Доказателноство: обемни отношения в цикъл на Карно

В това видео искам да докажа нещо много просто. И това е отношението на обемите, нека го запиша – отношението на обемите при състояние В и състояние А – отношението на този обем и този обем цикъла на Карно е равно на отношението на обемите при състояния С и D. Това е този обем и този обем. Обемите при С и D. Това смятам да докажа. Доста лесно нещо, което, ако погледнем тук, изглежда очевидно. Ако ти е достатъчно просто да знаеш това, можеш да не гледаш докрая. Но ако ти е любопитно, те насърчавам да гледаш видеото, въпреки че ще има доста математика. Но аз мисля, че ще е забавно, дори и да е достатъно просто да знаем, че това е вярно. Освен това ние ще можем да се задълбочим в адиабатните процеси. За да започнем, цялото доказателство се върти около тази стъпка тук и тази стъпка тук, когато преминаваме от D към А. По дефиниция при един адиабатен процес няма пренос на топлина. Преносът на топлина при един адиабатен процес е 0. Ако се върнем към първоначалното определение – ще го покажа тук. В тази стъпка и в тази стъпка няма пренос на топлина. Да се върнем там. Адиабатен означава напълно изолиран от околния свят. Няма към или от какво да се пренася топлина. И ако се върнем към нашето определение или първия закон на термодинамиката, знаем, че промяната във вътрешната енергия е равна на топлината, приложена към системата, минус работата, извършена от системата. И работата, извършена от системата, е равна на налягането в системата по промяната в обема. Това може би е много малка промяна в обема, тъй като налягането е константа. Но ако процесът е квазистатичен, можем да запишем това. Можем да разглеждаме налягането като константа за тази малка промяна в обема. Ето това имаме тук. И понеже е адиабатен процес, знаем, че това е 0. А щом е 0, можем да добавим Р∆V към двете страни на равенството, и получаваме това, което е вярно само за адиабатен процес – че ∆U, промяната във вътрешната енергия, плюс налягането по промяната в обема, е равно на 0. Да видим какво можем да направим с това равенство, за да получим търсения резултат. Преди няколко видеа доказах, че U, вътрешната енергия във всеки един момент... нека да го запиша. Вътрешната енергия във всеки момент от времето е равна на 3/2 по nRT. Което е равно на 3/2 PV. Ако има промяна във вътрешната енергия, какво може да се промени от тази страна? Нещо трябва да се е променило. Не мога да променя 3/2, нито n. Броят на молекулите не се променя. Универсалната газова константа не се променя. Значи трябва да се промени температурата. ∆U може да се представи като – ще използвам друг цвят. ∆U може да се представи като 3/2 nR по промяната в температурата. Ето защо все казвам, особено когато имаме тази ситуация тук, в която вътрешната енергия е по същество кинетична енергия, че без промяна в температурата няма промяна във вътрешната енергия. Както и ако няма промяна във вътрешната енергия, няма да има промяна в температурата. Затова ще го заместя обратно тук. Да видим какво можем да направим с това Р тук. Да се върнем към уравнението за идеалния газ. Понеже имаме идеален газ, можем... PV е равно на nRT. Това трябва да е запечатано в ума ти в този момент. Ако искаме да намерим Р, имаме Р е равно на nRT/V. Добре. Нека да заместим във формулата. Така че ∆U е равно на това. Това означава, че 3/2 nR∆T плюс Р, Р е ето това, плюс nRT/V по ∆V е равно на 0 Интересно. Какво още можем да направим тук? Ще ти кажа какво искам да получа. Това ми показва промяната във вътрешната енергия за много малко ∆Т, а това е работата, извършена от системата за много малко ∆V. И ние казваме, че за всяка малка стъпчица, техният сбор е нула. Затова ще се върна на първоначалната графика. Това тук е върху много малко ∆V. Ще го направя с по-ярък цвят. Много малка промяна от тук, да кажем до тук. Имаме някаква промяна на обема. Тук не виждаме температурата. Така че не се и опитвай да си представиш, когато правим интеграла, че