Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 1

Урок 2: Преместване, скорост, време

Какво е графика на позицията като функция на времето?

Виж какво можем да научим от графики, които показват връзката между позиция и време.

За какво са полезни графиките за определяне на местоположението на обект спрямо времето, или пространствено-времевите графики?

Много хора изпитват към графиките същото чувство, както и към зъболекаря – притеснение и желание всичко да приключи колкото се може по-скоро. Пространствено-времевите графики всъщност могат да бъдат прекрасни. Те са един находчив начин визуално да се представи много информация за едно движение, и то в малко пространство.

Какво изобразява ординатата ос на графиката?

Вертикалната ос представя местоположението на обекта. Например ако отчетеш стойността на функцията, изобразена на графиката, в определен момент от времето, ще получиш положенето на обекта в метри.

Опитай да плъзгаш курсора хоризонтално, избирайки различно време в секунди, и виж как се променя положението на обекта в метри.

Проверка: Каква е позицията на обекта в момента $t = 5$ ‍ секунди според графиката по-горе?

Какъв смисъл има наклонът на графиката на позицията?

Наклонът на графиката на позицията представлява/отразява скоростта на обекта. Така че наклонът в даден момент от времето представлява скоростта на обекта в този момент.

За да разбереш защо, разгледай наклона на графиката на позицията като функция на времето по-долу:

В часовете по математика вертикалната ос, проекциите върху която са стойностите на зависимата променлива, се нарича ордината и най-често е кръстена

y

. Хоризонталната ос, проекциите върху която са стойностите на независимата променлива, се нарича абсциса и най-често е кръстена

x

В часовете по физика обаче почти винаги независимата променлива е времето

t

и използваме абсцисата за него. Това означава, че всяка друга променлива, чиято функционална зависимост от

t

искаме да изобразим, включително променливата

x

, която често представлява хоризонтална позиция на обект, заема мястото на ординатата.

Това може да бъде малко объркващо – преместването по хоризонталата

x

да бъде изобразявано на вертикалната ос. Но тази конвенция се използва от на практика всички текстове, курсове и професори по физика. Има съвсем основателна причина за това, тъй като най-удобно е да разглеждаме времето като независима променлива, тъй като не контролираме потока на времето... освен ако не си господар на времето, който може да пътува във времето, но в този случай най-вероятно имаш и дълбоко разбиране за времето и пространството, от перспективата на което нашите теории тук изглеждат наивни и отживели.

Наклонът на графиката е

наклон = \frac{промяна в x}{промяна в t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

Този израз за наклона е същият като дефиницията за скорост:

v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

. Така че наклонът на графиката на позицията като функция на времето е равен на скоростта.

Това е вярно и за графика на позицията като функция на времето, където наклонът е променлив. В примера по-долу червената линия показва наклона в даден момент от времето. Опитай мислено да плъзгаш зелената точка заедно с червената линия бавно по самата графика, за да видиш как изглежда наклонът в различни моменти от времето.

Наклонът на кривата между моментите

t = 0 s

t = 3 s

е положителен, тъй като е насочен нагоре (можем да си представим, че червената линия в горния си край има стрелка). Това означава, че скоростта е положителна и обектът се движи в положителна посока.

Наклонът на кривата е отрицателен между

t = 3 s

t = 9 s

, тъй като е насочен надолу. Това означава, че скоростта е отрицателна и обектът се движи в отрицателна посока.

При

t = 3 s

наклонът е нула, тъй като правата, която представлява наклонът е хоризонтална. Това означава, че скоростта е нула и обектът в този момент е в покой.

Проверка: Каква е скоростта на обекта при $t = 9 s$ ‍ според графиката по-горе?

Още нещо, което не бива да забравяме, е, че наклонът на графика на позицията в произволен момент от време ти дава моментната скорост в съответния момент. Усредненият наклон между две точки от времето ти дава средната скорост между тези два момента време. Не е задължително моментната скорост да съвпада със средната скорост. Обаче, ако наклонът е постоянен за някакъв период от време (т.е. този участък от графиката е права линия), тогава моментната скорост ще бъде равна на средната скорост между всеки две точки от този участък графиката.

