Добър ден. Доста поработихме с вектори. В много задачи,
където изстрелваме нещо – в задачите за изстрелване на тяло или задачи с наклонена равнина,
винаги ти давах вектор, чертаех подобен вектор. И казвах например,
че нещо има скорост от 10 метра в секунда. И е под 30-градусов ъгъл. И после го разделих
на х и у компоненти. Ако нарека този вектор v,
ще използвам обозначението v с индекс х и v с индекс х
би бил този вектор ето тук. v с индекс х щеше да е
този вектор тук. х компонентата на вектора. И после v с индекс у ще бъде
у компонентата на вектора и ще е този вектор. Това беше v с индекс х,
а това беше v с индекс у. И надявам се, че вече ни е
втора природа да намираме тези неща. v с индекс х ще е
10 пъти косинуса на този ъгъл. 10 по косинус от 30 градуса,
което мисля, че е корен квадратен от 3 върху 2, но сега не се тревожим
за това. А v с индекс у
ще е 10 пъти синуса на този ъгъл. Надявам се, че това
ти идва естествено вече. Ако не е, просто можеш да видиш
основните тригонометрични тъждества. и да кажеш, че синус от 30 градуса
е срещулежащата страна върху хипотенузата. И ще се върнеш
към това. Но прегледахме всичко това
и трябва да си припомниш началните видеа
за векторите. Но искам да направим,
понеже това е полезно за прости задачи с изстрелване на тяло –
но след като почнем да си имаме работа с по-сложни вектори –
и може би работим с вектори в повече измерения,
вектори в три измерния, или започнем да решаваме задачи от
линейната алгебра, в която има дори N-векторни пространства –
трябва ни смислен начин, аналитичен начин,
вместо да трябва винаги да чертаем картинка,
изобразяваща вектори. Ще използваме нещо, което наричам –
и мисля, че всеки го нарича така – обозначение с
единичен вектор. Какво означава това? Определяме
тези единични вектори. Нека начертая
някои оси. И важно е да помним,
това отначало може да изглежда объркващо,
но не е по-различно от това, което правихме при
задачите по физика досега. Нека начертая осите тук. Да кажем, че това е 1, това е 2. 0, 1, 2. Не знам, може би
пишех на арабски, наобратно. Това е 0, 1, 2, това не е 20. И да кажем, че това е 1,
това е 2, в посока у. Ще определя това,
което наричам единични вектори в две измерения. Първо ще определя
един вектор. Ще нарека това
вектор i. Това е векторът. Отива в посока х,
няма компонент у и има големина 1. Това е i. Обозначаваме единичния вектор,
като поставяме тази малка шапка
отгоре. Има множество обозначения. Понякога в учебниците ще видиш
това i без шапката и просто е удебелено. Има и някои
други обозначения. Но ако видиш i
и не в смисъла на имагинерно число, трябва да осъзнаеш,
че това е единичният вектор. Има големина 1
и е напълно в посока х. И ще определя
друг вектор и този се нарича j. И това е същото нещо,
но в посока у. Това е вектор j. Поставяш малка шапка
отгоре. Защо направих това? Ако работя
с две измерения и, както ще видим по-късно,
в три измерения – всъщност ще има трето измерение
и ще го наречем k, но засега не се тревожи
за това. Но ако работим в две измерения,
можем да определим всеки вектор посредством някакъв сбор
от тези два вектора. Как работи това? Този вектор тук,
нека го наречем v. Този вектор, v,
е сборът от х компонентата си плюс
у компонентата си. Когато събираш вектори,
можеш да ги поставиш ето по този начин. И това е сборът. Надявам се, че като вече
знаем това, което знаем, знаехме, че този вектор, v,
е равен на х компонентата си
плюс у компонентата си. Когато събираш вектори,
всъщност ги поставяш поставяш по този начин. И полученият сбор е мястото,
където се озоваваш в крайна сметка. Ако събереш този вектор
и после поставиш тази опашка
до този връх, се озоваваш тук. Това е векторът. Можем ли да определим v с индекс х
като някакво кратно на i, на този
