If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 2

Урок 1: Движение на изстреляно тяло в две измерения

Какво е движение на изстреляно тяло в две измерения (направления)?

Научи повече за начина, по който нещата летят във въздуха.

Какво е двумерно свободно падане?

В изблик на фруктозна ярост решаваш да хвърлиш зелен лимон под ъгъл във въздуха. Той описва траектория като показаната с пунктирана линия на диаграмата по-долу. Лимонът е свободно падащо тяло, което се движи в двумерна равнина, под действието единствено на гравитацията.
Тъй като силата на гравитацията дърпа надолу, гравитацията ще се отразява само на вертикалната компонента vy на скоростта на лимона. Хоризонталната компонента vx на скоростта няма да бъде засегната и ще бъде постоянна.
Опитай да приплъзваш точката на диаграмата по-долу, за да видиш, че вертикалната компонента vy се променя, но хоризонталната vx остава постоянна.
Проверка на концепциите: Каква е стойността на вертикалната компонента на скоростта в момента, когато лимонът е на максимална височина?

Как разглеждаме математически свободното падане като двумерно движение?

Най-лесно е да разглеждаме движението във всяка от посоките поотделно. С други думи, ще използваме една система уравнения, за да описваме хоризонталното движение на лимона (т.е. движението на хоризонталната компонента на скоростта му) и друга система уравнения за вертикалното му движение. Това превръща една трудна двумерна задача в две по-прости едномерни задачи. Можем да правим това, защото промяната във вертикалната скорост не променя хоризонталната скорост. Аналогично, ако хвърлим лимона с голяма хоризонтална скорост, няма да променим вертикалното му ускорение. С други думи, ако изстреляш куршум хоризонтално и пуснеш друг куршум в същия момент, те ще достигнат земята в един и същи момент.

Хоризонтална посока:

Няма ускорение в хоризонтална посока, защото гравитацията не избутва свободно падащ обект настрани, а само надолу. Съпротивлението на въздуха би причинило хоризонтално съпротивление, забавяйки хоризонталното движение, но тъй като ще разглеждаме само случаи, в които съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко, можем да допуснем, че хоризонталната скорост е постоянна за свободно падащи обекти.
Така че за движението в хоризонтална посока можем да използваме следното уравнение
Забележка: Не забравяй в уравнението за движение по абсцисата "x" (в хоризонтална посока) да включваш само величините, отнасящи се за хоризонталата. Ако знаем две от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим третата.

Вертикална посока:

Двумерно движещите се свободно падащи обекти изпитват постоянно ускорение надолу заради гравитацията ay=9,8ms2. Тъй като вертикалното ускорение е постоянно, можем да намерим вертикална променлива с някоя от четирите кинематични формули, които са дадени по-долу.
1.vy=v0y+ayt
2.Δy=(vy+v0y2)t
3.Δy=v0yt+12ayt2
4.vy2=v0y2+2ayΔy
Забележка: Не забравяй тук да включваш само величините, отнасящи се за . Ако знаем три от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим някоя от останалите.
Забележка: За даден процес интервалът време t има същата стойност както в уравненията по вертикалата, така и в уравненията по хоризонталата. Това означава, че ако намерим времето t, можем да заместим с получената стойност във всяко от двете уравнения. Това се използва в много задачи. Често човек трябва да намери времето t, като използва уравненията по вертикалата, и след това да замести с тази стойност в уравненията по хоризонталата (или обратното).

Какво е объркващото при двумерното свободно падане?

Много често хората се опитват да заместват с вертикални компоненти в уравненията за хоризонтални компоненти или обратното. Независимото анализиране на всяка посока (хоризонтална и вертикална) на свободно падащ обект работи успешно, само ако спазваш различните посоки (x и y) да са в техните уравнения.
Начални скорости, които са насочени диагонално трябва да бъдат разложени на вертикална и хоризонтална компонента. Хората понякога се затрудняват да разложат вектор на компоненти. Виж тази статия за помощ с тригонометрията, която е нужна за разлагане на вектори на компоненти.
Когато обект е изстрелян хоризонтално, началната вертикална скорост е нула v0y=0 (виж пример 1 по-долу). На много начинаещи им е трудно да проумеят, че един обект може да има ненулева хоризонтална компонента на скоростта и нулева вертикална такава.

Как изглеждат решени примери за двумерно свободно падане?