Наклонът на линеен участък от графиката е постоянен. Иначе щяхме да имаме крива линия. Тъй като наклонът има една и съща стойност във всяка точка, осреднената стойност на наклоните в произволен участък от правата линия ще има същата стойност като наклона в произволна точка от правата линия.

С други думи, средната стойност на наклоните:

8 m/s

8 m/s

8 m/s

8 m/s

си е просто

8 m/s

Какъв смисъл има кривината на графика на позицията спрямо времето?

Разгледай графиката по-долу. Изглежда крива линия, тъй като просто не се състои само от прави линии. Ако графиката на позицията е крива линия, наклонът ѝ се променя, което означава, че скоростта се променя. Промяната на скоростта означава ускорение. Така че кривината на графиката означава, че обектът се ускорява (променя скоростта си).

На графиката по-долу опитай да плъзгаш хоризонтално точката хоризонтално и нагоре, по графиката, и наблюдавай как се променя наклонът. Първата издатина между

1 s

5 s

представлява отрицателно ускорение, тъй като наклонът се променя от положителен към отрицателен. За втората издатина (вдлъбнатина) между

7 s

11 s

, ускорението е положително, тъй като наклонът се променя от отрицателен към положителен.

Проверка: Какво е ускорението на обекта при $t = 6 s$ ‍ според графиката по-горе?

Тъй като наклонът на графиката е приблизително постоянен – не се променя – около

6 s

, ускорението в този момент е 0.

За да видиш това, премести точката от около

5, 5 s

до около

6, 5 s

, за да видиш, че наклонът на допирателната остава постоянен и следователно скоростта остава постоянна. Постоянна скорост означава нулево ускорение.

Да обобщим, ако кривината на графиката на позицията като функция на времето изглежда като обърната наопаки купа, ускорението е отрицателно. Ако изглежда като купа в нормално положение, ускорението е положително. Ето един начин да го запомниш: ако купата ти е наопаки, храната ти ще изпада, а това е отрицателно ускорение. Ако купата ти е с правилната страна нагоре, храната ще си стои на мястото, което е положително ускорение.

За съжаление, не. Кривина като обърната наопаки купа означава, че ускорението е отрицателно, но това не означава непременно, че обектът се забавя.

За първата издатина на графиката по-горе скоростта в началото е положителна при

1 s

и наклонът става нула при

3 s

. Това означава, че обектът се е забавял между

1 s

3 s

. Продължавайки да анализираме първата издатина, наклонът е нула при

3 s

и става отрицателен при

5 s

. Това означава, че обектът се е забързвал, тъй като скоростта му се е променила от нула до някаква отрицателна скорост.

И двете страни на обърнатата наопаки купа представляват отрицателно ускорение, но лявата страна представлява забавяне, а дясната страна представлява забързване.

Друг начин, по който да мислиш за всичко това, е, че ако графиката става по-полегата, обектът се забавя. Ако графиката става по-стръмна, обектът се забързва.

Как изглеждат решени примери, в които се използва графика на позицията като функция на времето?

Пример 1: Гладен морж

Движението на гладен морж, който снове напред-назад хоризонтално, оглеждайки се за храна, е дадено на графиката по-долу, която показва хоризонталната му позиция

x

като функция на времето

t

Каква е моментната скорост на моржа в следните моменти време: $2 s$ ‍, $5 s$ ‍ и $8 s$ ‍?

Намиране на скоростта при $2 s$ ‍:

Можем да намерим скоростта на моржа при

t = 2 s

, като намерим наклона на графиката при

t = 2 s

наклон = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (използваме формулата за наклон)

Сега ще изберем две точки от правата, която разглеждаме, които се намират на удобно място, за да намерим стойността на функцията в тези точки. Ще изберем точките

(0 s, 1 m)

(4 s, 3 m)

, но произволни две точки между

0 s

4 s

също биха ни свършили работа. Трябва да използваме точката от по-късния момент като точка 2, а тази от по-ранния момент като точка 1.

