Основно съдържание

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 17

Урок 3: Квантови числа и орбитали

Квантово-механичен модел на атома

Въведение в квантовия механичен модел на атома: Възприемане на електроните като вероятностни материални вълни и използване на дължини на вълните на дьо Бройл, уравнението на Шрьодингер и принципа на неопределеност на Хайзенберг. Електронен спин и експеримент на Щерн-Герлах.

Основни идеи

Луи дьо Бройл предполага, че всички частици могат да се възприемат като материални вълни с дължина $λ$ ‍, изразена чрез следната формула:

λ = \frac{h}{m v}

Ървин Шрьодингер предлага квантово-механичен модел на атома, който разглежда електроните като материални вълни.
Уравнението на Шрьодингер, $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍, може да бъде решено до получаването на поредица от вълнови функции $ψ$ ‍, всяка от които е обвързана със свързващата енергия на електрона $E$ ‍.
Квадратът на вълновата функция $ψ^{2}$ ‍ представлява вероятността за откриване на електрон в дадена област на атома.
Атомната орбитала е дефинирана като област в атома, в която е вероятно електронът да бъде през $90 %$ ‍ от времето.
Според принципа за неопределеност на Хайзенберг не можем да знаем едновременно енергията и позицията на електрона. Следователно, колкото повече знаем за позицията на електрона, толкова по-малко знаем за неговата енергия, и обратното.
Електроните имат свойство, наречено спин, а един електрон може да има една от две възможни стойности на спина: "нагоре" или "надолу."
Всеки два електрона, които заемат една орбитала, трябва да имат противоположен спин.

Въведение в квантово-механичния модел

"Трябва да е ясно, че когато става дума за атоми, езикът може да се използва само като в поезията." — Нилс Бор

На субатомно ниво материята започва да се държи много странно. Понякога поведението и е толкова алогично, че можем да го обясним само със символи и метафори - като в поезията. Например какво означава това, че електронът се държи като частица и като вълна? Или че електронът не съществува в никоя конкретна позиция, а е разпределен в целия атом?

Ако тези въпроси ти се струват странни, така е! Както се оказва, попаднали сме в добра компания. Физикът Нилс Бор казва също, че "Всеки, който не е шокиран от квантовата теория, просто не я е разбрал". Затова, ако се объркваш, когато учиш за квантовата механика, трябва да знаеш, че дори учените, които са я разработили, са били също толкова объркани.

Ще започнем, като разгледаме накратко модела на Бор на водорода, първият некласически модел на атома.

Преглед на модела на Бор за водорода

Както видяхме в предишната статия за модела на Бор, емисионните спектри на различните елементи съдържат отделни линии. Следващото изображение показва видимата част от емисионния спектър на водорода.

Водородът емитира светлина с четири различни дължини на вълната във видимата област. Източник на изображението: Емисионен спектър from Wikimedia Commons, CC0 1.0

Квантовите емисионни спектри подсказали на Бор, че вероятно електроните могат да съществуват в атома само при определени атомни радиуси и енергии. Спомни си, че квантуван се отнася до факта, че енергията може да бъде абсорбирана и излъчена само в набор от разрешени стойности, вместо с всяка възможна стойност. Следващата диаграма на модела на Бор показва електрон, който съществува в краен брой разрешени орбити или слоеве около ядрото.

Диаграма на модела на Бор за водородния атом. Електроните се движат в кръгови орбити, които са на постоянно разстояние от ядрото. Когато възбудените електрони $n > 1$ ‍ се завърнат към основното си състояние с по-ниска енергия, се емитира светлина. Източник на изображението: from Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0

От този модел Бор извел уравнение, което правилно предсказвало различните енергийни нива във водородния атом, които отговаряли пряко на емисионните линии на водородния спектър. Моделът на Бор успешно предсказвал и енергийните нива на други системи с един електрон като

{He}^{+}

. Не успял обаче да обясни електронната структура на атоми с повече от един електрон.

