If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Библиотека по физика

Курс: Библиотека по физика > Раздел 2

Урок 1: Движение на изстреляно тяло в две измерения

Какви са компонентите на вектора на скоростта?

Научи се да опростяваш вектори, като ги разделяш на части.

Защо разлагаме векторите на компоненти?

Двумерното движение е по-сложно от едномерното движение, тъй като скоростите могат да са насочени диагонално. Например една бейзболна топка може да се движи едновременно и хоризонтално, и вертикално, като се движи с диагонална скорост v. Разлагаме вектора на скоростта v на бейзболната топка на две компоненти: хоризонтална v, start subscript, x, end subscript и вертикална v, start subscript, y, end subscript, за да си опростим сметките.
Да се справим и с хоризонталната, и с вертикалната компонента в едно единствено уравнение е трудно; по-добре е да подходим на принципа „разделяй и владей“.
Разлагането на диагоналната скорост v на хоризонтална v, start subscript, x, end subscript и вертикална v, start subscript, y, end subscript компонента ни позволява да се справим с тях поотделно. По същество ще можем да превърнем една трудна двумерна задача в две по-лесни едномерни задачи. Номерът с разлагането на вектори на компоненти работи, разбира се, и за вектори, различни от скорост, като например сили, импулси, електрично поле. Всъщност ще използваш този трик постоянно във физиката, така че е важно да овладееш боравенето с компоненти на вектори колкото е възможно по-скоро.

Как разлагаме вектор на компоненти?

Преди да говорим за разлагане на вектори на компоненти, трябва да отбележим, че благодарение на тригонометрията можем да свържем дължините на страни на триъгълник – хипотенуза, срещулежащ катет, прилежащ катет – и един от ъглите theta, както е показано по-долу.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, end text, end color #e84d39, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, end text, end color #6495ed, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction
t, g, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, end text, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, end text, end color #6495ed, end fraction
Когато разложим някаква диагонална скорост на две перпендикулярни компоненти, целият вектор и компонентите му – v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript – образуват правоъгълен триъгълник. Поради това можем да приложим същите тригонометрични правила, както е показано по-долу. Обърни внимание, че v, start subscript, x, end subscript се третира като прилежащ катет, v, start subscript, y, end subscript като срещулежащ, а v като хипотенузата.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, v, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, divided by, v, end fraction
t, g, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Обърни внимание, че v-тата в тези формули се отнасят за големините на целия вектор на скоростта и следователно никога не могат да бъдат отрицателни. Отделните компоненти v, start subscript, x, end subscript и v, start subscript, y, end subscript могат да бъдат отрицателни, ако сочат в отрицателна посока. Общоприетата практика е, че за хоризонталното направление x отрицателната посока е наляво, а за вертикалното направление y отрицателната посока е надолу.

Как определяш големината и ъгъла на целия вектор?

В предишната част видяхме как от големина на вектор и ъгъл можем да намерим вертикална и хоризонтална компонента. Но ако започнем с някакви дадени компоненти v, start subscript, y, end subscript и v, start subscript, x, end subscript на скоростта? Как можеш да използваш компонентите, за да намериш големината v и ъгъла theta на целия вектор на скоростта?
Намирането на големината на вектора на скоростта не е особено трудно, тъй като за всеки правоъгълен триъгълник важи питагоровата теорема.
v, squared, equals, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared
Като вземем корен квадратен, получаваме големината на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.
v, equals, square root of, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared, end square root

Също така, ако знаем двете компоненти, можем да намерим ъгъла на вектора, като използваме start text, t, a, n, end text, theta.
t, g, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Като вземем аркустангенс, получаваме ъгъла на вектора на скоростта по отношение на компонентите му.
start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction, right parenthesis

Какво е объркващото при векторните компоненти?

Когато използваме theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, фактът, че слагаме v, start subscript, y, end subscript отгоре като срещулежащ катет и v, start subscript, x, end subscript отдолу като прилежащ катет, означава, че измерваме ъгъла от хоризонталната ос. Изглежда, че може да се затрудним как да начертаем ъгъла, но ето два добри съвета:
Като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако хоризонталната компонента v, start subscript, x, end subscript е положителна, векторът сочи надясно. Ако хоризонталната компонента v, start subscript, x, end subscript е отрицателна, векторът сочи наляво.
Отново, като приемем, че сме избрали надясно и нагоре за положителни посоки, ако вертикалната компонента v, start subscript, y, end subscript е положителна, векторът сочи нагоре. Ако вертикалната компонента v, start subscript, y, end subscript е отрицателна, векторът сочи надолу.
Например ако компонентите на вектор са v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text и v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text, векторът трябва да сочи наляво, защото v, start subscript, x, end subscript е отрицателно, и нагоре, защото v, start subscript, y, end subscript е положително.
Проверка на концепциите: Ако скоростта на хартиено самолетче има компоненти v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 7, start text, space, m, slash, s, end text и v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 5, start text, space, m, slash, s, end text, в коя посока се движи самолетчето – като предположим, че сме избрали надясно и нагоре за положителните посоки?
Избери един отговор:

Как изглеждат решени примери, които включват компоненти на вектори?

