Доказателство: S (или ентропията) е валидна променлива на състоянието

Говорих много за следния общ принцип: за да имаме променлива на състоянието, например U, което е вътрешна енергия, във всяка точка на PV-диаграмата тази променлива на състоянието трябва да има същата стойност. Така например ако в тази точка U е равна на 5 и обиколя целия цикъл на Карно, когато се върна в състояние А, U трябва да бъде равно на 5. Не трябва да се променя. Това не зависи от пътя, по който стигнахме там. Ако имаме някакъв шантав път на нашата PV-диаграма, щом се върнем тук, U трябва да има същата стойност. Това означава променлива на състоянието. Тя зависи само от позицията на тази PV-диаграма. Зависи само от състоянието, а не как се стига там. И заради това топлината е нещо, което не можем да използваме като променлива на състоянието. Да опитам да дефинирам някаква променлива, свързана с топлината, да кажем, че я нарека топлинно съдържание и определя, че промяната в топлинното съдържание е равна на количеството топлина, добавена към системата. Ако се върнем пак при цикъла на Карно тук, да кажем, че моето топлинно съдържание тук е 10. Добавям малко топлина в този процес тук. Нищо не се случи, защото той е адиабатен от В до С. После от C до D отдавам малко топлина. Но отдавам по-малко топлина, отколкото беше добавена тук. И тогава тук нищо не се случва по отношение на топлината. Така че добавих малко топлина към системата. Сумарната топлина, която добавих към системата, докато обикалях цикъла, в този случай Q ще бъде равно на Q1 минус Q2. И ние знаем, че това число е по-голямо от това. Сумарното количество топлина, което добавихме към системата, е количеството работа, извършена върху система, защото вътрешната енергия не се промени. Ако това е 0, то тогава количеството топлина, която добавяме към системата, е равно на работата, която е извършена. Нашата вътрешна енергия е определено 0, докато минем през целия цикъл. Направихме тази защрихована част от работа – показах това преди няколко видеоклипа – че площта вътре в нашия цикъл е количеството извършена работа. И так, това също е сумарното количество топлина, добавена към системата. Така че ако добавим това количество топлина в системата, ако започнем с топлина 10 тук или каквото и да е друга стойност за мистичната променлива топлинно съдържание, която измислих, когато обикалям, тя ще стане 10 плюс W. Ако отново минем целия цикъл, това ще бъде 10 плюс 2W и 10 плюс 3W. Така че не може да бъде легитимна променлива за състоянието, защото е напълно зависима от това какво направихме, за да стигнем тук. И ако продължаваме да обикаляме цикъла, можем да я увеличим, въпреки че стигаме същата точка. Така че това не е легитимна променлива на състоянието, с която определям промяната на измисленото от мен топлинно съдържание да е равно на топлината, добавена към системата. Не е валидна променлива на състоянието. Игнорирай всичко. Сега знаем, че при Q1 добавихме повече топлина, отколкото взехме, така че има някаква добавена сумарна топлина. Но има нещо интересно тук. Добавихме я при по-висока температура. И тук отнехме по-малко топлина при по-ниска температура. Може би можем да определим друга променлива на състоянието, която може да даде резултат, когато преминем през цикъла, да стигнем обратно в същата стойност. Сега нека... ние просто експериментираме. Въпреки че знам как ще завърши този експеримент. Нямаше да го правя, ако не знаех. Нека да определя нова променлива на състоянието S. И определям промяна в S. Така че промяната в S – просто си измислям определение – е равна на топлината, добавена към системата, разделена на температурата, при която е била добавена към системата. Сега още не знам какво означава това. В бъдещи видеоклипове може би ще разбереш какво всъщност означава това. Но да видим дали поне това е валидна променлива на състоянието. Дали докато обикаляме цикъла на Карно, промяната ни в делта S ще е 0? За да имаме основателна променлива на състоянието, тук трябва да имаме някаква стойност за S, нали? Може би е 100. Не знам. Щом се върнем обратно по цикъла