Какви са компонентите на вектора на скоростта?

Двумерното движение е по-сложно от едномерното движение, тъй като скоростите могат да са насочени диагонално. Например една бейзболна топка може да се движи едновременно и хоризонтално, и вертикално, като се движи с диагонална скорост $v$v. Разлагаме вектора на скоростта $v$v на бейзболната топка на две компоненти: хоризонтална $v_x$v, start subscript, x, end subscript и вертикална $v_y$v, start subscript, y, end subscript, за да си опростим сметките.

Да се справим и с хоризонталната, и с вертикалната компонента в едно единствено уравнение е трудно; по-добре е да подходим на принципа „разделяй и владей“.

Разлагането на диагоналната скорост $v$v на хоризонтална $v_x$v, start subscript, x, end subscript и вертикална $v_y$v, start subscript, y, end subscript компонента ни позволява да се справим с тях поотделно. По същество ще можем да превърнем една трудна двумерна задача в две по-лесни едномерни задачи. Номерът с разлагането на вектори на компоненти работи, разбира се, и за вектори, различни от скорост, като например сили, импулси, електрично поле. Всъщност ще използваш този трик постоянно във физиката, така че е важно да овладееш боравенето с компоненти на вектори колкото е възможно по-скоро.

Преди да говорим за разлагане на вектори на компоненти, трябва да отбележим, че благодарение на тригонометрията можем да свържем дължините на страни на триъгълник – хипотенуза, срещулежащ катет, прилежащ катет – и един от ъглите $\theta$theta, както е показано по-долу.

Когато разложим някаква диагонална скорост на две перпендикулярни компоненти, целият вектор и компонентите му – $v,v_y,v_x$v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript – образуват правоъгълен триъгълник. Поради това можем да приложим същите тригонометрични правила, както е показано по-долу. Обърни внимание, че $v_x$v, start subscript, x, end subscript се третира като прилежащ катет, $v_y$v, start subscript, y, end subscript като срещулежащ, а $v$v като хипотенузата.

Обърни внимание, че $v$v-тата в тези формули се отнасят за големините на целия вектор на скоростта и следователно никога не могат да бъдат отрицателни. Отделните компоненти $v_x$v, start subscript, x, end subscript и $v_y$v, start subscript, y, end subscript могат да бъдат отрицателни, ако сочат в отрицателна посока. Общоприетата практика е, че за хоризонталното направление $x$x отрицателната посока е наляво, а за вертикалното направление $y$y отрицателната посока е надолу.

В предишната част видяхме как от големина на вектор и ъгъл можем да намерим вертикална и хоризонтална компонента. Но ако започнем с някакви дадени компоненти $v_y$v, start subscript, y, end subscript и $v_x$v, start subscript, x, end subscript на скоростта? Как можеш да използваш компонентите, за да намериш големината $v$v и ъгъла $\theta$theta на целия вектор на скоростта?

Намирането на големината на вектора на скоростта не е особено трудно, тъй като за всеки правоъгълен триъгълник важи питагоровата теорема.

Като вземем корен квадратен, получаваме големината на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.

Също така, ако знаем двете компоненти, можем да намерим ъгъла на вектора, като използваме $\text{tan}\theta$start text, t, a, n, end text, theta.

Като вземем аркустангенс, получаваме ъгъла на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.

Когато използваме $\theta=\operatorname{tg}^{-1}(\dfrac{{v_y}}{{v_x}})$theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, фактът, че слагаме $v_y$v, start subscript, y, end subscript отгоре като срещулежащ катет и $v_x$v, start subscript, x, end subscript отдолу като прилежащ катет, означава, че измерваме ъгъла от хоризонталната ос. Изглежда, че може да се затрудним как да начертаем ъгъла, но ето два добри съвета:

Като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако хоризонталната компонента $v_x$v, start subscript, x, end subscript е положителна, векторът сочи надясно. Ако хоризонталната компонента $v_x$v, start subscript, x, end subscript е отрицателна, векторът сочи наляво.

Отново, като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако вертикалната компонента $v_y$v, start subscript, y, end subscript е положителна, векторът сочи нагоре. Ако вертикалната компонента $v_y$v, start subscript, y, end subscript е отрицателна, векторът сочи надолу.

Например ако компонентите на вектор са $v_x=-12 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text и $v_y=10 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, векторът трябва да сочи наляво, защото $v_x$v, start subscript, x, end subscript е отрицателно, и нагоре, защото $v_y$v, start subscript, y, end subscript е положително.

Топка за футбол е ритната нагоре и надясно под ъгъл 30$^\circ$degrees със скорост с големина 24,3 m/s, както е показано по-долу.

За да намерим вертикалната компонента на скоростта, ще използваме $sin\theta=\dfrac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}}=\dfrac{v_y}{v}$s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. Хипотенузата е големината на вектора на скоростта 24,3 m/s, $v$v, и е срещулежащият за ъгъла от 30$^\circ$degrees катет $v_y$v, start subscript, y, end subscript.

За да намерим хоризонталната компонента, ще използваме $\cos\theta=\dfrac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}}=\dfrac{v_x}{v}$cosine, theta, equals, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.

Гневна чайка лети над Сиатъл с хоризонтална компонента на скоростта $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text и вертикална компонента на скоростта $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text.

Ще използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на вектора на скоростта.

За да намерим ъгъла, ще използваме дефиницията за $\text{тангенс}$start text, т, а, н, г, е, н, с, end text, но тъй като вече знаем $v$v, можеше да използваме и $\text{синус}$start text, с, и, н, у, с, end text или $\text{косинус}$start text, к, о, с, и, н, у, с, end text.

Тъй като вертикалната компонента е $v_y=-8{,}62 \text{ m/s}$v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, знаем, че векторът е насочен надолу и понеже $v_x=14{,}6 \text{ m/s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, знаем, че векторът е насочен надясно. Така че ще начертаем вектора в четвърти квадрант.

Чайката се движи с $17{,}0 \text{ m/s}$17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text под ъгъл $30{,}6^\circ$30, comma, 6, degrees под хоризонтала.