Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 1

Урок 3: Ускорение

Какво представляват графиките на ускорението като функция на времето?

Виж какво можем да научим от графики, които показват връзката между времето и ускорението.

Какво представлява вертикалната ос на графика на ускорението като функция на времето?

Вертикалната ос показва ускорението на обекта.

Например, ако отчиташ стойността на ускорението в даден момент от графиката по-долу, то това ще бъде ускорението на обекта в метри в секунда на квадрат в съответния момент.

Опитай да приплъзгаш хоризонтално точката на графиката по-долу, за да избереш различни моменти от време, и виж как ускорението – означено Acc – се изменя.

Проверка на концепциите: Какво е ускорението в момента

t = 4 s

според графиката по-горе?

Какъв смисъл има наклонът на графиката на ускорението като функция на времето?

Наклонът на графиката на ускорението представлява величина, за която няма прието име в българския език. На английски се нарича jerk. Това е скоростта на промяна на ускорението. В редките случаи, в които говорим за него, ще го наричаме "рязкост".

За графика на ускорението като функция на времето наклонът може да бъде намерен от:

наклон = \frac{промяна в ускорението}{промяна във времето} = \frac{a_{2} - a_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ a}{Δ t}

, както може да се види от графиката по-долу.

Наклонът, който представлява скоростта на промяната в ускорението, е рязкостта.

рязкост = \frac{Δ a}{Δ t}

Наименованието "рязкост" звучи странно, но е уместно, защото ако например се возиш в кола, която ту дава газ, ту внезапно набива спирачки – т.е. ускорението се увеличава и намалява значително за малки интервали от време, движението ще ти се струва доста рязко. Тогава дори ще ти се налага да напрягаш различни мускулни групи, за да запазиш инстинктивно тялото си в стабилна позиция.

За да завършим тази част, нека визуализираме рязкостта с примерната графика, показана по-долу. Опитай се да местиш точката хоризонтално, за да видиш какъв е наклонът – т.е. каква е рязкостта – в различните моменти време.

Проверка на концепциите: За графиката на ускорението, показана по-горе, положителна, отрицателна или нула е рязкостта в момента

t = 6 s

Какво е значението на площта под графиката на ускорението?

Площта под графиката на ускорението представлява промяната в скоростта. С други думи, площта под графиката на ускорението за определен интервал от време е равна на промяната в скоростта по време на този интервал.

площ = Δ v

Може би най-лесно е да се види защо това е така, като разгледаме примерната графика, дадена по-долу, която показва постоянно ускорение от 4

\frac{m}{s^{2}}

за времето от 0 s от 9 s.

Ако умножим двете страни на дефиницията за ускорение,

a = \frac{Δ v}{Δ t}

, по промяната във времето,

Δ t

, получаваме

Δ v = a Δ t

Като заместим с ускорението 4

\frac{m}{s^{2}}

и времевия интервал 9 s, можем да намерим промяната в скороста:

Δ v = a Δ t = (4 \frac{m}{s^{2}}) (9 s) = 36 \frac{m}{s}

Да умножим ускорението по времевия интервал е същото като да намерим площта под кривата. Площта под кривата е правоъгълник, както можем да видим от графиката по-долу.

Можем да намерим площта, като умножим височината по широчината. Височината на правоъгълника е 4

\frac{m}{s^{2}}

, а широчината е 9 s. Така че намирайки площта, сме намерили промяната в скоростта.

площ = 4 \frac{m}{s^{2}} \cdot 9 s = 36 \frac{m}{s}

Площта под всяка графика на ускорението като функция на времето за даден времеви интервал дава промяната в скоростта за въпросния интервал.

Добър въпрос. Ние доказахме само, че площта под графика на ускорението като функция на времето за даден времеви интервал дава промяната на скоростта за въпросния интервал, в случай на постоянно ускорение, но площта под каква да е графика на ускорението като функция на времето също ще ни даде промяна на скоростта, дори ако ускорението не е постоянно.

Причината е, че областта под графиката на ускорение, което се променя, може да бъде разбита на малки правоъгълници с много малка широчина, както е показано на графиката по-долу. Ако широчината на правоъгълниците е достатъчно малка, ускорението за времето, зададено от произволен от тези тесни правоъгълници, ще бъде приблизително постоянно. Умножаването на височина по широчина ще ни даде площ, следователно промяна на скоростта

Δ v = a Δ t

за всеки от малките времеви интервали. Като съберем площите на правоъгълниците, ще получим с голямо приближение площта под кривата, а оттук и общата промяна на скоростта за целия времеви интервал.