Докато някои физици се опитвали да адаптират модела на Бор за по-сложни системи, в крайна сметка разбрали, че е необходим напълно различен модел.

Дуализъм вълна-частица и дължина на вълната на дьо Бройл

Друго главно развитие в квантовата механика се дължи на френския физик Луи дьо Бройл. Въз основа на работата на Планк и Айнщайн, която показала как светлинната вълна може да има свойства, подобни на частица, дьо Бройл изградил хипотезата, че частиците също могат да имат свойства, подобни на вълна.

[Какви са вълновите свойства?]

Дьо Бройл извел следната формула за дължината на вълната на частица с маса

m

(в килограми,

kg

), която се движи със скорост

v

(в

\frac{m}{s}

), където

λ

е дължината на Дьо Бройл за дължината на вълната на частица в метри и

h

е константата на Планк,

6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}

$λ = \frac{h}{mv}$ ‍

Забележи, че дължината на вълната на дьо Бройл и масата на частицата са обратно пропорционални. Обратно пропорционалното отношение е причината да не забелязваме поведение на вълна за макроскопските обекти, които срещаме всеки ден. Оказва се, че поведението на вълна на материята е най-значително, когато вълната срещне препятствие или отвор, който е с подобен размер на нейната дължина на вълната на дьо Бройл. Освен това, когато една частица има маса от порядъка на

10^{- 31} kg

, какъвто е електронът, поведението на вълна става достатъчно голямо, за да доведе до интересни събития.

Проверка на понятието: Най-бързото хвърляне в бейзбола, което някога е било регистрирано, е приблизително 46,7

\frac{m}{s}

. Ако бейзболната топка има маса 0,145 kg, каква е дължината на вълната на Дьо Бройл?

[Покажи отговора.]

Пример 1: Изчисляване на дължината на вълната на дьо Бройл на електрон

Скоростта на електрон в основното енергийно състояние на водорода е

2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}

. Ако масата на електрона е

9, 1 \cdot 10^{- 31} kg

, каква ще бъде дължината на вълната на дьо Бройл за този електрон?

Можем да заместим константата на Планк и масата и скоростта на електрона в уравнението на дьо Бройл:

$\begin{aligned} λ & = \frac{h}{mv} \\ = \frac{6,626 \cdot 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}}{(9, 1 \cdot 10^{- 31} kg) (2, 2 \cdot 10^{6} \frac{m}{s})} \\ = 3, 3 \cdot 10^{- 10} m \end{aligned}$ ‍

Дължината на вълната на нашия електрон

3, 3 \cdot 10^{- 10} m

е от същия порядък като диаметъра на водородния атом, ~

1 \cdot 10^{- 10} m

. Това означава, че дължината на вълната на дьо Бройл за нашия електрон е такава, че често ще срещаме неща с подобен размер като неутрон или атом. Когато се случи това, е вероятно електронът да демонстрира поведение, подобно на вълна!

Квантово-механичен модел на атома

Стоящи (стационарни) вълни

Основният проблем в модела на Бор е, че той приема електроните за частици, които съществуват в точно определени орбити. Според идеята на дьо Бройл, че поведението на частиците може да е като на вълна, австрийският физик Ървин Шрьодингер изказал хипотезата, че поведението на електроните в атомите може да бъде обяснено, ако математически се приемат за материални вълни. Този модел, който е в основата на съвременното разбиране на атома, е познат като квантово-механичен или вълново-механичен модел.

Фактът, че електронът в атома може да има само определени позволени състояния или енергии, е подобен на стояща вълна. Ще обсъдим накратко някои свойства на стоящите вълни, за да разберем по-добре електронът като материална вълна.

Вероятно вече познаваш стоящите вълни от струнните музикални инструменти. Например, когато дръпнеш струна на китара, струната вибрира под формата на стояща вълна като показаната по-долу.

