дъската, както е показано на фигура 3.

Подсказка: Когато топка отскача от повърхност, импулсът, отговорен за отскачането, винаги е насочен нормално спрямо повърхността.

Упражнение 2a: Каква е скоростта на топката след сблъсъка?

Единствените тела в тази система са топката и дъската. Ще използваме индекса "т" за топката и индексите "н" и "кр" за начална и крайна стойност. За нашия анализ ще използваме осите, показани на фигура 3.

В тази задача знаем началния импулс на топката

p_{т н} = m_{т} v_{т н} = 1, 45 kg \cdot m / s

при ъгъл

45 °

. Знаем посоката на крайния вектор за импулса

p_{т к р}

, но не и големината на този вектор. Наистина тази големина е това, от което се нуждаем, за да решим задачата.

В тази задача дъската се смята за неподвижна и нейните еластични свойства са неизвестни. Импулсът, който тя отдава на топката по време на удара, е неизвестен външен импулс. Обаче ние знаем, че този импулс е насочен нормално спрямо повърхността (в посока -y).

Няма външен импулс по посока х, затова импулсът се съхранява в това направление. Ако промяната в импулса, породена от дъската, е

Δ p_{д ъ с к а}

, тогава от запазването на импулса имаме:

p_{т к р} = p_{т н} + Δ p_{д ъ с к а}

Задачи като тази често се решават най-лесно графично. Фигура 4 показва диаграма на вектора на импулса, като векторите в дясната страна на уравнението са събрани начало към край и показани в синьо. Получаващият се вектор на сбора

p_{bf}

е показан в зелено. Където големината на вектора в началото е неизвестна е поставена пунктирана линия. Можем да намерим големината на неизвестните вектори, като открием къде се пресичат правите с помощта на тригонометрията.

Крайният вектор за импулса на топката се определя, като първо изчислим дължината на прилежащава страна в горния триъгълник, а после хипотенузата на долния триъгълник, както е показано. Тогава скоростта е:

\frac{1,338 kg \cdot m / s}{0,145 kg} = 9,227 m / s

Упражнение 2b: Ако топката е в контакт със стената за 0,5 ms, каква е големината на силата, породена от стената, върху топката?

Упражнение 2c: Колко работа е извършена от топката върху стената?

Макар и дъската да не се помръдва, тя е леко гъвкава. Когато топката удря стената и отскача, стената се огъва, следователно е извършена работа върху стената от топката. Малки парченца от стената, близо до топката, всъщност помръдват, следователно има сила, приложена от топката при някакво разстояние, което означава, че е извършена работа върху стената от топката. Извършената работа

W

върху дъската е промяната в кинетичната енергия на топката. След това тази абсорбирана от дъската енергия ще бъде загубена в околната среда като звук или топлина.

Можем да извадим крайната кинетична енергия от началната, за да намерим общата работа

W

, която топката трябва да е извършила върху стената.

\begin{aligned} W & = \frac{1}{2} m_{т} v_{т н}^{2} - \frac{1}{2} m_{т} v_{т к р}^{2} \\ = \frac{1}{2} 0,145 kg (10 m / s)^{2} - \frac{1}{2} 0,145 kg (9,227 m / s)^{2} \\ = 1,077 J \end{aligned}

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.