If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Какви са компонентите на вектора на скоростта?

Научи се да опростяваш вектори, като ги разделяш на части.

Защо разлагаме векторите на компоненти?

Двумерното движение е по-сложно от едномерното движение, тъй като скоростите могат да са насочени диагонално. Например една бейзболна топка може да се движи едновременно и хоризонтално, и вертикално, като се движи с диагонална скорост v. Разлагаме вектора на скоростта v на бейзболната топка на две компоненти: хоризонтална vx и вертикална vy, за да си опростим сметките.
Да се справим и с хоризонталната, и с вертикалната компонента в едно единствено уравнение е трудно; по-добре е да подходим на принципа „разделяй и владей“.
Разлагането на диагоналната скорост v на хоризонтална vx и вертикална vy компонента ни позволява да се справим с тях поотделно. По същество ще можем да превърнем една трудна двумерна задача в две по-лесни едномерни задачи. Номерът с разлагането на вектори на компоненти работи, разбира се, и за вектори, различни от скорост, като например сили, импулси, електрично поле. Всъщност ще използваш този трик постоянно във физиката, така че е важно да овладееш боравенето с компоненти на вектори колкото е възможно по-скоро.

Как разлагаме вектор на компоненти?

Преди да говорим за разлагане на вектори на компоненти, трябва да отбележим, че благодарение на тригонометрията можем да свържем дължините на страни на триъгълник – хипотенуза, срещулежащ катет, прилежащ катет – и един от ъглите θ, както е показано по-долу.
sinθ=срещулежащхипотенуза
cosθ=прилежащхипотенуза
tgθ=срещулежащприлежащ
Когато разложим някаква диагонална скорост на две перпендикулярни компоненти, целият вектор и компонентите му – v,vy,vx – образуват правоъгълен триъгълник. Поради това можем да приложим същите тригонометрични правила, както е показано по-долу. Обърни внимание, че vx се третира като прилежащ катет, vy като срещулежащ, а v като хипотенузата.
sinθ=vyv
cosθ=vxv
tgθ=vyvx
Обърни внимание, че v-тата в тези формули се отнасят за големините на целия вектор на скоростта и следователно никога не могат да бъдат отрицателни. Отделните компоненти vx и vy могат да бъдат отрицателни, ако сочат в отрицателна посока. Общоприетата практика е, че за хоризонталното направление x отрицателната посока е наляво, а за вертикалното направление y отрицателната посока е надолу.

Как определяш големината и ъгъла на целия вектор?

В предишната част видяхме как от големина на вектор и ъгъл можем да намерим вертикална и хоризонтална компонента. Но ако започнем с някакви дадени компоненти vy и vx на скоростта? Как можеш да използваш компонентите, за да намериш големината v и ъгъла θ на целия вектор на скоростта?
Намирането на големината на вектора на скоростта не е особено трудно, тъй като за всеки правоъгълен триъгълник важи питагоровата теорема.
v2=vx2+vy2
Като вземем корен квадратен, получаваме големината на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.
v=vx2+vy2
Също така, ако знаем двете компоненти, можем да намерим ъгъла на вектора, като използваме tanθ.
tgθ=vyvx
Като вземем аркустангенс, получаваме ъгъла на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.
θ=tg1(vyvx)

Какво е объркващото при векторните компоненти?

Когато използваме θ=tg1(vyvx), фактът, че слагаме vy отгоре като срещулежащ катет и vx отдолу като прилежащ катет, означава, че измерваме ъгъла от хоризонталната ос. Изглежда, че може да се затрудним как да начертаем ъгъла, но ето два добри съвета:
Като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако хоризонталната компонента vx е положителна, векторът сочи надясно. Ако хоризонталната компонента vx е отрицателна, векторът сочи наляво.
Отново, като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако вертикалната компонента vy е положителна, векторът сочи нагоре. Ако вертикалната компонента vy е отрицателна, векторът сочи надолу.
Например ако компонентите на вектор са vx=12 m/s и vy=10 m/s, векторът трябва да сочи наляво, защото vx е отрицателно, и нагоре, защото vy е положително.
Проверка на концепциите: Ако скоростта на хартиено самолетче има компоненти vx=7 m/s и vy=5 m/s, в коя посока се движи самолетчето – като предположим, че сме избрали надясно и нагоре за положителните посоки?
Избери един отговор:

Как изглеждат решени примери, които включват компоненти на вектори?

Пример 1: Фалцирай като Бекъм

Топка за футбол е ритната нагоре и надясно под ъгъл 30 със скорост с големина 24,3 m/s, както е показано по-долу.
Каква е вертикалната компонента на скоростта в изобразения момент?
Каква е хоризонталната компонента на скоростта в изобразения момент?
За да намерим вертикалната компонента на скоростта, ще използваме sinθ=срещулежащхипотенуза=vyv. Хипотенузата е големината на вектора на скоростта 24,3 m/s, v, и е срещулежащият за ъгъла от 30 катет vy.
sinθ=vyv(Използваме дефиницията за синус.)
vy=vsinθ(Изразяваме вертикалната компонента.)
vy=(24,3 m/s)sin(30)(Заместваме със стойностите.)
vy=12,2 m/s(Изчисляваме и отпразнуваме!)
За да намерим хоризонталната компонента, ще използваме cosθ=прилежащхипотенуза=vxv.
cosθ=vxv(Използваме дефиницията за косинус.)
vx=vcosθ(Изразяваме хоризонталната компонента.)
vx=(24,3 m/s)cos(30)(Заместваме със стойностите.)
vx=21,0 m/s(Изчисляваме и отпразнуваме!)

Пример 2: Гневна чайка

Гневна чайка лети над Сиатъл с хоризонтална компонента на скоростта vx=14,6 m/s и вертикална компонента на скоростта vy=8,62 m/s.
Каква е големината на вектора на скоростта на чайката?
Какъв е ъгълът на скоростта?
Приеми посоките надясно и нагоре за положителни и че всички ъгли ще бъдат измервани обратно на часовниковата стрелка от положителната посока на оста x.
Ще използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на вектора на скоростта.
v2=vx2+vy2(питагоровата теорема.)
v=vx2+vy2(Взимаме корен квадратен на двете страни.)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(Заместваме.)
v=17,0 m/s(Изчисляваме и отпразнуваме!)
За да намерим ъгъла, ще използваме дефиницията за тангенс, но тъй като вече знаем v, можеше да използваме и синус или косинус.
tgθ=vyvx(Използваме дефиницията за тангенс.)
θ=tg1(vyvx)(Аркустангенс от двете страни.)
θ=tg1(8,62 m/s14,6 m/s)(Заместваме с големините.)
θ=30,6(Изчисляваме и отпразнуваме!)
Тъй като вертикалната компонента е vy=8,62 m/s, знаем, че векторът е насочен надолу и понеже vx=14,6 m/s, знаем, че векторът е насочен надясно. Така че ще начертаем вектора в четвърти квадрант.
Чайката се движи с 17,0 m/s под ъгъл 30,6 под хоризонтала.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.