Използване на единични вектори (втора част)

Здравей отново. В края на последното видео, както винаги направих опит да те объркам – казах ти, че ако имам два вектора – нека просто измисля нови такива, за да мога да ги представя визуално набързо. Нека наречем първия вектор 'а'. Нека го направя в различен цвят. Този цвят на паста за зъби става монотонен. Нека направя нещо, което изглежда релаксиращо. Да наречем първия вектор 'а' и, не знам, нека го направим интересно, да кажем, че е -3 пъти единичния вектор i плюс 2 пъти единичния вектор j. И после имам вектор b. Той е равен на 2i, тоест 2 пъти единичния вектор i, плюс 4 пъти единичния вектор j. В последното видео казах, че причината обозначението с единичния вектор – една от причините, ще видим, че има много причини да е полезно... Едно от хубавите неща е, че, преди, когато събирахме вектори, ги поставяхме връх до опашка и после ги чертаехме визуално и после имахме този нов вектор. Нямахме начин да ги изразим без да ги чертаем. Но когато записваме нещата като кратни на единичните вектори, не е нужно да ги чертаем. И е много лесно да събираме вектори. Как да го направим? Просто събираме х компонентите и събираме у компонентите. Казахме, че тези два вектора, а + b, тези малки странни стрелкички просто ни казват, че това са вектори. Това е равно... Това е (-3 + 2 )i и произволно ще сменя цветовете, понеже това става монотонно. Плюс (2 + 4)j. Просто събрахме х компонентите, или кратните на i. И събрахме у компонентите, или кратните на j. Понеже i беше единичният вектор в посока х, а j беше единичният вектор в посока у. И получаваме, колко е -3 + 2? Това е -1. Получаваме -1i. Това може да е -i. Но ще запиша единицата, понеже едва загряваме с единичните вектори. Тоест -1i + 6j. И когато направих това, може да си кажеш, че не можеш просто да ми повярваш, понеже не изглеждам като някого, на когото сляпо трябва да вярваш. Мисля, че това е валидно мнение. Така че ще ти покажа как работи това, като събера векторите визуално. Нека ги начертаем. Мисля, че това ще ти даде по-добра представа за единичните вектори като цяло. Нека начертая осите. Това е моята ос у. Това е моята ос х. Трябва да се уверя, че имам достатъчно място да начертая единичните вектори, които начертахме или да начертая векторите, които начертахме. Просто за да покажа, че осите продължават до безкрай, трябва да сложа тази стрелка. Да кажем, че това е 1, 2, 3. Това е 1, 2, 3, 4. И чертая 1, 2, 3, 4, 5, 6. Мисля, че сега трябва да можем да ги съберем. Нямаше нужда да хабя цялото място тук. Нека първо начертаем векторите -3i + 2j. Минус 3i, точно ето тук, ще е вектор, който изглежда подобно на това. Той е -3 пъти вектор х, така че ще отива наляво. Понеже i е 1 в положителна посока. Ако поставя минус тук, това го преобръща. Нека използвам различен цвят. Това е -3i и после +2j. + 2j изглежда ето така. Ако събера тези два вектора визуално, можем да ги поставим върх до опашка. И начинът да направим това, можем или да преместим този вектор нагоре, ето така, и да го начертаем тук горе, или да преместим този вектор и да поставим опашката му до върха на този вектор. Но нека преместим този нагоре. Ако го преместим нагоре... Помни, просто извършваме метода връх до опашка, методът за визуално събиране на вектори. Просто поставям тази опашка до този връх. И какво получаваме? Вектор 'а' ще изглежда така и ще го направя в същия цвят като вектор а, понеже имам чувството, че тази диаграма може да стане сложна. Исках да използвам линийката. Това е вектор 'а'. Така изглежда вектор 'а'. И работихме отзад-напред. Дадох ти х компонентата и у компонентата. И после ги събрах чрез метода връх до опашка и така би изглеждал вектор 'а'. И вместо да го чертая, много лесно представяне е точно каквото направихме тук, обозначението с единичния вектор. Как ще изглежда вектор b? Това е 2i – ще го направя в напълно различен цвят. Това е 2i, това е този вектор. 2 пъти единичния вектор i. Това е това. Плюс 4j, 1, 2, 3, 4. Изглежда ето така. Нека вземем това и да го преместим наляво, за да можем да поставим опашката му до върха на този вектор и ще изглежда ето така. Вектор b ще изглежда – ще го направя в червено. И ще използвам линийка. Вектор b изглежда така. Просто поставих неговите компоненти връх до опашка и така получих вектор b. И ако ги събера визуално – ще го направя това по същия начин, по който събрах компонентите му, бих поставил опашката на единия вектор до върха на другия и ще видя дали получавам съответния вектор. Можеш да го направиш и по двата начина. Нека преместим този вектор a. Нека го преместим в тази посока. Спомни си, при векторите, просто даваме големина и посока. Не е задължително да даваме начална точка. Можеш да ги преместиш. Не можеш просто да промениш ориентацията им или големината им. И така всъщност ги събираш – преместваш ги и ги поставяш връх до опашка. Тогава ги събираш визуално. Нека поставим този вектор 'а' тук горе. Ако имаме вектор 'а', той изглежда така. Искам да го направя правилно. Вектор 'а' изглежда ето така. И, помни, просто взех същия вектор и го преместих, за да започва от върха – така че опашката му да започне от върха на вектор b. Просто преместих вектор 'а', така че това все още е вектор 'а'. Като преместваш този вектор, не го променяш. Бих променил вектора, само ако го скалирам, ако го направя по-голям или по-малък, ако променя ориентацията му. И визуално, това е b, това е а, така че ако събера а и b, полученият вектор – ще го направя в зелен цвят – ще изглежда ето така. Ще изглежда ето така. Направихме всички тези усилия и трябваше да чертая тези прави линии, за да събера тези два вектора визуално. Този зелен вектор е а + b. Да видим дали този зелен вектор е същото нещо, което имаме тук. Да видим дали е същото нещо като това. Получихме -1 по i, като -1 е тук. И после имаме 6j. Нека го направя в друг цвят. 6j ще изглежда така. 6j изглежда така. Поставяш ги връх до опашка. И ще бъде нещо такова. И това е зеленият вектор. И знам, че не се нареди перфектно и това е понеже не чертая перфектно, но тези две точки трябва да са тук, ако бях начертал тези неща по-добре. Но знам, че това е много объркващо – имам всички тези цветове. Но цялата идея е, че исках да ти покажа, че можеш визуално да чертаеш вектори и после да ги преместваш и да ги поставяш връх до опашка. И после получаваш съответния вектор. Това е един начин да събираш векторите, все още няма начин аналитично да ги представиш. Или можеш да запишеш всеки вектор като х и у компонентите му, а после сборът от векторите ще е сборът от всички х и сборът от всички у. И това е много по-чист и много по-лесен, и много по-неподатлив на грешка начин за събиране или изваждане на два вектора. Надявам се, че това беше убедително, че a + b наистина е този вектор. Ако не беше, съжалявам. Надявам се, че не те обърках повече. Но сега изяснихме това и се надявам, че се убеди, че обозначението с единичния вектор е полезно. Можем да продължим и да опитаме да решим някои от старите задачи с изстрелване на тяло, като използваме това обозначение. И може би това ще ни позволи да направим някои допълнителни неща. Ще се видим скоро.