Забележи, че има точки на нулево отместване, или възли, които се появяват по стоящата вълна. Възлите са маркирани с червени точки. Тъй като двата края на струната от анимацията са фиксирани, това води до ограничението, че за всяка стояща вълна са позволени само определени дължини. Така вибрациите са квантовани.

Уравнение на Шрьодингер

Може би се питаш каква е връзката между стоящите вълни и електроните в един атом?

На много просто ниво можем да разглеждаме електроните като стоящи вълни на материята (вълни на Дьо Бройл), които имат определени позволени енергии. Шрьодингер формулира модел на атома, който приема, че електроните могат да се приемат за вълни на материята. В тази статия няма да се занимаваме с математика, но основната форма на уравнението на Шрьодингер е следната:

$\hat{H} ψ = E ψ$ ‍

ψ

се нарича вълнова функция;

\hat{H}

е известно като оператор на Хамилтън; а

E

е свързващата енергия на електрона. Решаването на уравнението на Шрьодингер дава няколко вълнови функции, всяка от които има позволена стойност за

E

В стоящата вълна, горе, в кръга съвпадат точно пет дължини на вълната. Когато обиколката на кръга не позволява цяло число дължини, долу, получената деструктивна интерференция води до прекъсване на вълната.

Точната интерпретация на информацията, която получаваме от вълновите функции, е доста трудно. Заради принципа на неопределеността на Хайзенберг е невъзможно да знаем едновременно позицията и енергията на даден електрон. Тъй като познаването на енергията на електрона е задължително, за да се предскажат химичните свойства на атома, химиците като цяло приемат, че можем да определим само позицията на електрона.

Как химиците определят разположението на електрона? Вълновите функции, получени от уравнението на Шрьодингер за конкретен атом, се наричат атомни орбитали. Химиците дефинират атомна орбитала като област от атома, в която има вероятност електронът да бъде през 90% от времето. В следващата секция ще поговорим за това как се определят вероятностите на електрона.

[Разкажи ми повече за принципа на Хайзенберг за неопределеността!]

Орбитали и плътност на вероятността

Стойността на вълновата функция

ψ

в дадена точка в пространството (

x; y; z

) е пропорционална на амплитудата на електронната вълна на материята в тази точка. Въпреки това много вълнови функции са сложни функции, които съдържат

i = \sqrt{- 1}

, а амплитудата на вълната на материята няма реално физическо значение.

За наш късмет, квадратът на вълновата функция,

ψ^{2}

, е малко по-полезен. Това е така, защото квадратът на вълновата функция е пропорционален на вероятността да бъде открит електрон в определен обем от пространството в един атом. Функцията

ψ^{2}

често се нарича вероятностна плътност.

Вероятностната плътност на един електрон може да бъде визуализирана по няколко начина. Например

ψ^{2}

може да бъде представено като графика, в която се използват цветове с различен интензитет, за да покажат относителните вероятности един електрон да бъде открит в дадена област от пространството. Колкото по-голяма е вероятността електронът да бъде открит в определен обем, толкова е по-наситен е цветът в тази област. Изображението по-долу показва разпределението на вероятностите за сферични

1 s

2 s

3 s

орбитали.

Забележи, че 2s и 3s орбиталите съдържат възли - области, в които има 0% вероятност да бъде отрит електрон. Съществуването на възли е аналогично на стоящите вълни, за които говорихме в предишната секция. Редуващите се цветове в 2s и 3s орбиталите представляват области от орбиталата с различна фаза, което е важен фактор при химическото свързване.

Друг начин за представяне на вероятностите за един електрон в орбитали е графичното изобразяване на повърхностната плътност като функция от разстоянието до ядрото,

r

Повърхностната плътност е вероятността да бъде открит електрон в тънка обвивка с радиус

r

. Това се нарича графика на радиална вероятност. Отляво е графиката на радиална вероятност за

1 s

2 s

3 s

орбитали. Забележи, че когато енергийното ниво на орбиталите нараства от

1 s

до

2 s

и до

3 s

, вероятността да бъде открит електрон по-далеч от ядрото също нараства.