единичен вектор? Да, можем. v с индекс х е изцяло в посока х. Но няма
големина от 1. Има големина от
10 по косинус 30 градуса. Големината му
е 10... Нека начертая
единичния вектор тук горе. Това е
единичният вектор i. Ще изглежда подобно
на това и това. v с индекс х е в точно
същата посока и е мащабирана версия
на този единичен вектор. Какво кратно е то
на този единичен вектор? Единичният вектор
има големина 1. Това има големина
10 по косинус от 30 градуса. Мисля, че е около
5 по корен квадратен от 3 или нещо такова. Можем да запишем v с индекс х –
продължавам да сменям цветовете, за да поддържам
нещата интересни. Можем да запишем, че v с индекс х
е равно на 10 по косинус от 30 градуса по – това са градусите –
по единичния вектор i – нека остана с този цвят,
за да не се объркаш – по единичния вектор i. Логично ли е това? Единичният вектор i
отива в точно същата посока. Но х компонентата на този вектор
е просто много по-дълга. Тя е дълга
10 по косинус от 30 градуса. И това е равно на –
косинус от 30 градуса е корен квадратен от 3 върху 2 –
това е 5 по корен квадратен от 3 i. Подобно, можем да запишем
у компонентата на този вектор като някакво кратно на j. Можем да кажем, че v с индекс у,
у компонентата – колко е синус от 30 градуса? Синус от 30 градуса
е 1/2. 1/2 по 10,
това е 5. у компонента
отива напълно в посока у. Това ще е кратно
на този вектор j, на единичния вектор j. И какво кратно е това? Има дължина 5,
докато единичният вектор има просто дължина 1. Това е просто 5 по
единичния вектор j. Как можем да запишем
вектор v? Знаем, че вектор v
е сборът от х компонентата и у компонентата. И също знаем –
това е целият вектор v. Каква е х компонентата? х компонентата
може да бъде записана като кратно на х единичния вектор. Това е ето тук. Можем да го запишем като
5 по корен квадратен от 3 i плюс у компонентата. Каква е у компонентата? у компонентата е просто
кратно на у единичен вектор, който е наречен j, с малка забавна
шапка отгоре. И това е просто това. Това е 5 по j. Сега, като определихме
тези единични вектори – мога да променя
този цвят, за да помниш,
че това е i. Единичният вектор
е това. Като използваме единични вектори
в две измерения и можем финално да ги направим
в множество измерения, можем аналитично да изразим
всеки двумерен вектор. Вместо да трябва да го чертаем,
както го правехме преди и да трябва да разделяме
компонентите и да го правим визуално, можем да останем в аналитичен режим,
а не в графичен режим. И това е много полезно,
понеже ако мога да запиша един вектор в този формат,
мога да събирам и изваждам, без да трябва да прибягвам
до визуални инструменти. Какво имам предвид с това? Ако трябва да намеря
някакъв вектор 'а', равен на 2i + 3j, и имам някакъв друг
вектор b – тази малка стрелка просто означава,
че това е вектор, понякога ще я видиш
като цяла стрелка – равен на 10i + 2j, ако попитам какъв е сборът на тези два вектора,
а + b... Преди да имаме това обозначение
с единичния вектор, щеше да трябва да ги чертаем
и да ги поставяме връх до опашка. И трябваше да го правиш
визуално и щеше да ти отнеме
много време. Но след като го разделиш
на х и у компоненти, можеш поотделно
да събереш х и у компонентите. Вектор а плюс вектор b,
това е просто (2 + 10) по i плюс (3 + 2) по j. И това е равно
на 12i + 5j. И понякога може да искаш –
може би ще направя това в друго видео – да начертаеш
тези два вектора и да ги събереш
визуално. Ще видиш, че
получаваш същия този отговор. И докато преминаваме към
бъдещи видеа, ще видиш, че това
е супер полезно, след като започнем да решаваме
по-сложни задачи по физика или след като започнем да решаваме
задачи по физика с висша математика. Както и да е, свършва
ми времето. Ще се видим
в следващото видео.