If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: Библиотека по физика > Раздел 2

Урок 1: Движение на изстреляно тяло в две измерения

Означение на единичен вектор

Изразяване на вектор като мащабиран сбор на единични вектори. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

Добър ден. Доста поработихме с вектори. В много задачи, където изстрелваме нещо – в задачите за изстрелване на тяло или задачи с наклонена равнина, винаги ти давах вектор, чертаех подобен вектор. И казвах например, че нещо има скорост от 10 метра в секунда. И е под 30-градусов ъгъл. И после го разделих на х и у компоненти. Ако нарека този вектор v, ще използвам обозначението v с индекс х и v с индекс х би бил този вектор ето тук. v с индекс х щеше да е този вектор тук. х компонентата на вектора. И после v с индекс у ще бъде у компонентата на вектора и ще е този вектор. Това беше v с индекс х, а това беше v с индекс у. И надявам се, че вече ни е втора природа да намираме тези неща. v с индекс х ще е 10 пъти косинуса на този ъгъл. 10 по косинус от 30 градуса, което мисля, че е корен квадратен от 3 върху 2, но сега не се тревожим за това. А v с индекс у ще е 10 пъти синуса на този ъгъл. Надявам се, че това ти идва естествено вече. Ако не е, просто можеш да видиш основните тригонометрични тъждества. и да кажеш, че синус от 30 градуса е срещулежащата страна върху хипотенузата. И ще се върнеш към това. Но прегледахме всичко това и трябва да си припомниш началните видеа за векторите. Но искам да направим, понеже това е полезно за прости задачи с изстрелване на тяло – но след като почнем да си имаме работа с по-сложни вектори – и може би работим с вектори в повече измерения, вектори в три измерния, или започнем да решаваме задачи от линейната алгебра, в която има дори N-векторни пространства – трябва ни смислен начин, аналитичен начин, вместо да трябва винаги да чертаем картинка, изобразяваща вектори. Ще използваме нещо, което наричам – и мисля, че всеки го нарича така – обозначение с единичен вектор. Какво означава това? Определяме тези единични вектори. Нека начертая някои оси. И важно е да помним, това отначало може да изглежда объркващо, но не е по-различно от това, което правихме при задачите по физика досега. Нека начертая осите тук. Да кажем, че това е 1, това е 2. 0, 1, 2. Не знам, може би пишех на арабски, наобратно. Това е 0, 1, 2, това не е 20. И да кажем, че това е 1, това е 2, в посока у. Ще определя това, което наричам единични вектори в две измерения. Първо ще определя един вектор. Ще нарека това вектор i. Това е векторът. Отива в посока х, няма компонент у и има големина 1. Това е i. Обозначаваме единичния вектор, като поставяме тази малка шапка отгоре. Има множество обозначения. Понякога в учебниците ще видиш това i без шапката и просто е удебелено. Има и някои други обозначения. Но ако видиш i и не в смисъла на имагинерно число, трябва да осъзнаеш, че това е единичният вектор. Има големина 1 и е напълно в посока х. И ще определя друг вектор и този се нарича j. И това е същото нещо, но в посока у. Това е вектор j. Поставяш малка шапка отгоре. Защо направих това? Ако работя с две измерения и, както ще видим по-късно, в три измерения – всъщност ще има трето измерение и ще го наречем k, но засега не се тревожи за това. Но ако работим в две измерения, можем да определим всеки вектор посредством някакъв сбор от тези два вектора. Как работи това? Този вектор тук, нека го наречем v. Този вектор, v, е сборът от х компонентата си плюс у компонентата си. Когато събираш вектори, можеш да ги поставиш ето по този начин. И това е сборът. Надявам се, че като вече знаем това, което знаем, знаехме, че този вектор, v, е равен на х компонентата си плюс у компонентата си. Когато събираш вектори, всъщност ги поставяш поставяш по този начин. И полученият сбор е мястото, където се озоваваш в крайна сметка. Ако събереш този