Ако широчината на правоъгълниците е безкрайно малка, сумата на площите на всички правоъгълници ще ни даде точно площта под кривата и точната промяна на скоростта. Така че площта под всяка графика на ускорението като функция на времето ни дава промяната в скоростта. Ако това обяснение ти звучи като математическо вещерство, то това е поради факта, че доказателството изисква основни похвати от математическия анализ – "интегралът" е операция, чрез която могат да се намират лица под графики на функции.

Забележка: Когато решаваме задача или отговаряме на въпрос, реално няма нужда да разделяме площта под кривата на правоъгълници, за да намерим площта. Тъй като знаем, че площта под кривата е равна на изменението в скоростта, можем да намерим площта по най-удобния за нас начин. С други думи, за графиката показана по-горе, можем просто да използваме формулата за лице на триъгълник

\frac{1}{2} b h

, за да намерим площта и оттам промяната в скоростта.

Как изглеждат решени примери, в които се използва графика на ускорението като функция на времето?

Пример 1: Ускорение на състезателна кола

Уверена автомобилна състезателка кара с постоянна скорост от 20 m/s. Като наближава финалът, започва да ускорява. Графиката по-долу показва ускорението на колата, след като започва да забързва. Приеми, че колата е имала постоянна скорост от 20 m/s в момента

t = 0 s

Каква е скоростта на състезателната кола след осемте секунди ускорение, показани на графиката?

Можем да намерим промяната на скоростта, като намерим площта под графиката на ускорението.

Δ v = площ = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (8 s) (6 \frac{m}{s^{2}}) = 24 m/s (Използваме формулата за лице на триъгълник: \frac{1}{2} b h .)

Δ v = 24 m/s (Намираме промяната в скоростта.)

Но това е просто промяната в скоростта за това време. Трябва да намерим крайната скорост. Можем да използваме дефиницията за промяна на скоростта

Δ v = v_{f} - v_{i}

, за да я намерим:

Δ v = 24 m/s

v_{f} - v_{i} = 24 m/s (Заместваме с v_{f} - v_{i} на мястото на Δ v .)

v_{f} - 20 m/s = 24 m/s (Заместваме с 20 m/s за началната скорост v_{i} .)

v_{f} = 24 m/s + 20 m/s (Решаваме за v_{f} .)

v_{f} = 44 м/с (Изчисляваме и отпразнуваме!)

Крайната скорост на състезателната кола е 44 m/s.

Пример 2: Пътуване с платноходка във ветровито време

Платноходка плава по права линия със скорост 10 m/s. След това в момента

t = 0 s

задухва силен вятър, който кара платноходката да ускори по начина, изобразен на графиката по-долу.

Каква е скоростта на платноходката, след като вятърът е духал в продължение на 9 секунди?

Площта под графиката ще ни даде промяната в скоростта. Можем да разбием площта под графиката на правоъгълник, триъгълник и още един триъгълник, както е показано на графиката по-долу.

Синият правоъгълник между

t = 0 s

t = 3 s

има положителен знак, защото е над абсцисата. Зеленият триъгълник между

t = 3 s

t = 7 s

също има положителен знак, защото е над хоризонталната ос. Червеният триъгълник между

t = 7 s

t = 9 s

обаче е с отрицателен знак, защото е под абсцисата.

Ще съберем тези площи – като използваме

h w

за правоъгълника и

\frac{1}{2} b h

за триъгълниците – за да получим общата площ между

t = 0 s

t = 9 s

Δ v = площ = (4 \frac{m}{s^{2}}) (3 s) + \frac{1}{2} (4 s) (4 \frac{m}{s^{2}}) + \frac{1}{2} (2 s) (- 2 \frac{m}{s^{2}}) (Събераме площите на правоъгълника и триъгълниците.)

Δ v = 18 m/s (Изчисляваме, за да получим общата промяна в скоростта.)

Но това е промяната в скоростта, така че за да намерим крайната скорост, ще използваме дефиницията за промяна в скоростта.

v_{f} - v_{i} = 18 m/s (Използваме дефиницията за промяна в скоростта.)

v_{f} = 18 m/s + v_{i} (Решаваме за крайната скорост.)

v_{f} = 18 m/s + 10 m/s (Заместваме с началната скорост.)

v_{f} = 28 m/s (Изчисляваме и отпразнуваме!)

Крайната скорост на платноходката е

v_{f} = 28 m/s

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.