Какво е движение на изстреляно тяло в две измерения (направления)?

В изблик на фруктозна ярост решаваш да хвърлиш зелен лимон под ъгъл във въздуха. Той описва траектория като показаната с пунктирана линия на диаграмата по-долу. Лимонът е свободно падащо тяло, което се движи в двумерна равнина, под действието единствено на гравитацията.

Тъй като силата на гравитацията дърпа надолу, гравитацията ще се отразява само на вертикалната компонента $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 на скоростта на лимона. Хоризонталната компонента $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed на скоростта няма да бъде засегната и ще бъде постоянна.

Опитай да приплъзваш точката на диаграмата по-долу, за да видиш, че вертикалната компонента $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 се променя, но хоризонталната $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed остава постоянна.

Проверка на концепциите: Каква е стойността на вертикалната компонента на скоростта в момента, когато лимонът е на максимална височина?

Най-лесно е да разглеждаме движението във всяка от посоките поотделно. С други думи, ще използваме една система уравнения, за да описваме хоризонталното движение на лимона (т.е. движението на хоризонталната компонента на скоростта му) и друга система уравнения за вертикалното му движение. Това превръща една трудна двумерна задача в две по-прости едномерни задачи. Можем да правим това, защото промяната във вертикалната скорост не променя хоризонталната скорост. Аналогично, ако хвърлим лимона с голяма хоризонтална скорост, няма да променим вертикалното му ускорение. С други думи, ако изстреляш куршум хоризонтално и пуснеш друг куршум в същия момент, те ще достигнат земята в един и същи момент.

Няма ускорение в хоризонтална посока, защото гравитацията не избутва свободно падащ обект настрани, а само надолу. Съпротивлението на въздуха би причинило хоризонтално съпротивление, забавяйки хоризонталното движение, но тъй като ще разглеждаме само случаи, в които съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко, можем да допуснем, че хоризонталната скорост е постоянна за свободно падащи обекти.

Така че за движението в хоризонтална посока можем да използваме следното уравнение

Забележка: Не забравяй в уравнението за движение по абсцисата "x" (в хоризонтална посока) да включваш само величините, отнасящи се за хоризонталата. Ако знаем две от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим третата.

Двумерно движещите се свободно падащи обекти изпитват постоянно ускорение надолу заради гравитацията $a_y=-9{,}8 \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction. Тъй като вертикалното ускорение е постоянно, можем да намерим вертикална променлива с някоя от четирите кинематични формули, които са дадени по-долу.

Забележка: Не забравяй тук да включваш само величините, отнасящи се за . Ако знаем три от тези променливи, можем да решим уравнението и да намерим някоя от останалите.

Забележка: За даден процес интервалът време $t$t има същата стойност както в уравненията по вертикалата, така и в уравненията по хоризонталата. Това означава, че ако намерим времето $t$t, можем да заместим с получената стойност във всяко от двете уравнения. Това се използва в много задачи. Често човек трябва да намери времето $t$t, като използва уравненията по вертикалата, и след това да замести с тази стойност в уравненията по хоризонталата (или обратното).

Много често хората се опитват да заместват с вертикални компоненти в уравненията за хоризонтални компоненти или обратното. Независимото анализиране на всяка посока (хоризонтална и вертикална) на свободно падащ обект работи успешно, само ако спазваш различните посоки ($x$x и $y$y) да са в техните уравнения.

Начални скорости, които са насочени диагонално трябва да бъдат разложени на вертикална и хоризонтална компонента. Хората понякога се затрудняват да разложат вектор на компоненти. Виж тази статия за помощ с тригонометрията, която е нужна за разлагане на вектори на компоненти.

Когато обект е изстрелян хоризонтално, началната вертикална скорост е нула $\red {v_{0y}=0}$start color #df0030, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, end color #df0030 (виж пример 1 по-долу). На много начинаещи им е трудно да проумеят, че един обект може да има ненулева хоризонтална компонента на скоростта и нулева вертикална такава.

Балон с вода е хвърлен хоризонтално със скорост от $v_0=8{,}31 \dfrac{\text m}{\text{s}}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction от покрива на сграда с височина $H=23{,}0\text{ m}$H, equals, 23, comma, 0, start text, space, m, end text.

Можем за начало да начертаем диаграма, която включва дадените променливи.

