If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако използваш уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Преговор по физика: двумерно движение и вектори

В това видео Дейвид обяснява набързо понятията, свързани с двумерното движение, и решава кратка примерна задача за всяко понятие. Поглеждай плъзгача отдясно, за да следиш колко напредваш през видеото за преговор. Създадено от Дейвид СантоПиетро.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Какво представляват компонентите на един вектор? Компонентите ни дават начин да разделим всеки вектор на две перпендикулярни части, които не са вектори, а числа. За удобство обикновено избираме тези части да лежат в посоките на координатните оси х и у. Означаваме компонентата по оста X с Vx, а компонентата по оста Y с Vy. Всъщност, тези компоненти представляват проекциите на вектора върху координатните оси. За да намерим вертикалната компонента Vy на даден вектор, когато знаем ъгъл тита, тъй като Vy е катет от правоъгълен триъгълник, който лежи е срещу този ъгъл, можем да запишем, че вертикалната компонента е равна на произведението от големината на вектора по синуса на ъгъл тита. Хоризонталната компонента Vx е прилежащ катет на този ъгъл. Следователно, можем да запишем, че хоризонталната компонента е равна на произведението от големината на вектора по косинуса на ъгъл тита. И ако вместо ъгъл тита ни бяха дали ъгъл фи и искахме да определим вертикалната компонента на дадения вектор, тъй като сега вертикалната компонента е прилежащ катет за този ъгъл, тя ще бъде равна на произведението от големината на вектора по косинуса на този ъгъл. И тъй като хоризонталната компонента сега е срещулежащ катет за този ъгъл, тя ще бъде равна на произведението от големината на вектора по синуса на този ъгъл. Помни, за да намериш срещулежащия катет, използваш синус, а за да намериш прилежащия катет, използваш косинус. Как ще изглежда една примерна задача в която трябва да намериш компонентите на даден вектор? Да кажем, че имаш тази задача и искаш да определиш компонентите х и у на този вектор на скоростта, който е даден на чертежа. Тъй като хоризонталната компонента е прилежащ катет на ъгъла, който ни е даден, тя ще бъде равна на произведението от големината на общия вектор – 20 метра в секунда – по косинуса на ъгъла, косинус от 60 градуса, което прави 10 метра в секунда. И тъй като вертикалната компонента е срещулежащ катет на този ъгъл, тя ще бъде равна на произведението от големината на вектора, 20 метра в секунда, по синуса на ъгъла, което прави 17,3 метра в секунда. Но тъй като тази вертикална компонента е насочена надолу, тя ще бъде отрицателна, ще е равна на -17,3 метра в секунда. Като използваш синус и косинус, това ще ти даде големината на компонентите, но трябва след това да определиш и какъв им е знакът – плюс или минус. Ако векторът сочи надясно, хоризонталната компонента ще е положителна. Ако векторът сочи наляво, хоризонталната компонента ще е отрицателна. Ако векторът сочи нагоре, вертикалната компонента ще е положителна. И ако векторът сочи надолу, вертикалната компонента ще е отрицателна. Какво означава събиране „начало“ до „край“ или „край“ до „начало“? Това е графичен начин да събираме или изваждаме вектори. И начинът, по който извършваме действието, е като последователно построяваме векторите един до друг, като поставяме началото на всеки вектор в края на предходния вектор.. И след като построим по този начин всички вектори, начертаваме резултантния (общия) вектор от началото на първия до края на последния вектор. С други думи, ако събирам векторите А, В и С, ще поставя началото на вектор В до края на вектор А, а после ще поставя началото на вектор С до края на вектор В. И след като приключа, ще начертая общия вектор, като премина от първото начало до последния край. И този общ вектор ще представлява векторния сбор на трите вектора. И ако трябва да извадиш вектора, пак ще използваш векторно събиране. Просто събираш с отрицателната стойност на този вектор. С други думи, ако имаш някакъв вектор В и искаш да извадиш от него вектор А, вместо да мислиш за това като за изваждане на вектор А, мисли за него като за събиране с отрицателния вектор А. И начинът да намериш вектор -А е като вземеш вектор А и смениш неговата посока просто като поставиш стрелката, с която е означен края на вектора, в неговото начало. Каква ще представлява една примерна задача, включваща събиране на вектори „начало“ до „край“? Представи си, че имаме зададена тази задача и имаме дадени тези четири вектора – A, B, C, D, и от нас искат да определим в коя посока е сборът на всички тези вектори. Ще използваме векторно събиране „начало“ до „край“. Ще пренеса вектор А, запазвайки посоката му. Не ми е позволено да го завъртам или да променям дължината му. И след него ще пренеса по същия начин вектор В, като поставя началото на вектор В до края на вектора А. И после добавям вектор С, като поставям началото на вектор С до края на вектор В. И накрая ще добавим вектор D, като поставим началото на вектор D до края на вектор С. И сега, когато пренесохме всички вектори, резултантният вектор ще премине от началото на първия вектор (А) до края на последния вектор (D), което означава, че това е посоката и големината на вектора, равен на сбора на четирите вектора, т.