на Карно, тя трябва да бъде 100 отново, или нашето делта S трябва да е 0. И така, какво е делта S? Делта S, докато извървим целия цикъл – ще напиша делта S – нека да е в друг цвят. Делта S. Докато се движим, ще използвам 'c' за цикъла на Карно. Докато изминаваме цикъла на Карно, ще бъде равна на – от А до В ние бяхме при постоянна температура и добавихме Q1. Така че това е Q1 и ние бяхме при температура Т1. Добре. От В до С процесът беше адиабатен. Не сме добавяли или отнемали топлина. Така че тази стойност, Q върху T, просто ще бъде 0. Така че плюс 0. Тогава отидохме от C до D. Имахме нова температура, бяхме на нова изотерма. Бяхме при Т2. И отнехме... няма да слагам знака тук, нека просто кажа, че добавихме топлина Q2. Ще я намерим по-късно. Добавихме топлина Q2. Ще видим, че това е всъщност отрицателна стойност. И накрая, когато отидохме от D до A, процесът беше отново адиабатен. Така че няма пренос на топлина. Така че плюс 0, нали? Това е нула върху промяната в температурата, но това е само 0. Така че това нещо трябва да е равно 0, за да бъде това валидна променлива на състоянието. Така че нека разберем тази стойност. На какво е равно Q1... Промяната в мистичната кандидат-променлива S, докато вървим около цикъла на Карно, се равнява на Q1/T1 плюс Q2/T2. И ще видим, че Q2 е отрицателно. И така, на какво е равно Q1? Можем ли да изчислим Q1? Е, тъй като сме на тази горна изотерма, температурата ни не се променя, вътрешната енергия не се променя. Ако вътрешната енергия не се променя, ако тя е 0, то топлината, добавена към системата, е равна на извършената от системата работа. Така че това е площта под тази крива. Не само площта, оградена в цикъла. Това ще бъде цялата площ под кривата. На какво е равна цялата площ под кривата? Ще го покажа тук отстрани. Q1 е равно на свършената работа, когато отидохме от А до В. А работата може да бъде представена като налягането по промяната в обема. Ще направим малко сметки тук, така че ще напиша dV за малка промяна в обема. И ще интегрираме всички малки суми, нали? Това dV е тази малка промяна в обема по налягането. Това прави малък правоъгълник. И тогава събираме всички правоъгълници от началния обем, който е VA, до крайния обем, който е VB. И тогава на какво е равно Q2? Q2 ще бъде по същество същото нещо. Това ще бъде сумата на работата, извършена от нашата система, която в този случай е отрицателна, защото работата беше извършена върху системата, когато отивахме от тук до тук. При Q2 топлината беше изведена от системата. Така че ще тръгнем от... къде беше нашата начална точка? VC и отиваме във VD. Сега, как можем да решим тези интеграли? Направихме това в предишно видео. Ние използвахме две обстоятелства – когато отиваме от А до В, и отиваме от С до D – и двата прехода се случват при изотерми, нали? Така че единствените неща, които се променят, са налягането и обемът. Температурата не се променя. И така, ако се върнем към уравнението за идеален газ – PV е равно на nRТ – можем просто да преработим товар, като разделим двете страни на V, и получаваме P е равно на nRT върху V. И заместваме обратно за P и в двата случая. Това е P като функция на V. Сега имаме уравнението на кривата. И вземаме площта отдолу и в двата случая. Така Q1 е равно на интеграла от VA до VB от nRT върху V, по dv. И Q2 е равно на интеграла от VC до VD от nRT върху V, по dV. Ще реша интегралите паралелно, за да видиш че по същество решаваме едно и също нещо. Добре. Как можем да решим това? Знаем, че и в двата случая се движим по изотерма. Това означава, че температурата е постоянна. И всъщност ние знаем температурите. Когато се придвижваме от VA към VB, нашата температура е T1. Тя беше поддържана постоянна от резервоара. Когато се преместихме от VC към VD, температурата беше Т2. Тя беше поддържана от нашия резервоар, нали? Т2, когато преминем от С към D. При T1 се движим от А до В. Това бяха нашите температури. И те са постоянни. Добре. Така че можем да вземем... n е константа. R определено е константа. n е броят молекули, които имаме. И тогава температурата е също константа, така че