Скаларно произведение

Хайде да видим какво е скаларно произведение на вектори. Лично аз смятам, че това е по-лесният от двата начина за умножаване на вектори. Какво прави скаларното произведение? Първо ще ти дам дефиницията, а след това – каква е логиката. Ако имам два вектора – вектор a по вектор b. Това са стрелките. Ще ги нарисувам така. Това е равно на произведението на дължините на вектор a и вектор b по косинуса на ъгъла между тях. Откъде произлиза това? Изглежда малко произволно, но ако ти го обясня нагледно, ще е по-логично. Ще начертая два произволни вектора. Това е вектор a – хубав, голям вектор. Добре ще илюстрира идеята. А това ще бъде вектор b. Ето го. Ще означа косинуса или поне ъгъла между тях. Това е тита – θ. Това може да бъде разгледано по два начина. Ще ги означа. Това е вектор a. Ще използвам същия цвят. Това е вектор b. Това произведение може да бъде разгледано по два начина. Можеш да разместиш реда, защото за умножението важи асоциативното (разместителното) свойство. Можем да напишем произведението на дължината на вектор a по косинус на тита – ще го оцветя подходящо – по вектор b. Това също е скаларно произведение. Почти не се налага да го пиша. Това е обикновено умножаване, защото имаме само скаларни величини. Когато видиш точка за умножение между вектори, говорим за за скаларно произведение на вектори. Ако пренаредим този израз по този начин, какво получаваме? Колко е а по косинус от тита? Ще ти задам въпрос. Ако спусна перпендикуляр тук, перпендикулярно на b – ще го спусна тук. Косинус от тита – (англоезична мнемоника) е равен на отношението на прилежащия катет към хипотенузата. Колко е прилежащият катет? Равен е на това. А хипотенузата е равна на дължината на вектор a. Ще го преработя. Косинус от тита – това е приложимо за вектор a – косинус от тита е равен на прилежащия катет, който можем да наречем проекцията на a върху b. Ако спуснем светлинен лъч перпендикулярно на b, т.е. тук има източник на светлина и тя пада под прав ъгъл, това ще бъде сянката на a върху b. Можеш също да си представиш, че това е частта от a в посоката на b. Според мен тази проекция... за мен това е един вид сянка. Ако имаме светлинен източник, осветяващ перпендикулярно вектора, това ще бъде сянката на единия вектор върху другия. Тази сянка е проекцията на вектор a върху вектор b. Или пък например можем да го наречем Ab. Това е дължината му. Колко от вектор a се намира върху вектор b – това е прилежащият катет – към хипотенузата. Хипотенузата е просто дължината на вектор a. Това са прости изчисления. Също така можеш да умножиш двете страни по дължината на вектор a. Получаваш проекцията на a върху b, което с други думи е тази страна – частта от a в посоката на b е равна на дължината на a, умножена по косинус от тита. Тук имаме точно това – дефиницията на скаларното произведение. Също така можеш да си представиш скаларното произведение, като замениш това с дължината на проекцията на a върху b – това тук – умножена по дължината на b. Това е интересно. Това е скаларното произведение на два вектора. Ще вземем един вектор. Ще сметнем дължината му, компонента му в посоката на другия вектор, и ще ги умножим. Къде е полезно това? Нека помислим. Например при работа. Когато учим за работа във физиката. Работата е равна на силата по пътя. Но не е цялата сила по целия път, а силата, която е в посоката на движението. Трябва да прегледаш плейлиста по физика, ако гледаш това в плейлиста за математика. Да речем, че имам обект със сила 10 нютона. Намира се върху лед и няма триене. Няма нужда да се притесняваме за триенето. Започвам да го тегля. Това е векторът на силата ми. Ето го. Да кажем, че векторът на силата ми е 100 нютона. Измислям си стойности. 100 нютона. Да речем, че го плъзна надясно. Векторът на изминатия път е 10 метра паралелно на земята. изминатия път е 10 метра паралелно на земята. Ъгълът между тях е 60°, което е равно на π/3. Ще използвам градуси. По-лесно е. 60 градуса. Изминатият път е 10 метра. Въпросът ми е – като дърпам това въже под ъгъл 60° със сила 100 нютона 10 метра надясно, колко работа извършвам? Работата е равна на силата по пътя, но не цялата сила. Големината на силата в посоката на движението. Каква е големината на силата в посоката на движението? Тя е хоризонталният компонент на този вектор на силата. Значи 100 нютона по косинус на 60°. Разбираш колко от тези 100 нютона отиват надясно. Може да се разгледа и по друг начин. Това е векторът на силата. А тук долу е векторът на изминатия път. Може да се каже, че общата извършена работа е равна на вектора на силата по вектора на изминатия път. Използваме скаларното произведение на векторите за сила и път. Знаем, че дефиницията е – дължината на вектора на силата, която е 100 нютона, по дължината на вектора на изминатия път, който е 10 метра, по косинуса на ъгъла между тях. Косинус от 60°. Това е равно на 1000 нютон метра по косинус от 60°. Колко е косинус от 60°? Равно е на √3/ 2. Ако си спомням правилно, е равно на √3/ 2. Значи умножено по √3/ 2. Делено на 2, това става 500. Става равно на 500√3 джаула. Предполагам, някъде около 700–800 и нещо джаула. Не съм сигурен. Важното е да разбереш, че скаларното произведение е полезно. Приложимо е за работа. Всъщност изчислява кой компонент от кой вектор има обратна посока. Може да се тълкува и обратно. Може да се каже, че това е дължината на a по b по косинус от тита. И това е напълно вярно. Колко е b по косинус от тита? Ако можеш да го изчислиш за упражнение, това е дължината на вектор b в посоката на a. Няма значение в какъв ред ги смяташ. При векторното произведение има значение дали умножаваме a по b или обратно. Но при скаларното произведение редът няма значение. b по косинус от тита е равно на дължината на вектор b в посоката на вектор a. Ако тук начертаем перпендикулярна линия, b по косинус на тита ще бъде този вектор. Това е b по косинус от тита. Дължината на b по косинус от тита. Значи можеш да кажеш колко от вектор b е в посоката на вектор a и да умножиш двете дължини. Или можеш да кажеш дължината на вектор a в посоката на вектор b и да умножиш двете дължини. Сега е моментът да се уверим, че разбираме разликата между скаларното и векторното произведение. Скаларното произведение е число. Умножаваме два вектора и получаваме число. Получаваме скаларна величина. Защо това е любопитно? Можеш да кажеш колко се подсилват тези вектори, защото взимаш частите от техните дължини, които имат една и съща посока, и ги умножаваш. Векторното произведение е почти противоположно на това. Взимаш перпендикулярните компоненти. Разликата е, че това е синус от тита. Не искам да усложнявам чертежа, но трябва да прегледаш видеоклиповете за векторното произведение. Ще направя друг клип, където ги сравнявам и съпоставям. При векторното произведение умножаваме дължините на векторите, които са перпендикулярни един на друг и не са в една посока – които са перпендикулярни един на друг. Трябва да избереш посока, защото те не се движат в една и съща посока. Избираш посока, която е перпендикулярна на двата вектора. Затова ориентацията има значение и се използва правилото на дясната ръка, защото имаме два вектора, които са перпендикулярни на всеки други два вектора в три измерения. Времето ми свърши. Надявам се, че не съм те объркал и ще продължа темата в следващия видеоклип. Ще сравня и съпоставя векторното и скаларното произведение. Ще се видим в следващия клип.