е. вектор А + В + С + D. Друг по-математически начин за събиране на вектори е просто чрез събиране на отделните им компоненти. Тоест за да намерим общия вектор А + В, вместо да графично да ги събираме по правилото на триъгълника („начало“ до „край“), можем да намерим хоризонталната и вертикалната компонента поотделно като съберем отделните компоненти. С други думи, за да получим общата хоризонтална компонента на общия вектор А + В, можем просто да съберем хоризонталната компонента на А, която е -20, и хоризонталната компонента на В, която е -5, и ще получим -25. И за да намеря общата вертикална компонента на общия вектор А + В, мога просто да събера вертикалната компонента на А, която е -15, и вертикалната компонента на В, която е 10, за да получа -5. Тази техника ти позволява бързо да определиш какви са отделните компоненти на общия вектор. И, отново, ако трябва да извадиш един вектор, пак можеш да събереш компонентите, само че компонентите на един отрицателен вектор се умножават по -1. С други думи, ако вектор А има компоненти -20 и -15, тогава вектор -А ще има компоненти +20 и +15. Как би изглеждал един пример за събиране на векторни компоненти? Да кажем, че имаш този въпрос. Имаш вектори А и В с тези компоненти и искаше да знаеш компонентите на общия вектор А + В. За да намеря хоризонталната компонента на общия вектор А + В, мога да събера отделните компоненти на А и В. Хоризонталната компонента на А е 4, плюс хоризонталната компонента на В, която е -1, което дава обща хоризонтална компонента от +3. Мога да направя същото нещо за вертикалната компонента. Мога да събера компонентата на А и компонентата на В, което ще е 5 + -4, а това ми дава +1. Тъй като хоризонталната компонента на общия вектор е положителна, знам, че сочи 3 единици надясно. И тъй като вертикалната компонента на общия вектор е положителна, знам, че сочи една единица нагоре. Това означава, че общият ми вектор А + В сочи нагоре и надясно. Една единица нагоре и 3 единици надясно. Как работиш с 2D (двумерни) кинематични задачи? 2D кинематичните задачи са задачи за тела, описват тела, летящи във въздуха под различни ъгли. За тези обекти, ако нищо освен гравитацията не действа върху тях, вертикалното ускорение ще е -9,8. И няма да имат хоризонтално ускорение, тъй като гравитацията не действа настрани. Също така поведението на компонентите х и у е независимо. Това означава, уравненията, които ще използваш, за да намериш вертикалните компоненти, ще са различни от уравненията за хоризонталните компоненти. Тъй като вертикалното ускорение е постоянно, можеш да използваш кинематичната формула, за да намериш величините във вертикална посока. Но може да въведеш само вертикални величини в тези уравнения. Аналогично, тъй като ускорението е 0 в хоризонтална посока (в посока на х), можеш просто да използваш разстоянието като произведение от скорост по времето, за да свържеш величините в посока х, но трябва да въведеш само хоризонталните компоненти в това уравнение. С други думи, докато едно тяло лети през въздуха, тъй като няма хоризонтално ускорение, хоризонталната компонента на скоростта ще остане една и съща за цялото придвижване. Което означава, че скоростта, с която това тяло се движи в посока х, никога не се променя. Но тъй като има ускорение във вертикална посока, вертикалната компонента на скоростта ще става по-малка и по-малка, докато стига до върха, и това означава, че общата големина на скоростта на тялото също ще намалява, докато доближава върха. А на върха има вертикална компонента на скоростта от 0, тъй като тялото не се движи нагоре или надолу в този момент. А надолу вертикалната компонента на скоростта става все по- и по-отрицателна, което увеличава големината на скоростта на тялото. Помни, че по време на цялото придвижване вертикалното ускорение е еднакво, -9,8 нагоре, на върха и надолу. Вертикалното ускорение никога не се променя. Как ще изглежда една примерна задача с 2D кинематика? Да кажем, че едно кюфте се изтърколи хоризонтално от една маса с височина Н с големина на скоростта v. И искаме да знаем колко далеч хоризонтално преминава кюфтето, преди да удари пода. Първото нещо, което трябва да направим, е да начертаем чертеж. Височината на масата е Н. Началната големина на скоростта на кюфтето е v. И искаме да определим колко надалеч хоризонтално стига кюфтето от ръба на масата. Но, забележи, тази задача е параметрична (с букви). Не са ни дадени числа, така че трябва да дадем отговора си като включим в него означенията на дадените величини и фундаментални константи. Дадените величини са неща като Н и v, а фундаменталните константи са неща като малко g. Тази величина, която искаме да намерим, е преместването в посока х, което ще е големината на скоростта в посока х по времето на падане. Знаем, че големината на скоростта в посока х ще остане постоянна. Това v ще е хоризонталната големина на скоростта за цялото придвижване. Можем да въведем v за големината на скоростта, но не знаем какво ще е времето на полета. За