Основно съдържание

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 1

Урок 3: Ускорение

Какво представляват графиките на ускорението като функция на времето?

Виж какво можем да научим от графики, които показват връзката между времето и ускорението.

Какво представлява вертикалната ос на графика на ускорението като функция на времето?

Вертикалната ос показва ускорението на обекта.

Например, ако отчиташ стойността на ускорението в даден момент от графиката по-долу, то това ще бъде ускорението на обекта в метри в секунда на квадрат в съответния момент.

Опитай да приплъзгаш хоризонтално точката на графиката по-долу, за да избереш различни моменти от време, и виж как ускорението – означено Acc – се изменя.

Проверка на концепциите: Какво е ускорението в момента t, equals, 4, start text, space, s, end text според графиката по-горе?

[Покажи ми отговора.]

Какъв смисъл има наклонът на графиката на ускорението като функция на времето?

Наклонът на графиката на ускорението представлява величина, за която няма прието име в българския език. На английски се нарича jerk. Това е скоростта на промяна на ускорението. В редките случаи, в които говорим за него, ще го наричаме "рязкост".

За графика на ускорението като функция на времето наклонът може да бъде намерен от:

\text{наклон}=\dfrac{\text{промяна в ускорението}}{\text{промяна във времето}}=\dfrac{a_2-a_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta a}{\Delta t}

start text, н, а, к, л, о, н, end text, equals, start fraction, start text, п, р, о, м, я, н, а, space, в, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, т, о, end text, divided by, start text, п, р, о, м, я, н, а, space, в, ъ, в, space, в, р, е, м, е, т, о, end text, end fraction, equals, start fraction, a, start subscript, 2, end subscript, minus, a, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, delta, a, divided by, delta, t, end fraction, както може да се види от графиката по-долу.

Наклонът, който представлява скоростта на промяната в ускорението, е рязкостта.

start text, р, я, з, к, о, с, т, end text, equals, start fraction, delta, a, divided by, delta, t, end fraction

Наименованието "рязкост" звучи странно, но е уместно, защото ако например се возиш в кола, която ту дава газ, ту внезапно набива спирачки – т.е. ускорението се увеличава и намалява значително за малки интервали от време, движението ще ти се струва доста рязко. Тогава дори ще ти се налага да напрягаш различни мускулни групи, за да запазиш инстинктивно тялото си в стабилна позиция.

За да завършим тази част, нека визуализираме рязкостта с примерната графика, показана по-долу. Опитай се да местиш точката хоризонтално, за да видиш какъв е наклонът – т.е. каква е рязкостта – в различните моменти време.

Проверка на концепциите: За графиката на ускорението, показана по-горе, положителна, отрицателна или нула е рязкостта в момента t, equals, 6, start text, space, s, end text ?

[Покажи ми отговора.]

Какво е значението на площта под графиката на ускорението?

Площта под графиката на ускорението представлява промяната в скоростта. С други думи, площта под графиката на ускорението за определен интервал от време е равна на промяната в скоростта по време на този интервал.

start text, п, л, о, щ, end text, equals, delta, v

Може би най-лесно е да се види защо това е така, като разгледаме примерната графика, дадена по-долу, която показва постоянно ускорение от 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction за времето от 0 s от 9 s.

Ако умножим двете страни на дефиницията за ускорение, a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction, по промяната във времето, delta, t, получаваме delta, v, equals, a, delta, t.

Като заместим с ускорението 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction и времевия интервал 9 s, можем да намерим промяната в скороста:

delta, v, equals, a, delta, t, equals, left parenthesis, 4, space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 9, start text, space, s, end text, right parenthesis, equals, 36, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction

Да умножим ускорението по времевия интервал е същото като да намерим площта под кривата. Площта под кривата е правоъгълник, както можем да видим от графиката по-долу.

Можем да намерим площта, като умножим височината по широчината. Височината на правоъгълника е 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, а широчината е 9 s. Така че намирайки площта, сме намерили промяната в скоростта.

start text, п, л, о, щ, end text, equals, 4, space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, dot, 9, start text, space, s, end text, equals, 36, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction

Площта под всяка графика на ускорението като функция на времето за даден времеви интервал дава промяната в скоростта за въпросния интервал.

[Това продължава ли да бъде вярно, ако ускорението не е постоянно?]

Как изглеждат решени примери, в които се използва графика на ускорението като функция на времето?

Пример 1: Ускорение на състезателна кола

Уверена автомобилна състезателка кара с постоянна скорост от 20 m/s. Като наближава финалът, започва да ускорява. Графиката по-долу показва ускорението на колата, след като започва да забързва. Приеми, че колата е имала постоянна скорост от 20 m/s в момента t, equals, 0, start text, space, s, end text.