трябва да го разглеждаме като площ. Но ние също ще интегрираме по отношение на промяната в температурата. Температурата се променя малко от тук до тук. Така че искам... това тук е за малка промяна. Аз искам да интегрирам за всички промени, които се случват по време на адиабатния процес. Да видим можем ли да опростим това, преди да се захванем с математическия анализ. Ако разделим двете страни на nRT, какво получаваме? Нека да разделим на nRT. Разделяме и двете страни. Тук се съкращават n, тук се съкращават R. Това nRT се съкращава с това nRT. И какво остава? Остава ни 3/2, остава 1 върху Т, по ∆Т, плюс 1 върху V по ∆V е равно на – нула, делено на нещо, е просто 0. Сега ще интегрираме за наистина много малки ∆T и ∆V. Нека да използвам терминология от математическия анализ. Ще намерим безкрайна сума на безкрайно малки промени в ∆Т и ∆V. Затова ще преработя това като 3/2 по 1/Т по dT плюс 1/V по dV е равно на 0. Спомни си, че това просто означава много, много малки промени в обема. Това е много, много малка промяна, нищожно малка промяна в температурата. И сега искам да намеря общата промяна на температурата. Искам да интегрирам по общата промяна на температурата и общата промяна в обема. Да го направим. Искам да тръгна от началната температура до крайната температура. А това започва от началния обем до крайния обем. Добре. Да решим тези интеграли. Тези първообразни функции ни показват много в термодинамиката. Първообразната функция на 1/Т е натурален логаритъм от Т. Така че това е равно на 3/2 по натурален логаритъм от Т. Ще го изчислим при крайната температура, а после при началната температура, плюс натурален логаритъм първообразната функция на 1/V е натурален логаритъм от V, плюс натурален логаритъм от V, изчислен от нашия краен обем, и ще го извадим от началния обем. Това е просто математически анализ. И това ще бъде равно на 0. Нали? Нищожно малката промяна е равна на сбора, е равна на 0, сумата на всички нищожни промени също ще бъде равна на 0. Така че това е равно на 0. Какво можем да направим тук? Можем да преработим зелената част като... това е 3/2 по натурален логаритъм от TF (крайна) минус натурален логаритъм от TS (начална). Като използваме свойствата на логаритмите, получаваме натурален логаритъм от TF върху натурален логаритъм от TS. Нали? Когато го изчислим, получаваме натурален логаритъм от TF минус натурален логаритъм от TS. Това е същото като това. По същата логика, натурален логаритъм от VF (крайно) върху натурален логаритъм от VS (начално). Когато го пресметнем, натурален логаритъм от VF минус натурален логаритъм от VS може да се опрости до това само от свойствата на логаритмите. И това е равно на 0. И сега... този коефициент е отпред, можем да използваме свойствата на логаритмите. Вместо 3/2 натурален логаритъм от това, можем да преработим това като натурален логаритъм от TF/TS на степен 3/2. Продължаваме със свойствата на логаритмите. Имаме логаритъм от нещо плюс логаритъм от нещо. Това е равно на логаритъм от тяхното произведение. Това е равно на... ще сменя цветовете – нат. логаритъм от TF/TS на степен 3/2, по нат. логаритъм от VF/VS. Това е изтощително доказателство. Добре. И всичко това е равно на нула. Какво можем да кажем? Казваме, че 'е' на степен 0 – натуралният логаритъм има основа 'е' – 'е' на степен 0 е равно на това нещо. Значи това трябва да е равно на 1. 'е' на нулева степен е 1. Така че можем да кажем – почти сме готови, това TF, крайната температура, върху началната температура, на степен 3/2, по нашия краен обем върху началния обем, е равно на 1. Сега да вземем този резултат, който получихме толкова трудно. Спомни си, че всичко това е за адиабатен процес, и започнахме от определението за вътрешна енергия. Заместваме с PV = nRT във формулите. Въпреки че това е вид PV, това е вътрешната енергия във всяка точка, която е равна на 3/2 PV. Интегрираме всички промени и казваме, че това е адиабатен процес. Че общата промяна – сумата от всички промени