If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Преговор по физика: центростремителни сили

В това видео Дейвид обяснява понятията, свързани с центростремителните сили, и решава кратка примерна задача за всяко понятие. Създадено от Дейвид СантоПиетро.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Какво означават период и честота? Периодът е броят секунди, които са нужни, за да може един процес да завърши цял цикъл, кръг или въртене. Ако има повтарящи се процеси, времето, нужно на този процес да се "нулира", е периодът и той се измерва в секунди. Честотата е броят цикли или кръгове, или въртения, завършени за една секунда. Ако има процес, който е повтарящ се, броят повторения на процеса за една секунда ще е честотата. Това означава, че тя има мерни единици от 1 върху секунда, което се нарича херц. И понеже периодът и честотата са определени по този обратнопропорционален начин като секунди на цикъл или цикли на секунда, всяко от тях е просто обратнопропорционалното на другото. С други думи, периодът е просто 1 върху честотата, а честотата е равна на 1 върху периода. Един пример за повтарящ се процес е един обект, движещ се в кръг с постоянна скорост. Ако имаш такъв случай, можеш да свържеш големината на скоростта, радиуса на окръжността и периодът на движението, тъй като скоростта е просто пътя върху времето, а разстоянието, което обектът изминава през един цикъл, е 2 пи R, обиколката или дължината на окръжността, а големината на скоростта ще е 2 пи R върху периода, или, тъй като 1 върху периода е честотата, можеш да запишеш скоростта като 2 пи R по честотата. Тъй като времето не е вектор, тези величини не са вектори и не могат да са отрицателни. Как ще изглежда един пример с период и честота? Да кажем, че един естествен спътник се движи около една планета в кръгова орбита с радиус R с постоянна скорост S. И искаме да знаем какви са периодът и честотата по отношение на дадените величини и фундаменталните константи, така че ще използваме зависимостта между големината на скоростта, периода и честотата. Знаем, че за тяло, движещо се в кръг, скоростта е 2 пи R върху периода. И това означава, че периодът тук ще е равен на 2 пи R върху скоростта. И тъй като честотата е 1 върху периода, ако вземем 1 върху тази величина, просто преобръщаме горната и долната част и ще получим, че това е скоростта върху 2 пи R. Но не можем да оставим отговора си, изразен чрез V. Трябваше да изразим това чрез дадените величини. Дадоха ни S, така че отговорът за периода трябва да е 2 пи R върху S, а честотата ще е S върху 2 пи R, което е С. Какво е нормално или центростремително ускорение? Центростремителното ускорение на едно тяло е ускорението, което кара това тяло да се движи в кръг. И е важно да отбележим, че това центростремително ускорение винаги сочи към центъра на окръжността. Формулата за намиране на центростремителното ускорение е големината на скоростта на квадрат делена на радиуса на окръжността, в която се движи тялото. Въпреки че тази формула за ускорението е малко екзотична, това все пак е ускорението, така че пак има мерни единици от метри в секунда на квадрат и това е вектор, което означава, че има посока, в този случай към центъра на окръжността. Но това центростремително ускорение не кара тялото да ускори или забави. Това центростремително ускорение само променя посоката на скоростта. Ако тялото, което се движи в окръжност, същевременно ускорява или се забавя, трябва също да има компонента на ускорението, която е допирателна на окръжността. С други думи, ако тялото се движи в окръжност и ускорява, ще има компонента на ускорението в посоката на скоростта, а ако тялото забавя, трябва да има компонента на ускорението в противоположна на скоростта посока. Центростремителното ускорение променя посоката на скоростта, а тангенциалното ускорение променя големината, или размера, на скоростта. Но тази формула v^2/R ти дава само големината на центростремителното ускорение. Това не отчита никакво тангенциално ускорение. Каква ще изглежда една примерна задача с центростремително (нормално) ускорение? Да кажем, че частица А се движи в окръжност с постоянна големина на скоростта S и радиус R. Ако частица В се движи в окръжност с два пъти големината на скоростта на А и два пъти радиуса на А, какво е отношението между ускорението на частица А и ускорението на частица В? Частица