Пример 1: Фалцирай като Бекъм

Топка за футбол е ритната нагоре и надясно под ъгъл 30degrees със скорост с големина 24,3 m/s, както е показано по-долу.
Каква е вертикалната компонента на скоростта в изобразения момент?
Каква е хоризонталната компонента на скоростта в изобразения момент?
За да намерим вертикалната компонента на скоростта, ще използваме s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, с, р, е, щ, у, л, е, ж, а, щ, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction. Хипотенузата е големината на вектора на скоростта 24,3 m/s, v, и е срещулежащият за ъгъла от 30degrees катет v, start subscript, y, end subscript.
sine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, д, е, ф, и, н, и, ц, и, я, т, а, space, з, а, space, с, и, н, у, с, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, v, sine, theta, start text, left parenthesis, И, з, р, а, з, я, в, а, м, е, space, в, е, р, т, и, к, а, л, н, а, т, а, space, к, о, м, п, о, н, е, н, т, а, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, left parenthesis, 24, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, ъ, с, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, т, е, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text
За да намерим хоризонталната компонента, ще използваме cosine, theta, equals, start fraction, start text, п, р, и, л, е, ж, а, щ, end text, divided by, start text, х, и, п, о, т, е, н, у, з, а, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction.
cosine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, д, е, ф, и, н, и, ц, и, я, т, а, space, з, а, space, к, о, с, и, н, у, с, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, v, cosine, theta, start text, left parenthesis, И, з, р, а, з, я, в, а, м, е, space, х, о, р, и, з, о, н, т, а, л, н, а, т, а, space, к, о, м, п, о, н, е, н, т, а, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, left parenthesis, 24, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, ъ, с, space, с, т, о, й, н, о, с, т, и, т, е, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, 21, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text

Пример 2: Гневна чайка

Гневна чайка лети над Сиатъл с хоризонтална компонента на скоростта v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text и вертикална компонента на скоростта v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text.
Каква е големината на вектора на скоростта на чайката?
Какъв е ъгълът на скоростта?
Приеми посоките надясно и нагоре за положителни и че всички ъгли ще бъдат измервани обратно на часовниковата стрелка от положителната посока на оста x.
Ще използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на вектора на скоростта.
v, squared, equals, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, start text, left parenthesis, п, и, т, а, г, о, р, о, в, а, т, а, space, т, е, о, р, е, м, а, point, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, end square root, start text, left parenthesis, В, з, и, м, а, м, е, space, к, о, р, е, н, space, к, в, а, д, р, а, т, е, н, space, н, а, space, д, в, е, т, е, space, с, т, р, а, н, и, point, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, left parenthesis, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, end square root, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, point, right parenthesis, end text
v, equals, 17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text
За да намерим ъгъла, ще използваме дефиницията за start text, т, а, н, г, е, н, с, end text, но тъй като вече знаем v, можеше да използваме и start text, с, и, н, у, с, end text или start text, к, о, с, и, н, у, с, end text.
t, g, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, И, з, п, о, л, з, в, а, м, е, space, д, е, ф, и, н, и, ц, и, я, т, а, space, з, а, space, т, а, н, г, е, н, с, point, right parenthesis, end text
theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, А, р, к, у, с, т, а, н, г, е, н, с, space, о, т, space, д, в, е, т, е, space, с, т, р, а, н, и, point, right parenthesis, end text
theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, З, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, г, о, л, е, м, и, н, и, т, е, point, right parenthesis, end text
theta, equals, 30, comma, 6, degrees, start text, left parenthesis, И, з, ч, и, с, л, я, в, а, м, е, space, и, space, о, т, п, р, а, з, н, у, в, а, м, е, !, right parenthesis, end text
Тъй като вертикалната компонента е v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, знаем, че векторът е насочен надолу и понеже v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, знаем, че векторът е насочен надясно. Така че ще начертаем вектора в четвърти квадрант.
Чайката се движи с 17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text под ъгъл 30, comma, 6, degrees под хоризонтала.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.