Графики сила спрямо време

Има миниатюрен космически кораб и той е пълен с малки извънземни, които тъкмо са изследвали нова луна с лунни басейни и всякакви видове нови органични форми на живот. Но те са приключили с изследването, така че ще излетят и ще вземат откритията си у дома, за да кажат на всички свои приятели. Нека да кажем, че в някакъв момент по време на издигането си те се движат с 4 метра в секунда. Те са малки извънземни, космическият им кораб е само 2,9 килограма, но те трябва да знаят дали ще успеят да излетят от тази луна, или не. Така че трябва да наблюдават скоростта си, но вместо да използват скоростомер, те са умни извънземни и използват графика на силата и скоростта. На таблото си имат графика на силата и времето и тя им казва каква е сумарната сила върху тях. Да кажем, че това е сумарната сила, а не просто някаква сила, но това е общата сила върху тях от двигателите и силата на гравитацията, и каквито други сили може да има. Те имат напреднали сензори за силата. Разбира се, че могат да определят сумарната си сила. Това им дава тази сила като функция на времето. Но те искат да знаят каква ще е скоростта им след 9 секунди. Ще проверят данните за силата и времето и това е графиката, която получават. Сега могат да я определят. Ето как го правят. Казват: "Има сумарна сила от 3 нютона, която действа за първите 4 секунди." През целите първи 4 секунди има постоянна сила от 3 нютона. И всеки извънземен, който си заслужава хляба, знае, че сумарната сила, умножена по времевия интервал, през който тази сила е приложена, ти дава сумарния импулс на силата. Това ни дава сумарния импулс на силата. Ако вземем тази постоянна сила от 3 нютона, която действа, умножена по 4-те секунди, през които действа, получаваме, че има импулс на силата от 12 нютон секунди. И може да си кажеш: "Кого го интересуват нютон секундите тук, искам скоростта. Не искам силата и времето, искам да знам скоростта при 9 секунди." Но в извънземната космическа академия те учат, че сумарният импулс на силата не само е равен на сумарната сила по времето, а също е равен на промяната на импулса на тялото, върху който силата е била приложена. И това е добре. Знаем масата на тялото. Искаме да знаем нещо за скоростта. Знаем, че импулсът е m по v. Този сумарен импулс на силата ще ни помогне да намерим отговора. Но тези 12 нютон секунди бяха само за първите 4 секунди. Как да го намерим за следващите 3 секунди? Виж това. През следващите 3 секунди няма постоянна сила, тази сила се променя, става по-малка. Как да сметна това? Силата не е постоянна стойност, така че не мога просто да взема силата по времето, понеже не знам каква сила да избера? Ще използваме един трик. Ще използваме един трик, понеже, ако забеляза, за първата част, за първите 4 секунди, взехме силата и умножихме по времевия интервал, 4 секунди. Но всъщност просто взехме височината на този правоъгълник по ширината на този правоъгълник и това ни дава площта му. Така че просто намерихме площта под графиката на силата и времето. Това ни даде импулса на силата и това не е просто съвпадение. Импулсът на силата е равен на площта под една графика на силата и времето, което е много полезно, понеже сега, в тази част, където силата се променя, пак можем да използваме това. Можем просто да намерим импулса на силата, като определим площта под тази крива. И под площ под кривата имаме предвид от правата линия до оста х, която, в този случай е оста на времето. Да направим това. Намерихме импулса на силата за първата част. Той беше 12 нютон секунди. Сега можем да намерим импулса на силата за следващата част, като просто определим площта. Това е триъгълник. Намираме 1/2 основата, която е 1, 2, 3 секунди, а височината пак е 3 нютона. Ще получим сумарен импулс на силата от 4,5 нютон секунди. Имаме още една част, но тази е малко по-странна. Тази площ се намира под оста на времето. Това пак е триъгълник, но тъй като силите са отрицателни, това ще се брои като отрицателен сумарен импулс на силата. Когато площта лежи над оста