А ще има центростремително ускорение, равно на големината на скоростта на квадрат върху радиуса, а частица В също ще има ускорение от големината на скоростта на квадрат, но тази големина на скоростта е два пъти по-голяма от големината на скоростта на частица А и се движи в окръжност с два пъти по-голям радиус от този на частица А. Когато повдигнем тези на квадрат, получаваме 4/2, което ни дава коефициент от 2 пъти големината на скоростта на А на квадрат върху радиуса на А. Тоест отношението на ускорението на частица А и ускорението на частица В ще е 1/2, тъй като ускорението на частица А е половината от ускорението на частица В. Центростремителните сили не са нов вид сила, центростремителните сили са просто една от всички други сили, които вече срещнахме, които просто сочат към центъра на окръжността, карайки едно тяло да се движи в окръжност. За Луната, движеща се около Земята, гравитацията е центростремителната сила. За едно йо-йо, въртящо се на нишка, силата на опън е центростремителната сила. За един скейтбордист, правещ лупинг, нормалната сила е центростремителната сила. И за една кола, движеща се по кръгово движение, статичната сила на триене е центростремителната сила. И тези сили пак следват втория закон на Нютон, но използването на центростремителните сили означава, че също ще трябва да използваш израза за центростремително ускорение. Ако една сила е насочена радиално навътре към центъра на окръжността, ще вземеш тази сила като положителна, тъй като сочи в същата посока като центростремителното ускорение. И ако една сила сочи радиално навън от центъра на окръжността, ще вземеш тази сила като отрицателна. И ако една сила е насочена допирателно към окръжността, няма изобщо да я включваш в това изчисление. Можеш да включиш тези сили в тяхно собствено уравнение според втория закон на Нютон, но няма да използваш v^2/R за това ускорение. Тези тангенциални сили променят големината на скоростта на тялото, но центростремителната сила променя посоката на тялото. Как ще изглежда една примерна задача с центростремителни сили? Представи си една топка с маса М, търкаляща се по върха на хълм с радиус R с големина на скоростта S. И искаме да знаем каква е големината на нормалната сила, приложена върху топката от пътя, на върха на хълма. Да начертаем диаграмата на силите. Ще има възходяща нормална сила върху топката от пътя и ще има низходяща сила на гравитацията върху топката от Земята. Тези две сили няма да са равни и противоположни. Ако бяха равни и противоположни, те щяха да се балансират, а ако силите са балансирани, тялото ще запази скоростта си и ще продължи да се движи по права линия. Но тази топка не се движи по права линия, тя започва да ускорява надолу. Тази нормална сила ще трябва да е по-малка от силата на гравитацията. За да намерим колко по-малка е, можем да използваме втория закон на Нютон с формулата за центростремителното ускорение. Големината на скоростта е S, радиусът е R, силата на гравитацията ще е положителна центростремителна сила, тъй като е насочена към центъра на окръжността. Нормалната сила ще е отрицателна центростремителна сила, тъй като е насочена радиално навън от центъра на окръжността. После делим на масата, което, ако решиш това, за да намериш нормалната сила, ти дава силата на гравитацията минус М, (S^2)/R, което е смислено, понеже тази нормална сила трябва да е по-малка от силата на гравитацията. Универсалният закон за гравитацията на Нютон твърди, че всички маси във Вселената придърпват, тоест привличат, всяка друга маса във Вселената с гравитационна сила. И тази сила е пропорционална на всяка маса и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието център до център между двете маси. В математическия си вид това просто ни казва, че силата на гравитацията е равна на голямо G, константа, която е 6,67 по 10^-11, умножена по всяка маса в килограми, а после делено на разстоянието център-до-център между двете маси, с други думи, не разстоянието повърхност до повърхност, а разстоянието център до център. И дори ако тези две тела имат различни маси, големината на силата, която прилагат едно върху друго, ще е една и съща. Това е илюстрирано от формулата, тъй като можеш да преобърнеш тези две маси и получаваш същото число. И това също е нещо, което знаем от третия закон на Нютон. Тази сила на гравитацията е вектор и има