да получим времето на полета ще използваме друго уравнение за вертикалната посока. Вертикалното преместване няма да е Н, а ще е -Н, тъй като това кюфте пада надолу. И началната скорост в посока у няма да е v, а ще е 0, тъй като кюфтето няма вертикална скорост, точно когато пада от масата. Има само хоризонтална скорост. Ускорението е -9,8. Но ще запишем това по отношение на фундаменталната константа, тоест ще го запишем като -g. Това ни позволява да намерим t. Получаваме корен квадратен от 2Н върху g, което сега можем да сложим тук, за да получим хоризонталното преместване на това кюфте, преди то да удари земята. Нещо друго, което определено трябва да знаеш за изпита за напреднали, е как да построиш графика така, че тя да се получи линейна. Под това имам предвид, че когато построяваш графика от определени данни, графиката не винаги се получава линейна. И когато не получиш линейна графика, е трудно да намериш наклона на получената крива. Но можеш "насила" да накараш данните да са линейни, ако запишеш израза, който дава зависимостта между данните ти като уравнение на права. Уравнението на права е във вида у = mx + b. у е вертикалната ос. х е хоризонталната ос. m е наклонът, а b ординатата на пресечната точка с оста у. С други думи, ако имаш израза P = (1/2)D^2, ако направиш графика на Р като функция на D, ще получиш парабола, а това означава, че имаш проблем, понеже намирането на наклона на една парабола е трудно. Но ако вместо това избереш да направиш графика на Р като функция на D^2, получаваш права, понеже сега Р ще бъде по вертикалната ос, D^2 ще бъде хоризонталната ос. Наклонът или това, по което умножаваш означеното с х, е просто константа и това означава, че наклонът е константа. Това ни позволява да прогнозираме какъв ще е наклонът, ако направим графика на Р и D^2, тъй като наклонът винаги е това, което умножава хоризонталната ми ос. Наклонът в този случай трябва да е 1/2. С други думи, ако "насила" накараш израза си да приеме вида на уравнение на права, не само ще получиш линейна апроксимация, но можеш да прогнозираш какъв е наклонът, като разгледаш всичко, по което умножаваш това, което означи с х. Но много хора намират това за объркващо и странно. Как би изглеждала една примерна задача, при която трябва да начертаеш графика на данни с линейна апроксимация? Да кажем, че ти дадат този въпрос. "Няколко пъти изтъркулваш една сфера от една маса с различни големини на скоростта v, и измерваш разстоянието, което изминава, делта х, преди да достигне пода. Ако масата има фиксирана и известна височина Н, какво ще поставим на графиката, за да определим експерименталната стойност на големината на ускорението поради гравитацията?" Няколко пъти променяме големината на скоростта и измерваме колко надалеч отива топката. Това ни позволява да разберем – това са величините, които се променят, така че те ще бъдат върху осите х и у. Но за да намерим какво да поставим на графиката, трябва да намерим някакъв вид зависимост между тези две променливи, за да можем да представим тази зависимост като уравнение на права. В раздела за 2D кинематиката точно преди това намерихме формула за това колко надалеч отива една топка, изтъркулваща се от една маса, по отношение на височината на масата и ускорението поради гравитацията. Това е изразът, който свързва скоростта на движението ѝ с това колко надалеч отива. И трябва да представим това като уравнение на права. Най-лесно е да преработим тази лява страна, тъй като там вече е изразен у. Величината у по вертикалната ос ще е просто делта х и това не е проблем, понеже това е една от величините, които се променят тук. Подобно, другата величина, която се променя, е v, така че просто ще означим това v като x. Това означава, че хоризонталната ос ще е v. Успях да направя това, тъй като това беше просто v. Ако беше v^2, щеше да трябва да направя графика на v^2 на хоризонталната ос. И ако това беше корен квадратен от v, щеше да трябва да направя графика на корен квадратен от v на оста х. Но тъй като това беше само v, мога да направя графика само на v на хоризонталната ос и сега можем да открием какво ще представлява наклонът ни. Имаме у = m*x. Всичко, което умножава това, което наричаме х, ще е нашият наклон. Както е написано тук m е умножено вдясно, но няма значение, понеже m*x е същото нещо като х*m. Това означава, че целият този член корен квадратен от 2Н върху g е наклонът на тази графика. С други думи, ще получим линейна апроксимация и числото, което намерим за наклона, ще е равно на корен квадратен от 2Н/g. И тъй като няма добавен член b, няма пресечна точка с оста у, за която да се тревожим тук. Как определяме експерименталната стойност за g? Взимаме данните си, поставяме ги на графика, построяваме права на най-доброто приближение през точките за данните. Ще използваме точки от правата, за да определим наклона на правата, като вземем покачването през времето. Това покачване през времето ще е равно на наклона и знаем, че това число ще е равно на корен квадратен от 2H/g. Ако знаем това число за наклона и в таблицата има известна и фиксирана стойност на Н, единственото неизвестно е g, което сега можем да намерим.