във вътрешната енергия и работата, извършена от системата – трябва да е нула, и след това използваме свойствата на логаритмите, за да получим този резултат. Сега да направим това за тези два адиабатни процеси тук. Първо за този процес, в който отиваме от обем В при Т1 до обем С при Т2. Виж отново видеото за цикъла на Карно, ако не си го спомняш. Това е VB. Всичко тук е при температура Т1. Всичко тук долу е при температура 2. Тук горе температурата е Т1, а тук долу, при състояние С, е Т2. Да погледнем това. Отдясно, този процес, имаме крайна температура Т2. Нека го запиша. Температура 2. Началната температура е Т1, където стартираме от точка В на степен 3/2. Какъв е крайният ни обем? Крайният ни обем е обемът в С, разделен на обема в В. И това е равно на 1. Супер. Това е резултатът за този адиабатен процес. Получихме тази формула за този адиабатен процес, направихме много сметки и накрая просто заместихме началните и крайни обеми и температури. Нека го направим по същия начин, само че от D до А. Когато отиваме от D до А, каква е крайната температура? Да не те зашеметя с това местене нагоре. Крайната температура, когато отиваме от D до А. Крайната температура е Т1, а крайният обем е обемът в А. Да се върнем надолу. Крайната температура е Т1. Началната температура е Т2. Придвижваме се от D до А, на степен 3/2, по – да видя формулата тук. Крайният обем е обемът в състояние А. Ето къде отиваме. И тръгваме от обема в D. И това е равно на 1. Добре. Почти сме готови. Започва да се прояснява. Но е интересно. Ако не друго, това е малко забавна математика за разсънване сутрин. Да видим. Почти можем да свържем тези две неща. Можем да ги направим равни едно на друго, но това още не е достатъчно. Да вземем реципрочните на двете страни на това равенство. Очевидно е, че това е просто... това Т2/Т1 на степен -3/2 е равно на Т1/Т2 на степен 3/2. Нали? Това е реципрочното. И повдигаме двете страни на степен -1, така че повдигаме това на -1. VB върху VC. Реципрочното на 1 е просто 1, така че е равно на 1. Това е равно и на това, така че може да кажеш, че това е равно на това тук. Равно е на Т1/Т2 на степен 3/2 по VA/VD. Сега, това е равно на това. Можем да се отървем от 1. Нека да изтрия част от това. Не искам да казва "не е равно на". Те са равни едно на друго, и двете са равни на 1. Значи са равни едно на друго. Това нещо и това нещо са едно и също. Т1/Т2 на степен 3/2, Т1/Т2 на степен 3/2. Нека да разделим двете страни на това. Тези се съкращават. И какво ни остава? Мисля, че се вижда финалната права. Близо е. Имаме VB/VC = VA/VD. Това обаче не е точно каквото търсехме, трябва ни малко аритметика. Нека да умножим на кръст. Получаваме VB по VD е равно на VC по VA. Нека разделим двете страни на VBVC... или да го направим по друг начин. Да разделим двете страни на VDVA. Какво получаваме? Тези се съкращават. и оставаме с VB/VA = VC/VD. Всичко това е хубав резултат, по-добре от някоя дълга чудовищна формула. Това трябваше да докажем. Че VB/VA = VC/VD. И го доказахме, изхождайки от факта, че имаме адиабатен процес, в който промяната на топлината е 0. После взехме формулата за вътрешната енергия, първи закон на термодинамиката – че всяка промяна на вътрешната енергия е равна на количеството работа, извършена от системата. Или отрицателната стойност на работата, извършена от системата. Като ги съберем, получаваме 0. След това използвах резултата отпреди няколко видеа, че във всеки момент вътрешната енергия е 3/2 nRT. Така че промяната във вътрешната енергия е това по ∆T, защото само тя се променя. Използвахме PV = nRT. И после просто интегрирахме малките промени в температурата и обема, докато се движехме по правата. Докато се движехме по правата, намерихме интеграла. Казахме, че това трябва да е 0. Получихме тази формула тук, която после просто приложихме за двата адиабатни процеса. Отидохме от В до С и от D до А. И получихме тези резултати. И пристигнахме на финала. Ще се видим в следващото видео.