Векторно произведение 1

От мен искаха да направя видео за векторното произведение и неговите специални обстоятелства, понеже бях стигнал до този момент в плейлистата по физика, в която така или иначе трябваше да преподавам за магнетизма, така че това е добър момент да въведа идеята за векторното произведение. Какво е векторното произведение? Знаем за векторното събиране, векторното изваждане, но какво се случва, когато умножиш вектори? И има два начина да направиш това: скаларното произведение или векторното произведение. И просто помни, че това са – всяко действие, което учихме, е дефинирано от хората за някаква друга цел и няма нищо различно при векторното произведение. Отделям време да кажа това, понеже векторното произведение, поне когато за пръв път учих за него, изглеждаше малко неестествено. Както и да е, стига приказки. Нека ти покажа какво е това. Векторното произведение на два вектора: да кажем, че имам вектор а по вектор b и обозначението е със знака "по", който знаеш от преди да започнеш учиш алгебра и да използваш точки и скоби, така че буквално е просто х (или "."). Векторното произведение на вектори а и b е равно на – и това отначало ще изглежда доста странно, но се надявам, че ще добиеш визуална представа какво означава това. Това е равно на големината на вектор а по големината на вектор b по синуса на ъгъла между тях, най-малкия ъгъл между тях. И сега – неочакваната част – тази стойност няма да е просто скаларна величина. Няма да има само дължина. Има посока и тази посока уточняваме чрез вектор n, единичният вектор n. Можем да поставим малка "шапка" отгоре, за да покажем, че това е единичен вектор. Има няколко неща, които са специални за тази посока, която е дадена чрез n. Първо, n е перпендикулярно и на двата вектора. То е ортогонално на двата вектора, а след малко ще видим графично какво означава това. И другото нещо е, че посоката на този вектор е дефинирана от правилото на дясната ръка и след малко ще видим това. Нека опитаме да го представим визуално. И ще направя една важна уговорка: Можеш да намериш векторното произведение, само когато работим в три измерения. Едно векторно произведение има – може би можеш да дефинираш неговата употреба в други измерения или начин да намерим векторното произведение в други измерения, но всъщност има употреба само в три измерения и това е полезно, понеже ние живеем в триизмерен свят. Да видим. Нека намерим някои векторни произведения. Мисля, че когато го видиш визуално, ще има повече смисъл, особено след като свикнеш с правилото на дясната ръка. Да кажем, че това е вектор b. Не е нужно да чертая права линия, но не боли да го направя. Не е нужно да я чертая прилежно. Добре, готово. Да кажем, че това е вектор a и искаме да намерим тяхното векторно произведение. Това е вектор а. Това е b. Вероятно ще започна да използвам само един цвят, понеже е трудно постоянно да ги сменям. А ъгълът между тях е тита. Сега, да кажем, че дължината на а е – не знам, да кажем, че дължината на а е равна на 5 и да кажем, че дължината на b е равна на 10. Изглежда двойно по-дълго от това. Измислям си числата в движение. Какво е векторното произведение? Частта с дължината е лесна. Да кажем, че този ъгъл е равен на 30 градуса. 30 градуса, или ако искахме да го запишем в радиани – аз винаги, просто понеже сме израснали в свят, който работи с градуси, винаги ми е по-лесно да визуализирам градуси, но можем да помислим за това и в радиани. 30 градуса е – да видим, има 3, 6 – това е пи върху 6, така че можем също да запишем пи върху 6 радиана. Но това е 30-градусов ъгъл, така че колко ще е а векторно умножено по b? а векторно умножено по b ще е равно на дължината на а, дължината на този вектор, тоест ще е равно на 5 по дължината на този b вектор, по 10, по синуса на ъгъла между тях. И, разбира се, можеше да вземеш по-големия, тъп ъгъл. Можеше да кажеш, че това е ъгълът между тях, но по-рано казах, че взимаме по-малкия, остър ъгъл между тях , който е под 90 градуса. Това ще е синус от 30 градуса по този вектор n. И това е единичен вектор, така че след малко ще кажа в каква посока всъщност сочи той. Нека първо намерим дължината му. Това е равно на 50 и колко е синус от 30 градуса? Синус от 30 градуса