Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 7

Урок 2: Импулс, въртящ момент и момент на импулса

Въртящ момент

Научи се да намираш въртящ момент на сила

Какво е въртящ момент?

Въртящ момент е мярка на сила, която може да накара обект да се върти около ос. Както силата е това, което кара обект да се ускорява постъпателно, въртящият момент е това, което дава на обект ъглово ускорение.

Въртящият момент е векторна величина. Посоката на въртящия момент зависи от посоката на силата върху оста.

Всеки, който някога е отварял врата, има интуитивно разбиране за въртящ момент. Когато човек отваря врата, той натиска тази част на вратата, която е най-далече от пантите. Ако натиска от страната, която е най-близо до пантите, ще му е необходима много повече сила. Въпреки че извършената работа е еднаква и в двата случая (по-голямата сила се прилага за по-късо разстояние), хората често предпочитат да прилагат по-малко сила, откъдето идва обичайното място за поставяне на брава на врата.

Въртящият момент може да бъде статичен или динамичен.

Статичен въртящ момент е такъв, който не води до поява на ъглово ускорение. Някой, който натиска затворена врата, прилага статичен въртящ момент върху вратата, защото вратата не се завърта около пантите си, въпреки приложената сила. Да въртиш педалите на велосипед с постоянна скорост също е прилагане на статичен въртящ момент, защото те не се ускоряват.

Задвижващият вал на състезателна кола, ускоряваща се от стартовата линия, пренася динамичен въртящ момент, защото трябва да произвежда ъглово ускорение на колелетата, предвид, че колата се ускорява по пистата.

Използваната терминология при описанието на въртящ момент може да бъде объркваща. Инженерите и физиците понякога използват термина момент на сила или само момент като синоним на въртящ момент. Радиусът, при който силата действа (разстоянието от приложната точка до оста), се нарича рамо.

Как се пресмята въртящ момент?

Големината на вектора на въртящия момент

τ

, генериран от дадена сила

F

, е:

τ = F \cdot r \sin (θ)

където

r

е дължината на рамото, а

θ

е ъгълът между вектора на силата и рамото. В случая с вратата, показан на Фигура 1, силата е под прав ъгъл (90

^{\circ}

) спрямо рамото, така че синусовият множител става 1 и

τ = F \cdot r

Посоката на въртящия момент се намира по правилото за свитите пръсти на дясната ръка. Ако ръката е свита около оста по посока на въртенето около оста с четирите пръста, сочещи в посока на силата, тогава векторът на въртящия момент сочи по посока на палеца, както е показано на Фигура 2.

Посоката на вектора на въртящия момент съдържа две парченца информация, които описват въртящия момент.

Равнината, в която обектът се (или би могъл да се) върти. Това не е произволно.
Посоката на въртене (по часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка). Това може по принцип да се дефинира различно, в зависимост от местоположението на наблюдателя.

Един начин за определяне на равнина в тримерното пространство е чрез вектор, перпендикулярен на равнината, както е показано на Фигура 3. Това се нарича определяне на равнина от точка и нормален вектор. Векторът на въртящия момент е нормалният вектор към равнината на въртене.

Използваме правилото на дясната ръка (а не правилото на лявата ръка), защото преди време учените са се споразумели за това. Днес тази конвенция се използва навсякъде във физиката. Това ни позволява да използваме векторната механика в задачи като тези, които включват момент на импулса.

Как се измерва въртящ момент?

Мерната единица по системата SI за въртящ момент е нютон-метър

Най-често използваната имперска мерна единица за въртящ момент е фут-фунт. Това е объркващо, защото разговорно фунтът понякога се използва като единица за маса и понякога като единица за сила. Тук се има предвид сила – гравитационната сила от Земята върху обект с маса 1 фунт.

1 Nm ≃ 1, 74 ft \cdot lbs

Измерването на статичен въртящ момент на невъртяща се система обикновено е доста лесно и се прави като се измерва сила. При дадено рамо въртящият момент може да се намери директно. Измерването на въртящ момент върху въртяща се система е значително по-трудно. Един от методите за това е чрез измерване на опъна в метала на задвижващ вал, който пренася въртящ момент и изпраща тази информация безжично.

Каква е ролята на въртящия момент в кинематиката на въртеливи движения?

