PV диаграми и работа при разширение

В последното видео видяхме, че една система може да извършва работа чрез разширяване. И имахме ситуация, в която таванът беше подвижен. Имахме бутало и подобно на предишното видео имахме куп камъчета. Премахнахме камъче, така че налягането в нашата система, ако предположим, че е достатъчно малка, така че налягането да е постоянно, системата изтласка нагоре буталото с известна сила. Разбрахме, че тази сила, тъй като налягането е сила върху площ, просто умножихме налягането по площта на буталото, и получихме силата, която прилагаме. Ние прилагаме това, а след това го умножаваме по разстоянието, на което изтласкваме буталото, и след това получаваме количеството работа, което системата извършва чрез разширяване. Ние казахме, че можем да преработим това. Ако вземем налягането по площта, по разстоянието, можем да напишем това като налягане по площ по разстояние. А площта по разстоянието е промяната в обема. И така получихме една хубава формула, че работата, извършена от дадена система, може да се напише като налягането по промяната в обема. И написах формулата за вътрешната енергия, където това е свършената работа от системата. Сложих минус, нали? Защото когато вършиш работа, даваш енергия навън на някой друг. Затова в тази ситуация използвахме минус. И вместо да пишем работа, можем да кажем минус налягането по промяната в обема. И не забравяй, че това е квазистатичен процес. И ние правим много малки стъпки. Предполагаме, че тази промяна в обема е много малка, и налягането е приблизително постоянно, докато правим това. Но това не е точно така, нали? Ако това е голяма промяна в обема или ако това се случи изведнъж, ако това са големи камъчета, тогава налягането ще се промени, докато се разширяваме. Трудно е да се каже колко е налягането по промяната в обема. Но ако приемем, че нещата наистина стават с много, много малки стъпки, можем да кажем, че налягането е постоянно по време на това малко увеличение, после можем да го умножим по промяната в обема. Сега да опитаме да свържем това с направеното преди при PV-диаграмата. Досега използвах PV-диаграма, единствено за да обясня разликите в квазистатичните процеси или да кажа кога макросъстоянията са дефинирани. Но нека сега да направя нещо по-полезно с нея. И това ще ти даде представа защо хората, които изучават термодинамика, обичат тези толкова много. Нека моят съд е тук, с всички камъчета върху него. И ние сме в състояние на равновесие. Мога да опиша всички макросъстояния, налягането, обема и температурата. И мога да опиша вътрешната енергия. Ще го нарисувам тук. Нека сме в това състояние. Това е състояние 1. Състояние 1 е точно тук. И започвам да премахвам камъчетата. Спомни си, че ако махна камъчетата наведнъж, системата ще изпадне в хаос. Това няма да е квазистатичен процес, или обратим процес, което невинаги е едно и също нещо. Но за нашите цели ние няма да сме в равновесие цялото време. И ще трябва да чакаме, за да стигнем до равновесие. И в един момент ще имаме някакви налягане и обем, това е тук долу. Това е, ако не го направим като квазистатичен процес. Сега, както показах в последното видео, се опитваме да сме най-близо до квазистатичен процес, защото го правим с малки стъпки, с малки камъчета. И ако не са достатъчно малки за теб, можеш да използваш още по-малки. Така че ние се движим постепенно. В последния видеоклип може би се преместихме тук. Премахнахме едно камъче и се оказахме точно тук. Премахваш друго камъче и отиваш тук. Премахваш друго камъче и отиваш тук. И ползата от тези квазстатични процеси е, че имаме пътя от едно състояние към друго. И когато остане само едно от камъчетата, просто ще знаеш какъв е изминатият път. Да приемем, че сме в състояние 2 и премахнахме всички освен едно камъче. Нека да нарисувам това. Състояние 2 ще изглежда нещо като това. Ще го нарисувам много бързо. Това е нашият съд. Това е нашето бутало. Имаме само едно камъче останало горе. И разбира се, имаме нашия газ. Нека да напиша това. Това е състояние 2. И нека да напиша, че състояние 1 беше нещо такова. При състояние 1 таванът беше по-нисък. Имахме куп камъчета отгоре. И имахме по-малък обем, и газът се блъскаше в тавана, в стените и дъното много повече. Ще направя същия брой. Така че имахме по-голямо налягане. Налягането беше по-голямо, а обемът беше по-малък. Сега в състояние 2... тук имаме високо налягане. Налягането е тази ос. Това е обемът. Имахме голямо