вектор и после поставиш тази опашка до този връх, се озоваваш тук. Това е векторът. Можем ли да определим v с индекс х като някакво кратно на i, на този единичен вектор? Да, можем. v с индекс х е изцяло в посока х. Но няма големина от 1. Има големина от 10 по косинус 30 градуса. Големината му е 10... Нека начертая единичния вектор тук горе. Това е единичният вектор i. Ще изглежда подобно на това и това. v с индекс х е в точно същата посока и е мащабирана версия на този единичен вектор. Какво кратно е то на този единичен вектор? Единичният вектор има големина 1. Това има големина 10 по косинус от 30 градуса. Мисля, че е около 5 по корен квадратен от 3 или нещо такова. Можем да запишем v с индекс х – продължавам да сменям цветовете, за да поддържам нещата интересни. Можем да запишем, че v с индекс х е равно на 10 по косинус от 30 градуса по – това са градусите – по единичния вектор i – нека остана с този цвят, за да не се объркаш – по единичния вектор i. Логично ли е това? Единичният вектор i отива в точно същата посока. Но х компонентата на този вектор е просто много по-дълга. Тя е дълга 10 по косинус от 30 градуса. И това е равно на – косинус от 30 градуса е корен квадратен от 3 върху 2 – това е 5 по корен квадратен от 3 i. Подобно, можем да запишем у компонентата на този вектор като някакво кратно на j. Можем да кажем, че v с индекс у, у компонентата – колко е синус от 30 градуса? Синус от 30 градуса е 1/2. 1/2 по 10, това е 5. у компонента отива напълно в посока у. Това ще е кратно на този вектор j, на единичния вектор j. И какво кратно е това? Има дължина 5, докато единичният вектор има просто дължина 1. Това е просто 5 по единичния вектор j. Как можем да запишем вектор v? Знаем, че вектор v е сборът от х компонентата и у компонентата. И също знаем – това е целият вектор v. Каква е х компонентата? х компонентата може да бъде записана като кратно на х единичния вектор. Това е ето тук. Можем да го запишем като 5 по корен квадратен от 3 i плюс у компонентата. Каква е у компонентата? у компонентата е просто кратно на у единичен вектор, който е наречен j, с малка забавна шапка отгоре. И това е просто това. Това е 5 по j. Сега, като определихме тези единични вектори – мога да променя този цвят, за да помниш, че това е i. Единичният вектор е това. Като използваме единични вектори в две измерения и можем финално да ги направим в множество измерения, можем аналитично да изразим всеки двумерен вектор. Вместо да трябва да го чертаем, както го правехме преди и да трябва да разделяме компонентите и да го правим визуално, можем да останем в аналитичен режим, а не в графичен режим. И това е много полезно, понеже ако мога да запиша един вектор в този формат, мога да събирам и изваждам, без да трябва да прибягвам до визуални инструменти. Какво имам предвид с това? Ако трябва да намеря някакъв вектор 'а', равен на 2i + 3j, и имам някакъв друг вектор b – тази малка стрелка просто означава, че това е вектор, понякога ще я видиш като цяла стрелка – равен на 10i + 2j, ако попитам какъв е сборът на тези два вектора, а + b... Преди да имаме това обозначение с единичния вектор, щеше да трябва да ги чертаем и да ги поставяме връх до опашка. И трябваше да го правиш визуално и щеше да ти отнеме много време. Но след като го разделиш на х и у компоненти, можеш поотделно да събереш х и у компонентите. Вектор а плюс вектор b, това е просто (2 + 10) по i плюс (3 + 2) по j. И това е равно на 12i + 5j. И понякога може да искаш – може би ще направя това в друго видео – да начертаеш тези два вектора и да ги събереш визуално. Ще видиш, че получаваш същия този отговор. И докато преминаваме към бъдещи видеа, ще видиш, че това е супер полезно, след като започнем да решаваме по-сложни задачи по физика или след като започнем да решаваме задачи по физика с висша математика. Както и да е, свършва ми времето. Ще се видим в следващото видео.