В кинематиката на въртеливи движения въртящият момент има ролята на сила в линейната кинематика. Има пряк еквивалент на втория закон на Нютон. (

F = m a

τ = I α

Тук

α

е ъгловото ускорение.

I

е инерционният момент, свойство на въртящите се системи, което зависи от разпределението на масата на системата. Колкото по-голямо е

I

, толкова по-трудно е обектът да придобие ъглово ускорение. Ние извеждаме тази формула в статията ни за инерционен момент.

Какво е ротационно равновесие?

Концепцията за ротационно равновесие е еквивалентна на първия закон на Нютон за ротационна система. Обект, който не се върти, остава невъртящ се, докато върху него не бъде приложен външен въртящ момент. Аналогично, обект, въртящ се с постоянна ъглова скорост, продължава да се върти със същата ъглова скорост, докато върху него не бъде приложен външен въртящ момент.

Концепцията за ротационно равновесие е особено полезна в задачи, които включват няколко сили, действащи върху въртящ се обект. В този случай важният е сумарният въртящ момент. Ако сумарният въртящ момент върху обект е нула, тогава той ще бъде в ротационно равновесие и няма да придобие ъглово ускорение.

Упражнение 1:

Да разгледаме колелото, показано на Фигура 3, върху което действат две сили. Каква трябва да бъде големината на сила

F_{2}

, за да бъде колелото в ротационно равновесие?

Решение:

Ще започнем с намирането на въртящия момент

τ_{1}

, дължащ се на

F_{1}

\begin{aligned} τ_{1} & = F r \sin (θ) \\ = (5 N) \cdot (0,075 m) \sin (135^{\circ}) \\ ≃ + 0,265 Nm \end{aligned}

Забележи, че тук дефинираме положителен въртящ момент в посока извън страницата. Знаем, че в ротационно равновесие

τ_{1} + τ_{2} = 0

така че

τ_{2} = - F_{2} \cdot 0, 1 m \cdot \sin (90^{\circ})

и следователно

F_{2} ≃ 2, 65 N

Как е свързан въртящият момент с мощността и енергията?

Има сериозно объркване на въртящ момент, мощност и енергия. Например въртящият момент на двигател често неправилно бива описван като „въртяща мощност“.

Въртящият момент и енергията имат една и съща размерност (т.е. могат да бъдат записани с еднакви мерни единици), но не са мерки за едно и също нещо. Разликата между тях е, че въртящият момент е векторна величина, дефинирана само за въртелива система.

Мощността обаче може да бъде пресметната от въртящия момент, ако е известна скоростта на въртене. Всъщност конските сили на двигател обикновено не се измерват директно, а се пресмятат от измерения въртящ момент и скоростта на въртене. Връзката е:

\begin{aligned} P & = \frac{С и л а \cdot Р а з с т о я н и е}{В р е м е} \\ = \frac{F \cdot 2 π r}{t} \\ = 2 π τ ω (ω в о б о р о т и / с е к) \\ = τ ω (ω в р а д и а н и / с е к) \end{aligned}

Освен конските сили, пиковият въртящ момент, произвеждан от двигателя на автомобила, е важна и често цитирана характеристика. Практически погледнато, от пиковия въртящ момент зависи колко бързо превозното средство може да ускорява и какъв товар може да носи. Конските сили (отнесени към теглото), от друга страна, са по-важни за максималната скорост, която превозното средство може да развие.

Важно е да се отбележи, че въпреки, че максималният въртящ момент и конските сили са важни общи характеристики, обикновено не са достатъчни, когато трябва да се правят пресмятания за цялостното движение на превозното средство. Това е така, защото на практика те и двете са функции на скоростта на въртене. Общата връзка може да бъде нелинейна и е различна за различните видове двигатели, както е показано на Фигура 4.

При парните двигатели и електромоторите скоростта на превръщане на енергия от първичния източник (пара, електричество) е доста независима от скоростта на въртене. При двигателите с вътрешно горене налягането при нагнетяване и температурата се увеличават с увеличаването на скоростта на въртене. Оптимална комбинация на тези променливи се постига при определена скорост на въртене, което води до наблюдавания пик в наличения въртящ момент.

Как можем да увеличим или да намалим въртящия момент?

