Намиране на въртящ момент на сили под ъгъл

Не знам за теб, но мен задачите с въртящ момент ме тревожеха. Мисля, че беше понеже не разбирах много добре какво означава въртящ момент и как да го намеря. В това видео искам да ти покажа как да намериш въртящия момент. Има концептуални начини и трикове за намирането му и искам да ги споделя с теб, така че да не се тревожим, когато решаваме задача с въртящ момент. По-специално задачите, които ме тревожеха най-много, бяха задачите, в които силата беше под странен ъгъл, така че нека се заемем с това. Нека открием как да намерим въртящия момент от, да кажем, тази сила от 10 нютона, приложена под този ъгъл от 30 градуса. Едно от първите неща, които искаш да направиш, когато намираш въртящия момент, е да идентифицираш оста. Оста е точката, около която обектът ще се върти. Да кажем, че са ни казали, че в тази задача обектът, какъвто и да е той, се върти около центъра. Тук центърът на обекта ще е оста. Може би това е дъска с пирон в нея или може би това е изглед от птичи поглед на една от тези модерни въртящи се стъклени врати в хубавите ресторанти и хотели. Но както и да е, да кажем, че оста беше в самия център и е много важно да знаем това, понеже ако една сила ще приложи въртящ момент, той трябва да бъде приложен в някаква точка извън оста. С други думи, ако опиташ да отвориш въртящата се стъклена врата, като я бутнеш в самия център, нищо няма да се случи, понеже тя няма да се върти. Но колкото по-надалеч приложиш тази сила, толкова повече въртящ момент ще получиш за количеството сила, което прилагаш. Една сила тук ще приложи много повече въртящ момент, отколкото една сила ето тук. Ето затова дръжките на вратите са близо до ръба на вратата. Ще е много трудно да отвориш една врата близо до пантите. Ако не знаеш това, пробвай се. Много е трудно. Сега, когато определихме оста, можем да намерим колко въртящ момент прилагаме. Първото нещо, което може да опитам, за да намеря въртящия момент тук, е просто да кажа: "Добре, знам какво е въртящ момент. Въртящият момент е F по d, или F по r." Можеш да наречеш това r. Но важно е да знаем, че това r представлява векторът, който сочи от оста към точката, където бива приложена силата. В този случай това ще представлява от тази ос тук до точката, където силата бива прилагана. Това ще е r. Забележи, че не е задължително r да е целият радиус и той не е цялата дължина на обекта. Винаги от оста до точката, където силата е приложена и технически това r е вектор. Можеш да мислиш за него като за вектор на позицията, но така или иначе той сочи от оста до точката, в която е приложена силата. Не сочи в другата посока. Посоката не е към оста, посоката винаги е навън от оста към тази точка, в която силата бива приложена към обекта. Нека дадем някакво число на това. Да кажем, че има 2 метра от тази ос до точката, където биват прилагани тези 10 нютона. Сега можем да намерим този въртящ момент, но трябва да внимаваш. Една грешка, която можеше да направя, е да кажа: "Силата беше 10 нютона, r тук е 2 метра, така че въртящият ми момент трябва да е просто 20. 2 по 10, нали така?" Но това не е вярно, понеже тази сила не е задължително да представлява цялата сила. Ако просто запишеш формулата за въртящия момент така, всъщност имаш предвид, че тази сила е силата, перпендикулярна на това r. Само перпендикулярната компонента на тази сила ще приложи въртящ момент върху вратата. Компонентата, успоредна на r, не прилага въртящ момент и това трябва да ти се вижда логично. Ако начертая това – нека начертая компонентите. Ако разделя тези 10 нютона на компонента, която отива насам, ще нарека това F успоредна, понеже тази сила е успоредна на r. Тя се движи в същата посока, в която се движи r. Ще я разделя и на тази компонента, тази перпендикулярна компонента, и ще нарека това F перпендикулярна, понеже тази компонента е перпендикулярна на този r вектор. Само тази перпендикулярна компонента ще приложи въртящия момент и това трябва да ти се вижда логично. Въртящият момент е сила, която кара нещо да започне да се върти или да промени въртенето си. Единствената компонента на тази сила, на тези 10 нютона, която ще накара тази врата да се върти, е тази перпендикулярна