налягане и малък обем. И стигаме дотук, след като махаме всички камъчета, освен едно. И го правим бавно, така че винаги да сме в равновесие. Така че имаме пътя. Това е след премахването на всички камъчетата, като обемът и налягането през цялото време са ясно дефинирани. Но в състояние 2 сега имаме ниско налягане и голям обем. Обемът е голям, защото през цялото време изтласквахме буталото нагоре – бавно, опитвайки се да запазим равновесие, така че макросъстоянията да са определени. Налягането е по-ниско, защото имаме същия брой частици, но те се удрят в стените по-рядко, защото имат повече място да се движат. И това е логично. Така че това описва пътя на нашата система при прехода, по време на този квазистатичен процес. Всичко беше определено във всяка точка. И казваме, че свършената работа от системата във всяка точка е налягането по промяната в обема. Каква е връзката тук? Промяната в обема е някакво разстояние по оста х. Мога да я наричам оста на обема. Това е промяна в обема. Започнахме с този обем и когато премахнахме едно камъче, достигнахме до този обем. Сега искаме да умножим това по налягането. Тъй като го направихме с такава малка стъпка, ние сме близо до равновесие и можем да предположим, че налягането е приблизително постоянно в този период от време. Можем да кажем, че това е налягането в този период от време. И така свършената работа е това налягане по обема, който е площта на този правоъгълник тук. И всеки, който е гледал клиповете по математически анализ, това трябва да му е познато. Какво става, когато вземем следващото камъче? Налягането е малко по-ниско. Това е новото налягане. Налягането е малко по-ниско. И умножаваме това по новата промяна в обема, и имаме това увеличение на работата. Още веднъж, това е площта на този правоъгълник. И ако продължиш да правиш това, работата, която извършваме, е площта на всички тези правоъгълници, докато премахваме камъчетата. И сега може да кажеш, особено ако не си гледал/а видеоклиповете за математически анализ, че площта на тези правоъгълници е близка, но не е точно площта на тази крива. Това е малко неточно. Тук има малка грешка. И аз бих отговорил, че ако се притесняваш за това, трябва да използваш още по-малки стъпки за обема. И ако искаш да имаш по-малки промени в обема на всяка стъпка, тогава трябва да премахнеш дори по-малки камъчета. И се връщаме отново към опита да стигнем до този идеален квазистатичен процес. Ако го направиш, делта V ще става все по- малко и по-малко, а правоъгълниците ще стават все по-тънки. Трябва да го направиш с повече стъпки. Но в крайна сметка ще стигнеш до целта, ако приемаш наистина малки промени в делта V. В света на висшата математика тези безкрайно малки промени се записват като dV. Ако намериш сбора на всички налягания по dV, ще получиш площта под тази крива. Начинът да разсъждаваш, когато гледаш тази PV-диаграма е, че отиваш от тази точка, от това налягане и този обем, до това налягане и обем. И когато те попитат каква работа е извършена, казваш: Просто трябва да намеря площта под тази крива. Ако искаш да видиш истинската математика зад това, ако можеш да изразиш налягането като функция на обема... ако не познаваш клиповете в математически анализ, можеш да игнорираш това, което ще направя тук. Това е тази крива точно тук. Ако можеш да го напишеш по този начин, да кажем, че можеш да представиш налягането като функция на обема. От алгебрата знаеш, че тази крива е y е функция на х. Но тук y е налягането, а х е обем, така че налягането е функция на обема. Така че площта под тази крива е интеграл от налягането като функция на обема, това е височината в произволен момент, по нашата малка промяна в обема. Така че по нашата много малка промяна в обема. И изваждаш сумата от началния обем, така че имаме промяна от начален до окончателен обем. И ние ще правим това в бъдеще, особено когато започнем да разглеждаме ентропията. Но това е хубав резултат. Дори ако не познаваш мат. анализ, или ако това те обърква, ако не знаеш нищо за интеграли, можеш да го игнорираш. Но можеш да потърсиш логиката и да разглеждаш работата като площта под тази крива. Сега, нека те попитам още нещо. Да кажем, че има някаква работа, извършена върху системата. Започваме да добавяме камъчета например. Така че, да кажем... нека идваме от тази посока. Нека започваме от състояние 2 и отиваме в тази посока. Посоката има значение. Да кажем, че отиваме в тази посока точно там. Трябва да