наклон = \frac{3 m - 1 m}{4 s - 0 s} (Избираме две точки и заместваме със стойностите на x в числителя и със стойностите на t в знаменателя.)

наклон = \frac{2 m}{4 s} = \frac{1}{2} m/s (Смятаме и отпразнуваме.)

Така че скоростта на моржа при $2 s$ ‍ е $0, 5 m/s$ ‍.

Намиране на скоростта при $5 s$ ‍:

За да намерим скоростта при

5 s

, е достатъчно само да видим, че там графиката е хоризонтална. Тъй като графиката е хоризонтална, наклонът е нула, което означава, че скоростта на моржа в $5 s$ ‍ е $0 m/s$ ‍.

Намиране на скоростта при $8 s$ ‍:

наклон = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Използваме формулата за наклон.)

Ще изберем точките в началото и края на последната отсечка, които са

(6 s; 3 m)

(9 s; 0 m)

наклон = \frac{0 m - 3 m}{9 s - 6 s} (Избираме две точки и заместваме със стойностите на x в числителя и със стойностите на t в знаменателя.)

наклон = \frac{- 3 m}{3 s} = - 1 m/s (Смятаме и ликуваме.)

Така че скоростта на моржа при $8 s$ ‍ е $- 1 m/s$ ‍.

Пример 2: Щастлива птица

Движението на изключително жизнерадостна птица, летяща право нагоре и надолу, е дадено на графиката по-долу, която показва вертикалната ѝ позиция

y

като функция на времето

t

. Отговори на следните въпроси за движението на птицата.

Каква е средната скорост на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍?
Каква е средната големина на скоростта на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍?

Намиране на средната скорост на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍:

За да намерим средната скорост между

t = 0 s

t = 10 s

, можем да намерим наклона между

t = 0 s

t = 10 s

. Визуално това означава да намерим наклона на правата, която свързва началната и крайната точка на графиката.

наклон = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Използвай формулата за наклон.)

Началната точка е

(0 s; 7 m)

, а крайната точка е

(10 s; 6 m)

наклон = \frac{6 m - 7 m}{10 s - 0 s} (Замести със стойностите на началната и крайната точка от интервала.)

наклон = \frac{- 1 m}{10 s} = - 0, 1 m/s (Сметни и отпразнувай.)

Така че средната скорост на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍ е

- 0, 1 m/s

Да, по същество ние това направихме, като намерихме средния наклон. Тъй като дефиницията за средна скорост е преместване за единица време, можеше първо да намерим преместването:

Δ y = y_{2} - y_{1} = 6 m - 7 m = - 1 m (Заместваме с крайната височина и началната височина.)

И тогава можеше да разделим на времето, за да получим средната скорост:

v_{с р} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{- 1 m}{10 s}

v_{с р} = - 0, 1 m/s

Получаваме една и съща стойност за средната скорост и по двата начина.

Намиране на средната големина на скоростта на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍:

Дефиницията за средна големина на скоростта е изминат път, разделен на изтекло време. Така че за да намерим изминатия път, трябва да съберем дължините на всяка част от пътуването. Между

t = 0 s

t = 2, 5 s

птицата се е преместила с

5 m

надолу. След това, между

t = 2, 5 s

t = 5 s

, птицата не се движи изобщо. И последно между

t = 5 s

t = 10 s

птицата е излетяла

4 m

нагоре. Събираме всички дължини и получаваме целия изминат път:

път = 9 m

Сега можем да разделим на изтеклото време, за да намерим средната големина на скоростта

с к о р о с т с р

с р е д н а с к о р о с т = \frac{разстояние}{Δ t} (Използвай формулата за средна скорост/средна големина на скоростта.)

с к о р о с т_{с р е д н а} = \frac{9 m}{10 s} = 0, 9 m/s (Замести стойностите, пресметни и отпразнувай!)

Така че средната големина на скоростта на птицата между $t = 0 s$ ‍ и $t = 10 s$ ‍ е $0, 9 m/s$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Библиотека по физика