Често е необходимо въртящият момент на двигателя да бъде увеличен или намален за конкретни цели. Спомни си, че дължината на един лост може да увеличи или намали силата, упражнявана върху обекта, за сметка на разстоянието до точката, в която се прилага натиск върху лоста. Аналогично, въртящият момент, произведен от двигател, може да бъде увеличен или намален, като се използва зъбно предаване. Увеличаването на въртящия момент върви ръка за ръка с намаляване на скоростта на въртене. Зацепването на зъбите на двете зъбни колела може да бъде разглеждано като взаимодействие на два лоста, както е показано на фигура 5.

Използването на регулируеми зъбни колела е необходимо за постигането на добра функционалност при двигатели с вътрешно и външно горене. Тези двигатели произвеждат максимален въртящ момент само за тесен интервал от високи скорости на въртене. Регулируемото зъбно предаване позволява достатъчен въртящ момент да бъде предаван на колелетата, независимо от скоростта на въртене на двигателя.

На велосипедите са необходими зъбни предавки, тъй като за човек е трудно да върти педалите с темпото, нужно за постигане на разумна скорост, когато колелото няма зъбни предавки (освен ако не кара пени-фартинг).

Старомодният велосипед пени-фартинг има голямо предно колело (до 1,5 метра в диаметър), карано директно от колоездача. Тъй като големината на тангенциалната скорост на периферията нараства с нарастването на радиуса, не са необходими зъбни предавки за развиване на скорост от 15-25 km/h.

Регулируеми предавки обикновено не са необходими при превозни средства, задвижвани от парни или електрически двигатели. И в двата случая голям въртящ момент е постижим при ниски скорости и е сравнително постоянен при широк набор от скорости на въртене.

Упражнение 2а:

Бензинов двигател, който произвежда

150 Nm

въртящ момент при скорост на въртене

300 rad / s

, се използва за повдигане на тежест с лебедка, както е показано на фигура 6. Барабанът на лебедката има радиус 0,25 m и се задвижва от двигателя чрез предавка с предавателно отношение 1:50. Колко голяма маса може да бъде издигната с този механизъм? (Приеми, че лебедката е в ротационно равновесие, т.е. тялото се движи нагоре с постоянна скорост).

Решение:

Ако лебедката е в ротационно равновесие, знаем, че въртящият момент, произведен от лебедката, трябва да е равен на противоположния въртящ момент, произведен от силата на тежестта. Ако $R$ ‍ е предавателното отношение и $τ_{m}$ ‍ е въртящият момент, произведен от двигателя, тогава въртящият момент на лебедката е:

$τ_{w} = \frac{τ_{m}}{R}$ ‍,

което можем да запишем като сила при радиус широчината на барабана $r$ ‍:

$F = \frac{τ_{m}}{R r}$ ‍.

Така че масата, която бива издигана, е

$\begin{aligned} m & = \frac{τ_{m}}{R r g} \\ = \frac{150 Nm}{\frac{1}{50} \cdot 0, 25 m \cdot 9, 81 m / s^{2}} \\ ≃ 3060 kg \end{aligned}$ ‍

Упражнение 2б:

С каква скорост ще се движи тежестта нагоре?

Решение:

Тъй като знаем, че увеличението във въртящия момент чрез предавката води до пропорционално намаляване в скоростта на въртене, скоростта на въртене на барабана на лебедката трябва да е:

$ω_{w} = ω_{m} R$ ‍

Скоростта на най-външната част на барабана на лебедката е равна на тази на издигания обект, така че

$\begin{aligned} v & = r ω_{w} \\ = r ω_{m} R \\ = 0, 25 m \cdot 300 rad / s \cdot \frac{1}{50} \\ ≃ 1, 5 m / s \end{aligned}$ ‍

Източници на данни

Велосипедист: Hansen, E.A, Smith G. Factors affecting cadence choice during submaximal cycling and cadence influence on performance. International Journal of Sports Physiology and Performance. March 2009; 4(1):3-17.

Дизелов двигател: Мерцедес 250 CDI

Бензинов двигател: Мерцедес E250

Електромотор: Тесла Модел S 85

Парен локомотив: Локомотив 2-8-0 "Consolidation" при 70% капацитет на котела

Велосипед пени-фартинг : Wikimedia Commons

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.