компонента. Това е начинът да бутнеш една врата, за да я накараш да се върти. Не дърпаш оста насам. Ако опитам да отворя тази стъклена врата като я бутам насам, ще си помислиш, че съм луд, понеже това няма да накара вратата да се върти. Подобно, ако опиташ да дръпнеш вратата насам, това няма да я накара да се върти. Трябва да приложиш сила, перпендикулярна на този r вектор, за да накараш вратата да се върти. С други думи, само перпендикулярните компоненти на тази сила, тоест перпендикулярни на r, ще приложат въртящ момент. Тоест само тази компонента на 10-те нютона ще допринесе за въртящия момент, и можем да намерим това. Ако това беше 30 градуса, това е връхен ъгъл. Това означава, че този също е 30 градуса. Според геометрията, тези ъгли са еднакви. Това означава, че компонентата, която е перпендикулярна, мога да запиша като – това е отсрещната страна. Тази страна е противоположна на тези 30 градуса, така че мога да кажа, че това ще е 10 нютона, хипотенузата ще е 10 нютона по синус от 30. И 10 нютона по синус от 30 градуса е 5 нютона. Накрая мога да кажа, че въртящият момент на тази врата от тази сила от 10 нютона при 30 градуса ще е перпендикулярната компонента, която е 5 нютона, по разстоянието от оста, на което тази сила е била приложена, и това бяха 2 метра, и получавам, че въртящият момент ще е 10 нютон метра. В този момент няма да те обвиня, ако си кажеш, че заради това мразиш въртящия момент – защото трябва да помниш, че това 2 метра е от оста до точката, в която е приложена силата. И трябва да помниш, че трябва да използваш само перпендикулярната компонента, и трябва да помниш, че "перпендикулярна" означава перпендикулярна на този r вектор. Може да се чудиш дали има по-лесен начин да направиш това. Има ли формула, която прави така, че да не е нужно да помним толкова неща, когато опитваме да решим тези задачи? Има такава. След като компонентата на силата винаги е компонентата, която е перпендикулярна на r, можем да вземем това предвид, когато записваме формулата. С други думи, начинът да намериш тази перпендикулярна компонента е да вземеш големината на общата сила, 10-те нютона, и да умножиш по синуса на ъгъла между вектора r и вектора F. Това направихме, за да получим 5 нютона. Така че защо да не запишем тази формула изрично по отношение на общата сила по синус от тита? Това ще е перпендикулярната компонента. И после да умножим по r. Това представлява това тук, това F по синус от тита е F перпендикулярна, а после умножаваш по r, както винаги правим. В повечето учебници ще го видиш записано така. Харесва им да поставят синус от тита в края. Изглежда малко по-подредено. Ако запишем F по r по синус от тита, сега просто можем да въведем целите 10 нютона за силата, целите 2 метра за r и това тита ще е ъгълът между силата и вектора r, но това е много важно. Ако ще използваш тази формула, вместо тази формула, трябва да помниш, че този ъгъл тук е винаги ъгълът между вектора на силата и вектора r, който е векторът от оста до точката, в която бива приложена силата. Който в този случай беше 30 градуса. Понякога не е очевидно. Как намираш ъгъла между F и r? Първо определяш посоката на F и посоката на r. Най-безопасният начин да намериш това ще е да си представиш, че взимаш този вектор F и просто го преместваш така, че опашката му да е при опашката на вектора r. И после ще искаш да намериш какъв е ъгълът между това F и това r. Отново са връхни ъгли, това прави този ъгъл 30. Това е ъгълът. Ъгълът между F вектора и r вектора е ъгълът, който търсим, когато търсим въртящия момент, приложен от определена сила. Нека използваме тази формула. Нека взема тази формула, ще използваме това, за да решим друг пример, понеже единственият начин да задобреем в това и да не се страхуваме от него, е да се упражняваме. Нека вземем новата си формула, въртящият момент е Fr синус от тита. И да кажем, че има сила, приложена ето тук. И да кажем, че ти дават тези разстояния тук и искаме да намерим колко въртящ момент прилага тази сила от 20 нютона, ако е под този ъгъл от 60 градуса. Използваме формулата си. Това F е цялото F. Сега не трябва да разделяме F на компоненти. Можем просто да кажем, че то е целите 20 нютона сила. Цялата