[Как са свързани орбиталите, слоевете и подслоевете в атома?]

Форми на атомните орбитали

Досега разглеждахме s-орбиталите, които са сферични. Като такива разстоянието до ядрото

r

е основният фактор, който определя вероятностното разпределение на електрона. За другите типове орбитали обаче, като p, d и f, ъгловата позиция на електрона по отношение на ядрото също става фактор във вероятностната плътност. Това води до по-интересни форми на орбиталите като тези на следващото изображение.

P-орбиталите имат формата на гирички, ориентирани по една от осите (

x, y, z

). d-орбиталите могат да бъдат описани като формата на "детелина" с четири възможни ориентации, с изключение на орбиталата

d_{0}

, която прилича почти на

p

-орбитала с поничка около центъра. Колкото до останалите орбитали, няма дори да се опитвам да опиша

f

-орбиталите!

Електронен спин: Експеримент на Щерн-Герлах

Последната квантова характеристика, която ще обсъдим, е електронният спин. През 1922г. немските физици Ото Щерн и Валтер Герлах изграждат хипотезата, че електроните се държат като малки магнити, всеки от които има северен и южен полюс. За да проверят тази теория, те запалват лъч от сребърни атоми между полюсите на постоянен магнит с по-силен северен, отколкото южен полюс.

Според класическата физика ориентацията на един дипол във външно магнитно поле трябва да определи посоката, в която се отклонява лъчът. Тъй като парче магнит може да има различни ориентации спрямо външното магнитно поле, те очаквали атомите да се отклонят в различна степен и да се получи разсеяно разпределение. Вместо това Щерн и Герлах наблюдавали как атомите се разделили ясно между северния и южния полюс. Гледай следващото страхотно видео, за да видиш хипотезата и експеримента в действие!

Резултатите от този експеримент разкриват, че за разлика от обикновените магнити, електроните могат да имат само

2

възможни ориентации: по магнитното поле или срещу него. Тази особеност на електроните да съществуват само в

1

от

2

те възможни магнитни състояния не може да бъде обяснена от класическата физика! Учените нарекли това свойство на електроните електронен спин, като всеки електрон има или "положителен", или "отрицателен" спин. Понякога представяме електронния спин със стрелки, които сочат нагоре (

↑

) или надолу (

↓

Едно от следствията на електронния спин е, че най-много два електрона могат да заемат дадена орбитала, и че ако 2 електрона заемат една и съща атомна орбитала, те трябва задължително да имат противоположен спин. Това се нарича още принцип на забраната на Паули.

Резюме

Луи дьо Бройл предполага, че всички частици могат да се възприемат като вълни на материята с дължина $λ$ ‍, дадена със следната формула:

$λ = \frac{h}{m v}$ ‍

Ървин Шрьодингер предлага квантово-механичен модел на атома, който разглежда електроните като материални вълни.
Уравнението на Шрьодингер, $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍, може да бъде решено до получаването на поредица от вълнови функции $ψ$ ‍, всяка от които е обвързана със свързващата енергия на електрона $E$ ‍.
Квадратът на вълновата функция $ψ^{2}$ ‍ представлява вероятността за откриване на електрон в дадена област на атома.
Атомната орбитала е дефинирана като област в атома, в която е вероятно електронът да бъде през $90 %$ ‍ от времето.
Според принципа за неопределеност на Хайзенберг не можем да знаем едновременно енергията и позицията на електрона. Следователно, колкото повече знаем за позицията на електрона, толкова по-малко знаем за неговата енергия, и обратното.
Електроните имат свойство, наречено спин, а един електрон може да има една от две възможни стойности на спина: "нагоре" или "надолу."
Всеки два електрона, които заемат една орбитала, трябва да имат противоположен спин.

[Източници и препратки]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.