Пример 1: Хоризонтално хвърлен балон с вода

Балон с вода е хвърлен хоризонтално със скорост от v0=8,31ms от покрива на сграда с височина H=23,0 m.
Какво разстояние изминава балонът хоризонтално, преди да се удари в земята?
Можем за начало да начертаем диаграма, която включва дадените променливи.
Веднъж намерим ли времето t, ще можем да намерим хоризонталното преместване от уравнението Δx=vxt. За да намерим времето, нека използваме това, че знаем три променливи по вертикалата (Δy=23,0 m, v0y=0, a=9,8ms2).
Така че ще използваме кинематична формула за вертикалната посока, за да намерим времето t. Не знаем крайната скорост vy и засега не ни трябва да намерим vy, така че ще използваме кинематичната формула, в която крайната скорост не фигурира.
Δy=v0yt+12ayt2(използваме "вертикалната" кинематична формула, в която не присъства крайна скорост)
H=(0)t+12(g)t2(заместваме с известните вертикални стойности)
t=2Hg(намираме буквеното решение за времето t)
t=2(23,0 m)9,8ms2=2,17 s(заместваме с числата, за да намерим времето на полета)
Сега трябва да заместим с времето t в уравнението за хоризонталното направление, за да намерим хоризонталното преместване Δx.
Δx=vxt(използваме уравнението за хоризонталното отместване)
Δx=(8,31ms)(2,17 s)(заместваме с времето на полета и vx)
Δx=18,0 m(пресмятаме и отпразнуваме)
И така, балонът се удря в земята на 18,0 m хоризонтално от ръба на сградата.

Пример 2: Тиква, изстреляна под ъгъл

Тиква е изстреляна с топ от скала с височина H=18,0 m с начална скорост с големина v0=11,4ms под ъгъл θ=52,1, както е показано на диаграмата по-долу.
Каква е големината на скоростта на тиквата точно преди да се удари в земята?
Ще можем да определим големината на крайната скорост на тиквата, ако можем да определим компонентите на крайната скорост (vx и vy).
Но преди да можем да направим това, трябва да намерим компонентите v0x и v0y на началната скорост v0, като използваме дефинициите за синус и косинус.
cosθ=прилежащхипотенуза=v0xv0(използваме дефиницията за косинус)
v0x=v0cosθ(изразяваме v0x)
v0x=(11,4ms)cos(52,1)(заместваме с числените стойности)
v0x=7,00ms(пресмятаме, за да намерим v0x)
(Забележка: ако това е неразгадаемо математическо вещерство за теб, виж тази статия, която ще ти помогне при разлагането на вектори на компоненти.
Тази стойност, която намерихме за хоризонталната компонента на началната скорост v0x=7,00ms ще бъде също така и хоризонталната компонента на крайната скорост vx=7,00ms, тъй като хоризонталната компонента на скоростта остава постоянна за целия полет (допускаме, че съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко и го пренебрегваме).
За да намерим вертикалната компонента на началната скорост, ще използваме същата процедура като по-горе, но със синус вместо с косинус.
sinθ=срещулежащхипотенуза=v0yv0(използваме дефиницията за синус)
v0y=v0sinθ(решаваме за v0y)
v0y=(11,4ms)sin(52,1)(заместваме с числените стойности)
v0y=9,00ms(пресмятаме, за да намерим v0y)
Тъй като вертикалната компонента vy се променя за свободно падащо тяло, докато то се движи във въздуха, ще трябва да намерим вертикалната компонента vy на крайната скорост, като използваме кинематична формула за вертикалното направление. Тъй като не знаем времето t на полета, и засега не ни трябва да го намираме, ще използваме кинематичната формула, в която t не присъства.
vy2=v0y2+2ayΔy(използваме кинематичната формула, в която времето не фигурира)
vy2=(9,00ms)2+2(9,8ms2)(18 m)(заместваме с известните стойности)
vy2=434m2s2(пресмятаме)
vy=±434m2s2=±20,8ms(взимаме корен квадратен)
vy=20,8ms(избираме отрицателната стойност, тъй като тиквата ще се движи надолу)
Сега, като знаем хоризонталната и вертикалната компонента на скоростта, можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на крайната скорост.
v2=vx2+vy2(използваме питагоровата теорема)
v2=(7,00ms)2+(20,8ms)2(заместваме със стойностите на хоризонталната и вертикалната компонента на крайната скорост)
v2=482m2s2(пресмятаме)
v=21,9ms(взимаме корен квадратен)
21,9ms е големината на крайната скорост на тиквата в момента, преди да се удари в земята. Връзката между крайната скорост и компонентите ѝ е показана на диаграмата по-долу.
Също можем да намерим ъгъла ϕ на крайната скорост, като използваме дефиницията за тангенс:
tanϕ=срещулежащприлежащ=vyvx
Сега като вземем аркустангенс от двете страни, получаваме
tan1(tanϕ)=tan1(20,8ms7,00ms)
Лявата страна става само ϕ и можем да намерим стойността на дясната страна, като заместим и пресметнем, при което получаваме:
ϕ=71,4

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.