големина на силата по r, но имаме всичко това. Тук имаме 3 различни r. Кое от тях използваме? Помни, r е дефинирано като разстоянието от оста, която отново ще е средата, до точката, в която е била приложена силата. Това е насам, тоест големината на r е 1. Не е 3, не е 4. Ако ти дават много числа, трябва да внимаваш. Трябва да избереш този вектор, който преминава от оста до точката, в която силата бива приложена, тоест това е големината на този вектор, който е 1 метър. И после това ще е синус от ъгъла между вектора на силата и вектора r. Нека помислим за това. Силата отива насам, надолу и надясно. r отива наляво. Реалният ъгъл между r и F – ще трябва да си представим, че преместваме F, така че да са опашка до опашка, и после можем да кажем, че F отива надолу и надясно. r отива наляво. Ъгълът между тях ще е ето толкова. Сега можем да намерим това по няколко различни начина. Едно нещо, което можем да направим, е да си представим, че тук правим един правоъгълен триъгълник. Ако това е 60 градуса, а това е 90 градуса, тогава това трябва да е 30 градуса, след като вътрешните ъгли на един триъгълник трябва да дават сбор от 180. И ако това е 30, а това е 90, тогава този ъгъл трябва да е 120. Можем да поставим 120 градуса като реалния ъгъл между вектора на силата и вектора r. Ако не успя да разбереш, причината да кажем 120 е понеже 90 плюс 30 е 120. Ако ъгълът между r и F е 90 градуса плюс 30 градуса, тогава ще е 120 градуса. Ето затова поставяме 120 тук като ъгъла между r и F, но може би се разтревожи. Може би си казваш: "Това беше много работа. Не искам да трябва да правя това. Просто искам да взема моя вектор F и да определя какъв е ъгълът между F и r. Трябва ли да си представя, че го премествам?" Не е нужно, така че не е толкова трудно. Да, технически, опашка до опашка е начинът да определим ъгъла между два вектора, но връх до връх ти дава същия ъгъл. Можех да погледна този ъгъл тук. Знаех, че това беше 60 и знаех, че 180 минус 60 ми дава 120, така че това е друг начин да намериш ъгъла, който поставяш тук. С други думи, не е нужно да си представяш, че местиш този вектор опашка до опашка. Ако векторите са връх до връх, ако имаш F вектор и r вектор глава до глава, просто намираш ъгъла между F вектора и r вектора по този начин. Това все още ти дава същия ъгъл, който е 120 градуса. Може да се чудиш: "Ами ако напълно се прецакам? Ако вместо да въведа 120, просто въведа 60? Имам предвид, този ъгъл ни беше даден. Какво ще се случи тогава?" Оказва се, че пак ще получиш правилния отговор. В това отношение формулата за въртящия момент е добра, понеже дори ако въведа 60, синус от 60 е същото нещо като синус от 120. Това не е съвпадение. Това е понеже този ъгъл тук, тези 120 градуса между F и r, е допълващ на тези 60 градуса. Помисли си. Целият ъгъл от тази точка чак дотук е 180 градуса. Ако това е 120, това 60 градуса ще трябва да е допълващият ъгъл, понеже тези трябва да дават сбор от 180. А синусът на допълващите се ъгли ти дава същия отговор. Тоест ако въведа 60 градуса тук, това все още ще върши работа. Накратко, въпреки че дефинирахме ъгъла между векторите като ъгъла между тях, когато са опашка до опашка, ако ги поставиш връх до връх, това пак ще ти даде същия ъгъл като опашка до опашка и след като взимаме синус от този ъгъл, можем да използваме всеки от тези допълващи ъгли, за да получим същия отговор. Просто постави F вектора до r вектора и намери който и да е от тези ъгли. Можеш да използваш това в тази формула за въртящия момент и ще получиш правилния отговор. Да обобщим, можеш да намериш въртящия момент от дадена сила като вземеш перпендикулярната компонента на тази сила и я умножиш по големината на вектора r, като този вектор r е векторът, който сочи от оста до точката, в която силата е приложена. И под перпендикулярна имаме предвид перпендикулярна на този r вектор. Или можеш да използваш тази формула, при която F ще представлява цялата големина на силата. r ще е големината на вектора r, а тита тук представлява ъгълът между силата и вектора r, когато те са връх до връх или когато са опашка до опашка, или понеже синусите на допълващи се ъгли са равни, можеш също да вземеш допълващия ъгъл на този ъгъл между F и r.