Веднъж намерим ли времето $t$t, ще можем да намерим хоризонталното преместване от уравнението $\Delta x=v_xt$delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t. За да намерим времето, нека използваме това, че знаем три променливи по вертикалата ($\Delta y=-23{,}0\text { m}$delta, y, equals, minus, 23, comma, 0, start text, space, m, end text, $v_{0y}=0$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, $a=-9{,}8\dfrac{\text m}{\text {s}^2}$a, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction).

Така че ще използваме кинематична формула за вертикалната посока, за да намерим времето $t$t. Не знаем крайната скорост $v_y$v, start subscript, y, end subscript и засега не ни трябва да намерим $v_y$v, start subscript, y, end subscript, така че ще използваме кинематичната формула, в която крайната скорост не фигурира.

Сега трябва да заместим с времето $t$t в уравнението за хоризонталното направление, за да намерим хоризонталното преместване $\Delta x$delta, x.

$\Delta x=(8{,}31 \dfrac{\text m}{\text s})(2{,}17\text { s}) \quad \text{(заместваме с времето на полета и } v_x)$delta, x, equals, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 17, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, з, а, м, е, с, т, в, а, м, е, space, с, space, в, р, е, м, е, т, о, space, н, а, space, п, о, л, е, т, а, space, и, space, end text, v, start subscript, x, end subscript, right parenthesis

И така, балонът се удря в земята на $18{,}0 \text{ m}$18, comma, 0, start text, space, m, end text хоризонтално от ръба на сградата.

Тиква е изстреляна с топ от скала с височина $H=18{,}0 \text{ m}$H, equals, 18, comma, 0, start text, space, m, end text с начална скорост с големина $v_0=11{,}4 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 11, comma, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction под ъгъл $\theta=52{,}1^\circ$theta, equals, 52, comma, 1, degrees, както е показано на диаграмата по-долу.

Каква е големината на скоростта на тиквата точно преди да се удари в земята?

Ще можем да определим големината на крайната скорост на тиквата, ако можем да определим компонентите на крайната скорост ($v_x$v, start subscript, x, end subscript и $v_y$v, start subscript, y, end subscript).

Но преди да можем да направим това, трябва да намерим компонентите $v_{0x}$v, start subscript, 0, x, end subscript и $v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript на началната скорост $v_0$v, start subscript, 0, end subscript, като използваме дефинициите за синус и косинус.

(Забележка: ако това е неразгадаемо математическо вещерство за теб, виж тази статия, която ще ти помогне при разлагането на вектори на компоненти.

Тази стойност, която намерихме за хоризонталната компонента на началната скорост $v_{0x}=7{,}00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction ще бъде също така и хоризонталната компонента на крайната скорост $v_x=7{,}00 \dfrac{\text m}{\text s}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, тъй като хоризонталната компонента на скоростта остава постоянна за целия полет (допускаме, че съпротивлението на въздуха е пренебрежимо малко и го пренебрегваме).

За да намерим вертикалната компонента на началната скорост, ще използваме същата процедура като по-горе, но със синус вместо с косинус.

Тъй като вертикалната компонента $v_y$v, start subscript, y, end subscript се променя за свободно падащо тяло, докато то се движи във въздуха, ще трябва да намерим вертикалната компонента $v_y$v, start subscript, y, end subscript на крайната скорост, като използваме кинематична формула за вертикалното направление. Тъй като не знаем времето $t$t на полета, и засега не ни трябва да го намираме, ще използваме кинематичната формула, в която $t$t не присъства.

Сега, като знаем хоризонталната и вертикалната компонента на скоростта, можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим големината на крайната скорост.

$21{,}9 \dfrac{\text {m}}{\text {s}}$21, comma, 9, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction е големината на крайната скорост на тиквата в момента, преди да се удари в земята. Връзката между крайната скорост и компонентите ѝ е показана на диаграмата по-долу.

Също можем да намерим ъгъла $\phi$\phi на крайната скорост, като използваме дефиницията за тангенс:

$\text{tan}\phi=\dfrac{20{,}8\dfrac{\text m}{\text s}}{7{,}00\dfrac{\text m}{\text s}}$start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, 20, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, divided by, 7, comma, 00, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction, end fraction

Сега като вземем аркустангенс от двете страни, получаваме

Лявата страна става само $\phi$\phi и можем да намерим стойността на дясната страна, като заместим и пресметнем, при което получаваме: