Извод от правилото на Айнщайн за събиране на скорости

Да кажем, че това съм аз и се нося в Космоса. Координатната ми система, отправната ми система – виждали сме я преди – ще я нарека s отправна система. Във всяка точка от пространство-времето ще дадем координати х и у. И, да кажем, че намесваме и приятелката ми. Включвали сме я в много други видеа преди. Тя се движи със сравнителна скорост от v спрямо мен. v, ето тук. Нейната отправна система наричаме s' отправна система и можеш да обозначиш всяко събитие в пространство-времето с координатите x' и ct'. Можеш да го направиш и като t', ако искаш, но правехме това като ct', за да имаме еднакви мерни единици. Да кажем, че сега имам и трети човек. Това ще стане интересно. Да кажем, че третият човек се движи със скорост u в моята отправна система. u е равно на промяната в х върху промяната във времето. Ако знаем цялата тази информация, да видим дали можем да формулираме начин, ако знаем каква е промяната в х и промяната във времето и знаем колко е v, дали можем да намерим каква ще е тази скорост в s' отправната система, в тази отправна система на лилавия ми приятел. Искам да намеря – нека го направя в този лилав цвят – искаме да намерим каква ще е промяната в x' върху промяната в t'. Ако намерим това, тогава знаем как ще изглежда тази скорост в s' отправната система. Нека се върнем към трансформациите на Лоренц. Нека първо помислим... Нека първо помислим каква ще е промяната в x'. Промяната в x' ще е Лоренцовият фактор по промяната в х – това е в бяло – минус бета по промяната в ct. Нека затворя тези скоби. После искаме да разделим това на промяната във времето. Искаме да разделим на промяната във времето. Промяна във времето, или трябва да кажа промяна в t'. Нека се върна към трансформацията на Лоренц. Нека я запиша така, както съм свикнал да я записвам. Свикнал съм да я записвам като промяна в ct' – което е същото нещо като с по промяната в t' – е равно на Лоренцовия фактор по – това ще е промяната в ct или мога да я запиша като с по промяната в t – минус бета по промяната в х. Отново, можех да запиша това като промяната в ct, или можех да го запиша като с по промяната в t, понеже с не се променя. Вече знаем това. Ако искахме да намерим само промяната в t', можехме просто да разделим двете страни на с. Нека направим това. Какво получаваме, ако разделим всичко това на с? Това е един вид, виждали сме го в други видеа, който може да разпознаеш и може да го видиш в някои учебници. Промяната ни в t' ще е равна на гама по – с по делта t делено на с ще е просто делта t. И после минус бета делено на с. Нека просто си припомним, че бета е равно на v/c. Бета делено на с е v/c^2. Мога да запиша това като -v/c^2 по промяната в х. Нека сега запишем промяната в t'. Това ще е равно на – имаш гама по промяната във времето в моята координатна система. Не t', а просто промяната в t минус v/c^2 по промяната в х. Тук веднага има поне едно нещо, което можем да опростим. Можем да разделим числителя и знаменателя на гама. Пак искам да променя... Можем да разделим числителя и знаменателя на гама – това малко опростява нещата. Можем да запишем това като промяната в x' върху промяната в t' е равно на – в числителя имаме промяна в x и нека просто запиша колко е бета. Бета – ще направя това тук – бета е -v/c. Нека изнеса с. Промяната в ct е същото нещо като с по промяната в t. По с делта t. v/c по с ще е просто v. Нека го запиша така. Тези се съкращават. Това е същото нещо като промяната в х минус v промяната в t. Нека го запиша така, да го опростя. Минус v по промяната в t, това е числителят. А знаменателят е промяната в t минус v/c^2 по промяната в х. Изглежда се доближаваме до края. Но нямаме промяната в х по промяната в t. Имаме колко промяна в х имаме за дадена промяна в t. Сега можем да разделим числителя и знаменателя на делта t. Можем да умножим числителя по 1 върху делта t. И знаменателя на 1 върху делта t, което е равностойно на разделяне на числителя и знаменателя на делта t. Защо правя това? Ако направя това, този пръв член тук ще е делта х върху делта t, които знаем. После имаме -v, понеже делта t делено на делта t ще е просто 1. А после в знаменателя делта t делено на делта t е просто 1. После ще имаме -v/c^2, а после по делта х делено на делта t. Това е готино. Успяхме да намерим каква е скоростта ни в координатната система "прим", в s' отправната система, по отношение на сравнителната скорост между s' отправната система и моята отправна система. Делта х по делта t, скоростта в моята отправна система. И знаем всичко останало, това е просто делта х, делта t, а това е v. Или можем дори да го запишем така. Казахме, че делта х върху делта t ще е равно на u. Това е равно на u - v върху 1 минус – делта х върху делта t е просто u. Това тук е просто u. Това е u*v или v*u, всичко това върху c^2. Това е много, много, много полезно откритие, към което в следващото видео ще приложим някои числа, за да можем да оценим колко забавно е това на определено ниво.