Каква е скоростта на състезателната кола след осемте секунди ускорение, показани на графиката?

Можем да намерим промяната на скоростта, като намерим площта под графиката на ускорението.

\Delta v=\text{площ}=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}(8\text{ s})(6\dfrac{\text m}{\text s^2})=24\text{ m/s}\quad \text{(Използваме формулата за лице на триъгълник: $\dfrac{1}{2}bh.$)}

delta, v, equals, start text, п, л, о, щ, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 8, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, 6, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, ф, о, р, м, у, л, а, т, а, space, з, а, space, л, и, ц, е, space, н, а, space, т, р, и, ъ, г, ъ, л, н, и, к, colon, space, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, point, right parenthesis, end text

delta, v, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, Н, а, м, и, р, а, м, е, space, п, р, о, м, я, н, а, т, а, space, в, space, с, к, о, р, о, с, т, т, а, point, right parenthesis, end text

Но това е просто промяната в скоростта за това време. Трябва да намерим крайната скорост. Можем да използваме дефиницията за промяна на скоростта delta, v, equals, v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, за да я намерим:

delta, v, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text

v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, space, н, а, space, м, я, с, т, о, т, о, space, н, а, space, delta, v, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, minus, 20, start text, space, m, slash, s, end text, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, 20, space, m, slash, s, space, з, а, space, н, а, ч, а, л, н, а, т, а, space, с, к, о, р, о, с, т, space, v, start subscript, i, end subscript, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 20, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, Р, е, ш, а, в, а, м, е, space, з, а, space, v, start subscript, f, end subscript, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, equals, 44, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Крайната скорост на състезателната кола е 44 m/s.

Пример 2: Пътуване с платноходка във ветровито време

Платноходка плава по права линия със скорост 10 m/s. След това в момента t, equals, 0, start text, space, s, end text задухва силен вятър, който кара платноходката да ускори по начина, изобразен на графиката по-долу.

Каква е скоростта на платноходката, след като вятърът е духал в продължение на 9 секунди?

Площта под графиката ще ни даде промяната в скоростта. Можем да разбием площта под графиката на правоъгълник, триъгълник и още един триъгълник, както е показано на графиката по-долу.

Синият правоъгълник между t, equals, 0, start text, space, s, end text и t, equals, 3, start text, space, s, end text има положителен знак, защото е над абсцисата. Зеленият триъгълник между t, equals, 3, start text, space, s, end text и t, equals, 7, start text, space, s, end text също има положителен знак, защото е над хоризонталната ос. Червеният триъгълник между t, equals, 7, start text, space, s, end text и t, equals, 9, start text, space, s, end text обаче е с отрицателен знак, защото е под абсцисата.

Ще съберем тези площи – като използваме h, w за правоъгълника и start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h за триъгълниците – за да получим общата площ между t, equals, 0, start text, space, s, end text и t, equals, 9, start text, space, s, end text.

\Delta v=\text{площ}=(4\dfrac{\text m}{\text s^2})(3\text{ s})+\dfrac{1}{2} (4\text{ s})(4\dfrac{\text m}{\text s^2})+\dfrac{1}{2}(2\text{ s})(-2\dfrac{\text m}{\text s^2}) \quad \text{(Събераме площите на правоъгълника и триъгълниците.)}

delta, v, equals, start text, п, л, о, щ, end text, equals, left parenthesis, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, start text, space, s, end text, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 4, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, С, ъ, б, е, р, а, м, е, space, п, л, о, щ, и, т, е, space, н, а, space, п, р, а, в, о, ъ, г, ъ, л, н, и, к, а, space, и, space, т, р, и, ъ, г, ъ, л, н, и, ц, и, т, е, point, right parenthesis, end text

delta, v, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, comma, space, з, а, space, д, а, space, п, о, л, у, ч, и, м, space, о, б, щ, а, т, а, space, п, р, о, м, я, н, а, space, в, space, с, к, о, р, о, с, т, т, а, point, right parenthesis, end text

Но това е промяната в скоростта, така че за да намерим крайната скорост, ще използваме дефиницията за промяна в скоростта.

v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, equals, 18, start text, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, д, е, ф, и, н, и, ц, и, я, т, а, space, з, а, space, п, р, о, м, я, н, а, space, в, space, с, к, о, р, о, с, т, т, а, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, plus, v, start subscript, i, end subscript, start text, left parenthesis, Р, е, ш, а, в, а, м, е, space, з, а, space, к, р, а, й, н, а, т, а, space, с, к, о, р, о, с, т, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 10, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, н, а, ч, а, л, н, а, т, а, space, с, к, о, р, о, с, т, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, f, end subscript, equals, 28, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Крайната скорост на платноходката е v, start subscript, f, end subscript, equals, 28, start text, space, m, slash, s, end text.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.