посока, посоката винаги е такава, че да привлича всяка друга маса, а тъй като това е сила, мерната единица е нютони. Как ще изглежда една примерна задача със закона на Нютон за гравитацията (закона за всеобщото привличане)? Да кажем, че двете маси, и двете с маса М, прилагат гравитационна сила F една върху друга. Ако една от масите е сменена с маса 3М и разстоянието център до център между двете маси е утроено, каква ще е новата гравитационна сила? Знаем, че гравитационната сила винаги е голямо G по една от масите, умножена по другата маса, разделено на разстоянието център до център на квадрат. Началната сила между двете маси ще е равна на голямо G по (М*М)/R^2, но новата сила със сменените стойности ще е голямо G по (3М)М делено на 3 пъти радиуса на квадрат. Членът 3^2 отдолу ни дава 9, а 3 делено на 9 е 1/3 по голямо G (М*М)/R^2. Можем да видим, че силата с новите стойности е 1/3 от силата със старите стойности. Какво означава гравитационното поле? Гравитационното поле е просто друга дума за ускорението поради гравитацията близо до едно тяло. Можеш да визуализираш едно гравитационно поле като вектори, сочещи радиално навътре към една маса. Всички маси създават гравитационно поле, което сочи радиално навътре към тях и намалява като 1/R^2, колкото по-надалеч отиваш от тях. Формулата за гравитационното поле, малко g, създадено от една маса М, е голямо G по масата, създаваща полето, разделена на разстоянието от центъра на масата до точката, в която опитваш да определиш стойността на полето. И, отново, тази стойност за гравитационното поле ще е равна на стойността за ускорението поради гравитацията на едно тяло, поставено в тази точка. Гравитационното поле е вектор, тъй като има посока, например към центъра на тялото, което го създава. И тъй като гравитационното поле е равностойно на ускорението поради гравитацията, мерните единици са метри в секунда на квадрат, но можеш да запишеш това и като нютона на килограм, което е друг начин да помислим за това какво означава гравитационното поле. Не само това е ускорението поради гравитацията на едно тяло, поставено в тази точка, но това също е и количеството гравитационна сила, приложена върху маса М, поставена в тази точка. Можеш да помислиш за гравитационното поле все едно то измерва количеството гравитационна сила на килограм в една точка в пространството, което, когато се пренареди, ти дава познатата формула, че силата на гравитацията е просто m*g. Как ще изглежда една примерна задача за гравитационното поле? Да кажем, че една хипотетична планета Х има 3 пъти масата на Земята и половината от радиуса на Земята. Какво ще е ускорението поради гравитацията на планета Х, тоест гравитационното поле на планета Х, по отношение на ускорението поради гравитацията на Земята, което е ge? Знаем, че гравитационното поле на Земята трябва да е голямо G по масата на Земята върху радиуса на Земята на квадрат, което наричаме g с индекс Е, а гравитационното поле на планета Х ще е голямо G по 3 пъти масата на Земята разделено на половината на радиуса на Земята на квадрат, а после повдигаме на квадрат този член 1/2, получаваме 1/4, което е в знаменателя, тоест 3 делено на 1/2 е 12 по-голямо G, масата на Земята върху радиуса на Земята на квадрат, а тъй като целият този член тук е ускорението поради гравитацията на Земята, ускорението поради гравитацията на планета Х ще е 12 пъти ускорението поради гравитацията на Земята. Понякога, когато решаваш задачи с гравитация, ще ти дадат плътност, вместо маса. Плътността е количеството маса на единица обем за даден материал. Символът за плътност е гръцката буква ро и можеш да намериш плътността, като разделиш масата на обема. Мерните единици за плътността са килограми на метър на трета. И това не е вектор, тъй като няма посока, но ти позволява да намериш масата. Ако знаеш плътността, можеш да кажеш, че масата е плътността по обема. Как ще изглежда една примерна задача с плътност? Нека отново решим една задача с хипотетичната планета, но този път, вместо да ни кажат, че планета Х има 3 пъти масата на Земята, да кажем, че планета Х има 3 пъти плътността на Земята и, отново, половината от радиуса на Земята. Какво ще е ускорението поради гравитацията на планета Х по отношение на ускорението поради гравитацията на Земята, ge? Можем да запишем формулата за гравитационно ускорение, или гравитационно поле, която е голямо G по М/R^2. Но този път не знаем масата. Знаем само плътността, така че искаме да преобразуваме тази формула по отношение на плътността, което можем да направим като преобразуваме М като ро по V, тъй като плътността е масата върху обема, а масата е плътността по обема. Но не знаем обема на тази планета, знаем само радиуса, така че трябва да преобразуваме обема по отношение на радиуса, което можем да направим, тъй като планетите са сферични, а обемът на една сфера е 4/3 пи R^3. Можем да заместим обема с този израз и накрая получаваме израз за ускорението поради гравитацията от голямо G по ро 4/3 пи R^3 делено на R^2. И можем да съкратим R^2 отгоре и отдолу, което оставя това малко g да е равно на голямо G по ро 4/3 пи R. Гравитационното ускорение на Земята ще е голямо G по ро на Земята 4/3 пи по радиуса на Земята. Гравитационното ускорение на планета Х ще е голямо G по плътността на планета Х, която е 3 пъти плътността на Земята, по 4/3 пи по радиуса на планета Х, който е 1/2 от радиуса на Земята, което, когато изнесем тройката и изнесем 1/2, ни дава 3/2 по израза за ускорението на Земята поради гравитацията. Гравитационното ускорение на планета Х ще е равно на 3/2 гравитационното ускорение на планетата Земя. Гравитационните орбити са просто специален случай на центростремително ускорение, при който някакво тяло обикаля в орбита около друго тяло, поради силата на гравитацията. И ако тази орбита е окръжност, можем да свържем големината на скоростта, радиуса на орбитата и по-голямата маса, като използваме втория закон на Нютон и центростремителното ускорение. Просто заместваш ускорението като центростремителното ускорение, (v^2)/R, и, тъй като центростремителната сила е силата на гравитацията, можеш да въведеш израза за сила на гравитацията като центростремителната сила, което е голямо G М*М върху разстоянието между тях на квадрат. И тъй като масата на орбитиращото тяло се съкращава, получаваме израз, който свързва големината на скоростта на орбитиращото тяло, по-голямата маса, която придърпва това тяло, и разстоянието център до център между телата, което, ако решим това, за да намерим v, ни дава корен квадратен от голямо G по масата, която придърпва това тяло, делено на разстоянието център до център между телата. Забележи, че тази формула не зависи от масата, която е в орбита, тъй като тази маса се съкрати в изчислението. Как ще изглежда една примерна задача с гравитационни орбити? Представи си една космическа станция с маса Ms, която обикаля в орбита на височина от 3R над една планета с маса Мр и радиус R, както се вижда в тази диаграма, а после си представи, че една космическа станция с маса 3Ms обикаля в орбита на височина от 2R над планета с маса 4Мр и радиус 2R, както се вижда в тази диаграма, и искаме да знаем, ако големината на скоростта на космическата станция с маса Мs е v, тогава каква е големината на скоростта на космическата станция с маса 3Ms по отношение на v? Просто показахме, че големината на скоростта на едно орбитиращо тяло ще е равна на корен квадратен от голямо G по масата на по-голямото тяло, придърпващо по-малкото тяло, делено на разстоянието център до център между телата. И тъй като тази формула не включва масата на орбитиращото тяло, няма значение, че телата имат различни маси, но масата на планетата може да има значение. За да получим големината на скоростта на космическата станция Мs, можем да кажем, че тя е корен квадратен от голямо G по масата на планета Р върху разстоянието център до център, което няма да е радиусът на планетата или надморската височина, а ще е радиусът на планетата плюс надморската височина, тъй като това трябва да е разстоянието център до център, което в този случай ще е 3R + R, което е 4R. Сега за да получим големината на скоростта на космическата станция с маса 3Мs ще използваме същата формула, която е голямо G по масата на планетата, която в този случай е 4Мр, делено на разстоянието център до център, което в този случай ще е 2R + 2R и, отново, това е 4R, и ако ги сравним, единствената разлика между тези изрази е, че има допълнителен коефициент от 4 в този корен квадратен. Ако изнесем този коефициент, корен квадратен от 4 е 2, получаваме 2 по израза за големината на скоростта на космическата станция Мs. Космическата станция 3Мs се движи с два пъти по-голяма големина на скоростта от космическа станция Ms.