сложа стрелки. Претрупах тази схема толкова много. Просто ще направя нова схема, така е най-добре. Това е налягане, обем... всъщност ще направя две. Нека просто да направя налягане, обем. Ще направя две схеми. Добре. Имаме налягане, обем, налягане, обем. Започнахме тук в 1 и отидохме тук до 2. Нашата система по същество изтласкваше буталото. И това може да бъде крива или права, няма да навлизам в подробности точно сега, но се движим в тази посока. И можем да кажем, че извършената работа е налягането по увеличението на обема във всеки един момент. Така че свършената работа е площта под тази крива. Сега, ако тръгнем от позиция 2 и отидем до позиция 1. От 2 до 1. Какво става? Сега имаме свиване. Ако се движим в тази посока, може да кажем, че може би работата, извършена от системата, все още е площта под кривата. И това е доста близко. Защото какво става сега? Сега свиваме системата, като прибавяме камъчетата обратно. Ние влагаме енергия в системата. Не забравяй, че работата, извършена от системата, беше налягане по увеличението в обема. Сега ще бъде налягане по намаление в обема. Така че когато се връщаш в тази посока, площта не е работата, извършена от системата, а е работата, извършена върху системата. Може би ще направя това в различен цвят, в зелено е работата, извършена върху системата. Нека сега да представя друга интересна идея. И това всъщност е ключова идея. Хубаво е да схванеш логиката. Отново ще направя една много проста PV-диаграма. Да предположим, че започваме от някакво състояние тук. Състояние 1. И аз правя нещо, знаеш, че имаме квазистатичен процес, и това води до нещо странно, и аз стигам до състояние 2. И се движим в тази посока. Така че обемът се увеличава. В тази ситуация каква е работата, извършена от системата? Лесно е, това е площта под тази крива. Сега да кажем, че продължавам нашия квазистатичен процес, но той поема различен път. Правя нещо различно от това да добавям камъчета обратно. Така че новият ми път обратно към състояние 1 е нещо такова. Така че тези стрелки са връщане назад. Така че сега каква е работата върху системата? Обемът намалява, така че това е площта под втората крива. Площта под втората крива е работата, извършена върху системата. Ако искам да знам каква е сумарната работа, която системата извършва от състояние 1 до състояние 2 и след това обратно в състояние 1 – спомни си, това е диаграма налягане – обем, нали? Работата, извършена от системата, беше цялата област под тази кафява крива. И после имаме работа върху системата, което е площта под тази цикламена крива. Сумарната работа, която извършва системата, е бялото, цялата площ, минус тази червена зона. Сумарната работа, която извърши, ще бъде само в този отрез. И се надявам, че не е нужно да познаваш висшата математика, макар че ще ти трябва, за да изчислиш тези площи. Но аз просто искам да ти дам логиката, че областта вътре в този затворен контур е всъщност количеството работа, извършена от системата. И това, което е важно, е посоката, в която върви. Имаме увеличение в обема, после намаление в обема, като движение по часовниковата стрелка. Това е работата, която нашата система е извършила, което за мен е красиво и много интересно нещо. И по-късно можем да използваме тази концепция, за да разгледаме други идеи зад нашите променливи. Ще покажа нещо тук отстрани. Спомни си, че с нашите променливи налягане и обем направихме неща, които ги върнаха обратно в това състояние. Те останаха същите. И искам да кажа още нещо. За нашите цели, когато се занимаваме с идеални газове, където вътрешната енергия по същество е кинетичната енергия на системата, ако направим всякакви луди неща и после се върнем обратно, вътрешната енергия няма да се е променила. Вътрешната енергия винаги ще е същата в тази точка. Така че, ако направя всичко това и се върна тук, каква ще е промяната във вътрешната енергия? Тя е 0. Промяната е 0. Сега, ако отида от тук до тук, аз ще имам различна вътрешна енергия и промяната ще е нещо реално. Но това е функция на състоянието и тя не се интересува как сме стигнали дотук. Ако взема всички тези участъци и се върна тук, това просто казва, че ако съм в тази точка на PV-диаграмата, вътрешната енергия е същата. Ако започна в тази точка и завършва отново в нея, няма да имам промяна във вътрешната енергия. Ще говорим повече за това в следващия видеоклип. Сега ще спра тук, след като ти показах логиката за областите под кривите в PV-диаграмата.