на времето, това се брои като положителен импулс на силата, а когато площта лежи под оста на времето, тя се брои като отрицателен сумарен импулс на силата. Колко отрицателен сумарен импулс на силата имаме? Пак намираме площта. Площта на един триъгълник отново ще е 1/2, основата този път е 2 секунди, а височината е -2. -2 нютона, което ни дава сумарен импулс на силата от -2 нютон секунди. Сега можем да намерим скоростта на космическия кораб при 9 секунди. Като приемем, че тези данни за силата започнаха в този момент тук при t = 0 секунди, когато корабът се движеше с 4 метра в секунда, можем да кажем, че общият сумарен импулс на силата трябва да е равен на общата промяна в импулса на този космически кораб. И можем да намерим общия сумарен импулс на силата, като съберем всички отделни импулси на силата. През първите 4 секунди имаше 12 нютон секунди импулс на силата. През следващите 3 секунди имаше 4,5 нютон секунди импулс на силата. И през тази последна част имаше -2 нютон секунди импулс на силата, което, ако събереш всички тези, 12 плюс 4,5 плюс -2, получаваш +14,5 нютон секунди импулс на силата. Това е хубаво за извънземните ни приятели тук, трябва да излетят от луната, което означава, че им трябва положителен импулс на силата нагоре. Те имат някакъв положителен импулс на силата. Да видим каква е била тяхната крайна скорост. Знаем, че делта Р е промяната в импулса, тоест това е краен импулс минус начален импулс, което можем да запишем като масата по v крайна минус масата по v начална. Ако това беше земна ракета, това щеше да е трудно, понеже земните ракети, използващи земна технология, изстрелват гориво с висока скорост от задния край и това губи маса. Това означава, че тази маса няма да остане постоянна. Земните ракети избутват гориво надолу, което води до равна и противоположна сила обратно нагоре върху ракетата. Но ако губиш маса, тази маса не остава постоянна и целият този процес е много по-труден, понеже m крайна и m начална няма да са еднакви. Може би оттук идва фразата: "Не е ракетно инженерство", понеже ракетното инженерство е малко по-трудно, когато тази маса се промени. Да кажем, че тези умни извънземни изстрелват само малко гориво. Може да си кажеш: "Как?" Трябва да има определено количество импулс, което те изстрелват, за да си дадат импулс нагоре. Но да кажем, че могат да изстрелят само малка маса с голяма скорост, затова не губят много гориво. Това гориво, което изстрелват, е изстреляно с огромна скорост, така че получават импулс нагоре, но не губят почти никаква маса. И това ни позволява да решим задачата, като приемем, че масата е постоянна. Ако приемем, че масата е постоянна, получаваме, че +14,5 нютон секунди е равно на... Можем да изнесем масата, тя е постоянна, така че просто можем да запишем това като m по v крайна минус v начална, тъй като мога да изнеса общ член m, което означава, че мога да запиша това като 2,9 килограма умножено по крайната скорост след 9 секунди и знам, че е след 9 секунди, понеже събрах всичкия импулс на силата през тези 9 секунди, минус началната скорост, която беше 4 метра в секунда. Ако разделя двете страни на 2,9 килограма... 14,5 върху 2,9 е 5 и това ще са нютон секунди върху килограми, което има мерни единици от метри в секунда и това е положително. Това ще е равно на v крайна минус 4 метра в секунда. И сега, накрая, ако добавя 4 метра в секунда към двете страни, получавам v крайна някъде тук горе. v крайна на тази ракета ще е 9 метра в секунда. След 9 секунди се движи с 9 метра в секунда. Това просто е числово съвпадение. За да обобщим какво направихме: намерихме площта под кривата, понеже площта под една крива на графиката на сила и време представлява импулса на силата върху тяло. Намерихме това за тялото придвижване, като отбелязахме, че когато тази крива премине под оста на времето, сумарният импулс на силата ще е отрицателен. Събрахме всичкия сумарен импулс на силата, поставихме го да е равен на промяната в импулса, въведохме нашите стойности и намерихме скоростта след 9 секунди.