е 1/2. Можеш да го въведеш в калкулатора си, ако не ми вярваш. Това е 5 по 10 по 1/2 по единичния вектор, тоест това е равно на 25 по единичния вектор. Сега тук става – в зависимост от гледната ти точка – или интересно, или объркващо. В каква посока сочи този единичен вектор? По-рано казах, че той е перпендикулярен и на двете от тези. Как може нещо да е перпендикулярно и на двете? Изглежда не мога да начертая такова. Това е понеже тук, където начертах а и b, работя в две измерения. Но ако имам трето измерение, ако мога да премина навътре или навън от подложката си за писане или, от твоя гледна точка, от екрана ти, тогава имам вектор, който е перпендикулярен и на двете. Представи си един вектор – иска ми се да можех да го нарисувам – който буквално преминава право навътре в тази точка или право навън в тази точка. Надявам се, че можеш да си го представиш. Нека ти покажа обозначението за това. Ако начертая един такъв вектор, ако начертая кръгче с х в него, ето така, това е вектор, който отива към страницата или към екрана. И ако начертая това, това е вектор, който излиза от екрана. И откъде идва това обозначение? Това е от главичката на стрелката, понеже как изглежда една стрелка? Една стрелка, която е общоприетият начин да чертаем вектори, изглежда ето така: върхът на една стрелка е кръгъл и става остър, така че това е върхът, ако го гледаш откъм главата, ако изскачаше от видеото. Но как изглежда опашката на една стрелка? Тя има перки. Тук ще има една перка и тук ще има друга перка. Ако вземеш тази стрелка и отидеш към страницата, и просто виждаш задната част на стрелката, тя ще изглежда така. Това е вектор, който отива към страницата, а това е вектор, който излиза от страницата. Знаем, че n е перпендикулярно и на а, и на b и единственият начин да получиш вектор, който е перпендикулярен и на двете, той трябва да е перпендикулярен, или нормален, или ортогонален, на равнината, която е компютърният ти екран. Но откъде знаем дали този вектор n отива към екрана или откъде знаем дали излиза от екрана? И тук идва правилото на дясната ръка – знам, че това е малко твърде много информация. Ще направим няколко примерни задачи. Правилото на дясната ръка – използваш дясната си ръка – затова правилото се нарича така – и насочваш показалеца си в посоката на първия вектор от векторното си произведение – и редът има значение. Нека направим това. Трябва да насочиш пръста си в посоката на първата стрелка, която е а, и после трябва да насочиш средния си пръст в посоката на втората стрелка, b. В този случай ръката ти ще изглежда долу-горе така. Ще опитам да я нарисувам. Това ме води до предела на художествените ми умения. Това е дясната ми ръка. Палецът ми ще е насочен надолу. Начертах дясната си ръка. Това е показалецът ми и го насочвам в посоката на а. Може би това е малко повече в тази посока. После насочвам средния си пръст и правя L с него, или можеш да кажеш, че почти изглежда все едно стреляш с пистолет. И го насочвам в посоката на b, а после в посоката, в която е насочен палецът ти, в този случай, палецът ти е насочен към страницата. Палецът ти ще сочи надолу, ако поставиш дясната си ръка в тази конфигурация. Това ни казва, че вектор n сочи към страницата. Вектор n има дължина 25 и сочи към страницата, така че можем да го начертаем с "х". Ако опитам да го начертая в три измерения, ще изглежда долу-горе така. Вектор а. Да видим дали мога да ти дам малко перспектива. Ако това беше право надолу, ако това е вектор n, тогава а може да изглежда долу-горе така. Нека го начертая в същия цвят като а. а може да изглежда така и b може да изглежда така. Опитвам да начертая триизмерна фигура в две измерения, така че може да изглежда малко по-различно, но мисля, че схващаш идеята. Тук начертах а и b в равнината. Тук имам перспектива, като успях да начертая n да отива надолу. Но това е определението за векторно произведение. Ще спра дотук, просто понеже поради някаква причина Ютуб не ми позволява да надвиша лимита прекалено много и ще направя друго видео, в което ще реша няколко задачи и през това време ще обясня малко за магнетизма. И ще намерим векторното произведение на няколко неща и се надявам, че ще видиш логиката малко по-добре. Ще се видим скоро.