Извличане на формулата за честота на ударите

Какво става, хора? В това видео искам да докажа тази формула тук. Това е формулата за честота на биенето. Спомни си, начинът да получиш биене или честота на биенето е като припокриеш две вълни, които имат различни честоти. Когато направиш това, чуваш биене и не говоря за биенето на Доктор Дре. Тези са не толкова вълнуващи. Това е звукова вълна, която преминава от шумно състояние, тоест от конструктивна интерференция до деструктивна, тиха, а после обратно до шумна, конструктивна. А броят пъти в секунда, в които направи това, е честотата на биенето. Броят на тези колебания в секунда е честотата на биенето и начинът да намериш честотата на биенето е да намериш разликата в двете отделни честоти на двете звукови вълни, които се припокриват, но защо това е формулата за честота на биенето? Защо не е нещо по-сложно? Как се е получило да е тази? Това искам да ти покажа как да извличаш в това видео. И начинът да подходим към това – просто ще кажем: "Добре, вместо да намираме това, нека първо намерим това. Нека намерим периода на биенето." Ако честотата на биенето е броят колебания в секунда, тогава периодът на биене ще е просто броят секунди на колебание. С други думи, колко време е нужно на този процес, за да премине от конструктивен обратно до конструктивен? Понеже ако можем да намерим това, ако можем да намерим този период на биенето, тогава знаем, че честотата винаги е просто 1 върху периода. Тоест ако мога да намеря периода на биенето, всичко, което трябва да направя, е просто да взема 1 върху това и ще получа честотата на биенето. Как да получа това? Как да намерим този период на биенето? Намираме го, като осъзнаваме, че този период на биенето е времето, което е нужно на тези вълни да се преместят по такъв начин, че тези върхове в началото да се припокриват и после, по-късно в процеса, отново да се припокриват. Нека поразчистя. Нека се отърва от това. Нека разгледаме двете вълни поотделно. Приемаме, че започват във фаза, напълно конструктивни. Тук ще приема, че са започнали с конструктивна интерференция. Искаме да знаем колко дълго им е нужно, за да станат конструктивни отново, чак ето тук. Търсим това време. И начинът да го намерим е като осъзнаем, че тези вълни са започнали във фаза – всеки път червената вълна преминава през един цял цикъл, тоест за времето, което е нужно на червената вълна да завърши един период, сега тя е толкова далеч пред синята вълна. И под "пред" имам предвид просто, че се случва толкова по-късно от гребена на синята вълна. Тези гребени сега са малко дефазирани с това количество. Какво ще е това количество? Това е просто разликата в периодите между двете вълни. Това ще е периодът на вълна 1... Ще направим червената вълна да е вълна 1, а синята вълна ще я направим вълна 2. По този начин тук няма да получим отрицателно число или нещо странно, понеже периодът на червената вълна е малко по-дълъг от периода на синята вълна. Ако вземем тази разлика, тя ни казва колко дефазирани във времето стават тези два върха през времето. Ако изчакам един цикъл те ще бъдат точно толкова разделени във времето. Ако изчакам два цикъла те ще бъдат два пъти толкова отдалечени. Ако изчакам три цикъла те ще бъдат три пъти толкова отдалечени. Как ни помага това? Виж, сега можем просто да кажем: "Ако искахме да знаем колко отдалечени са тези два гребена във времето във всеки даден момент, просто ще взема тази разлика в периода и ще умножа по броя цикли, през които е минала червената вълна." Ако червената вълна е минала през три цикъла, тук ще въведа три, а после три пъти по тази разлика ще ми даде, че тези върхове ще бъдат отдалечени във времето с толкова време, това цялото време тук. Толкова надалеч във времето са двата гребена. Те започват един върху друг. След един цикъл са толкова надалеч. След два цикъла са толкова надалеч, след три цикъла – толкова надалеч, четири цикъла – толкова надалеч, пет цикъла – толкова надалеч. Сега започват да стават толкова отдалечени, че тази червена вълна се припокрива със следващия син връх. Тоест в този момент синята вълна се е припокрила с червената вълна, а синята вълна е напреднала във времето през толкова много цикли, че нейният следващ връх се припокрива с този червен връх тук и тогава отново интерференцията става конструктивна. Това е условието, за да може това да стане отново конструктивно – тази червена вълна да е дефазирана с толкова – с един цял син период, понеже сега ще се припокрие с този син връх на следващия връх. Следващият връх се "промъква" тук и сега двата се припокриват отново. Ако исках да знам времето между първата конструктивна интерференция до когато отново става конструктивна, просто ще искам да знам кога това разстояние – когато двата върха са били раздалечени – кога това е равно на един цял период на втората вълна. Когато това е вярно, знам, че сме изчакали достатъчно дълго, така че тези отново да станат конструктивни, понеже синята вълна точно ще се е припокрила с червената вълна и после се припокриват връх до връх отново, но ти може би се разтревожи. Може би си казваш: "Чакай малко, тук няма време. Как ще намеря необходимото време, когато всъщност няма малко t. Тези са просто константи, нали? Периодът на синята вълна е просто константа, определена от това какъв е периодът на синята вълна, а този период на червената вълна също е просто константа – тя е какъвто е периодът на червената вълна. Тук няма променлива t." Ето как вмъкваме t тук. Броят цикли, през които е минала червената вълна, не е задължително цяло число. Може би е цяло число. Може би червената вълна преминава през точно – всъщност на това изображение можем да преброим, че червената вълна е преминала през точно 1, 2, 3, 4, 5, 6 цикъла, преди отново да влезе във фаза със синята вълна, но това не винаги се случва. Това беше, понеже исках да направя чертежа приятен и да направя така, че да можеш добре да видиш тези да се подреждат. Може би това не е цяло число. Може би това се случва след 4,2 цикъла или 3,1 цикъла. Щеше да е хубаво, ако имахме по-обобщен начин да запишем броя цикли, през които е преминала червената вълна – и имаме такъв. Помисли. Броят цикли, през които е преминала червената вълна, е просто равно на времето, което измина, делено на периода на червената вълна. Ще нарека това период 1, понеже така го нарекохме тук горе. Това е логично, понеже ако изчакам един цял период 1, тогава период 1 върху период 1 ми дава един цял цикъл, през който е преминала червената вълна. Ако изчакам два периода, ще имам 2 по Т1 тук горе. Тези Т1 ще се съкратят и ще получа 2. 2 цикъла – през толкова премина вълната. Това ми дава възможност да запиша броя цикли, през които червената вълна е преминала, като функция на каквото е времето. Сега мога да въведа времена, при които не получавам цяло число за броя цикли. Мога да въведа 4,3 секунди. През колко цикъла е преминала червената вълна? Взимам 4,3 секунди, деля на периода, който е времето за един цикъл, и получавам броя цикли, през които е преминала червената вълна. Ще заменя това nR тук с този израз. Ще копирам това и ще преобразувам nR като времето, което измина, делено на периода на тази червена вълна. И сега просто трябва да намеря времето малко t, понеже това ще ми даде времето, което беше нужно на тези вълни, за да се дефазират във времето с един цял период на втората вълна. Което е изискването за преминаване от конструктивна интерференция обратно до конструктивна интерференция, което търсим. Това тук беше периодът на биенето. Ако намеря малко t, когато търся малко t, ще получа, че малко t – времето, което е нужно, за да бъдат тези два върха раздалечени с един цял втори период – ще е – ще умножа двете страни по Т1, получавам Т1 по Т2 и после деля – трябва да разделя на този член в скобите. Трябва да разделя на (Т1 - Т2). И твърдя, че това е периодът на биенето. Това е периодът на биенето, понеже поставихме това условие, че те ще са раздалечени с един цял период на втората вълна. И ако са започнали във фаза, в края на това отново ще са във фаза, и това ще е времето между точките на конструктивна интерференция. Това тук е периодът на биенето. Това време, което търсим, е периодът на биенето. Ще взема това. Ще кажа, че периодът на биенето е равен на това. Това е периодът на биенето за тези две вълни. Това е една готина формула за периода на биенето, но ние не искаме периода на биене. Помни, искахме да извлечем тази формула за честотата на биенето. И начинът да намерим честотата е да кажем, че честотата е 1 върху периода. И нека малко поразчистя това. Нека се отърва от това. Ако сега решим, ако вземем 1 върху периода на биене, това просто ще е равно на 1 върху тази дясна страна, което означава, че просто получавам разликата в периодите, делено на произведението на двата периода, понеже просто преобръщам тази дясна страна. И сега мога да разложа това. Имам (Т1 - Т2) върху Т1 по Т2. Ако разложа горната част, това ще е равно на Т1 върху (Т2 по Т1) и после минус Т2 върху (Т1 по Т2). И се случва нещо магическо. Тези Т1 се съкращават и тези Т2 се съкращават и получавам, че 1 върху периода на биене ще е равно на 1 върху периода на втората вълна минус 1 върху периода на първата вълна. Но виж това. 1 върху периода на биене – колко е това? Това е просто честотата на биенето. 1 върху периода на биене е просто честотата на биене. И колко е 1 върху периода на втората вълна? Това е просто честотата на втората вълна. И колко е 1 върху периода на първата вълна? Това е просто честотата на първата вълна. И получаваме формулата си за честотата на биенето. Това е формулата, която опитваме да намерим. Помни, тук искахме да покажем, че формулата за честотата на биенето изглеждаше ето така – и тя наистина изглежда така. Изглежда точно така и причината е, че трябваше да изчакаш да измине точно толкова време, периода на биенето, за да може тези върхове да се върнат обратно във фаза – трябваше да изчакаш върховете да се дефазират с един цял период на втората вълна. Сега може да си кажеш: "Чакай, тук ни трябва абсолютната стойност, нали така? Имам предвид, можем да поставим тези тук." В началото бяхме внимателни. Уверих се, че взех разликата между по-голям период и по-малък период. Взех по-голямото минус по-малкото и така се уверих, че имахме положително число, но можеш да въведеш това тук, просто в случай, че не знаеш кой период или коя честота е с по-голяма стойност. Но ето така определяш честотата на биенето и затова формулата изглежда по този начин. Да обобщим, успяхме да определим и намерим формула за честотата на биенето, като намерим времето, което ще трябва да измине, за да станат тези вълни дефазирани с един цял период, което е друг начин да кажем колко дълго трябва да чакаме, за да станат отново във фаза.