можем да я изнесем пред интеграла. И става Q1 е равно на nRT1 над интеграла от VA до VB по 1/V по dv, а Q2 става nRT2 по интеграл от VC до VD, по 1/V по dv. Добре. Тези интеграли са лесни за решаване. Първообразната функция на 1/V е натурален логаритъм от V. Получаваме Q1 е равно на nRT1 по натурален логаритъм от V, изчислено за VB, минус стойността, изчислена за V = VA. И Q2... нека просто решим цялото това уравнение. На какво е равно това? Това е равно на натурален логаритъм от VB минус натурален логаритъм от VA. Което е същото като натурален логаритъм от VB/VA по nRT1. И всичко това е равно на Q2. Сега, същата логика, Q2 на какво ще бъде равно? Q2 ще бъде равно на nRT2. Единствената разлика с този интеграл е, че там, където имах VB, сега имам VD. Извинявам се. Така че това става натурален логаритъм от VD. И където имах VA, сега имам VC, така че върху VC. Добре. Но какъв беше първоначалният ни въпрос? Казахме, че това е валидна променлива на състоянието. Ако промяната в S, каквото и да е стойността на S, когато изминаваме цикъла, ако промяната е нула, значи тя не се променя. Така че сумата от тези две неща трябва да бъде равна на 0. Q1/T1, плюс Q2/T2. Така че нека ги съберем. Така че Q1/T1 е равно на това върху T1. Тези се съкращават. Q2/T2 е равно на това върху T2. Тези се съкращават. Промяната на нашата мистична променлива на състоянието, докато обикаляме около цикъла на Карно, е равна на Q1/T1 + Q2/Т2. Което е равно на nR по натурален логаритъм от VB/VA. Това е точно това. И после плюс Q2/T2, което е просто nR по натурален логаритъм от VD/VС... Това е VC. Това е VA тук. Добре. Сега нека видим какво можем да направим. Това е равно на... почти сме готови. На финалната права сме. nR. Можем да изнесем пред скоби nR. И след това натурален логаритъм от А плюс натурален логаритъм от B е същото нещо като натурален логаритъм от AB. Така че това е равно на натурален логаритъм от VB/VA, по VD/VC. Добре. Това е промяната ни в S, променливата на състоянието, която изследваме сега. Сега, на какво е равно това? Нека да измисля как да го кажа най-добре. Нека разделим числителя и знаменателя на VC. Ще взема този израз и ще разделя числителя и знаменателя на VC/VD. Или ще умножа числителя и знаменателя по VC/VD. Така че мога да преработя това като натурален логаритъм от VB/VA, делено на... нали? Вместо да умножа по това, мога да разделя на реципрочната му стойност, VC/VD. Просто го преработих. Това просто са сметки с обикновени дроби. Това е всичко. Вместо да умножавам по това, разделих на реципрочното му. Сега сигурно разбираш защо направих предишното видео. На какво е равно това? В предишния видеоклип показах че, VB/VA е равно на VC/VD. Направихме онова сложно доказателство. И сега, след като го доказахме, можем да го използваме, за да докажем, че това количество е равно на това количество. Ако разделим нещо на самото себе си, ще получим 1. Ако това е равно на 1, колко е натурален логаритъм от 1? Промяната в мистичната променлива на състоянието S е nR по натурален логаритъм от 1. Колко е натурален логаритъм от 1? 'е' на коя степен е равно на 1? 'е' на нулева степен е равно на 1. n по R по 0 – няма значение колко голямо или каквото и да е – това е 0. Така че е равно на 0. Получихме го. Избрали сме валидна променлива на състоянието, която има отношение към топлината. Ако определим промяната в S да е равна на топлината, добавена към системата, делено на температурата, при която топлината е добавена към системата – това е валидна променлива на състоянието. Не ни е много ясно какво означава това на микрониво. Но все пак намерихме някаква връзка. някакво свойство на нещо. Ако S тук е 10 и се движим тук, нашата промяна в S ще бъде 0, защото S отново е 10. Ако кажем, че тук S е 15 и ние се движим около някакъв луд цикъл и се върнем обратно тук, промяната в S ще бъде отново 0. Извинявам се, ще бъде отново 15. Така че нямаме... промяната в S е 0, стойността му отново е 15. Така че S е валидна променлива на състоянието, но все още не можем добре да си представим какво представлява. Ще оставим това за бъдещо видео.