В това видео
искам да ти покажа начин да представиш един вектор
чрез компонентите му. И това понякога се нарича
разлагане на вектори по компоненти. Но това е супер полезно,
понеже ни позволява да следим компонентите
на вектора и прави нещата
по-осезаеми, когато говорим
за отделните компоненти. Нека разложим
този вектор тук. Просто приемам,
че е вектор на скоростта. Вектор v – неговата големина
е 10 метра в секунда. И сочи в посока 30 градуса
над хоризонтала (над оста х). Разлагали сме тези вектори
в миналото. Вертикалната компонента тук... Големината ѝ ще е – големината на
вертикалната компонента ще е 10 по синус от 30 градуса. Ще е 10 метра в секунда
по синус от 30 градуса. Това произлиза от
основните тригонометрични тъждества. Говоря за това
в повече детайли в предишни видеа. Синус от 30 градуса е 1/2. Това ще е 5,
или 5 метра в секунда. 10 по 1/2
е 5 метра в секунда. Това е големината
на вертикалната компонента. В последните няколко видеа често използвам това обозначение
за определяне на вертикалния вектор, което не е толкова интуитивно,
колкото ми се иска. И затова ще направя нещата по-добре
в това видео. Казах, че самият този вектор
е 5 метра в секунда. Но ти казах,
че посоката е изрично зададена, понеже това е
вертикален вектор. И в предишни видеа ти казах,
че ако това е положително, означава нагоре, а ако е отрицателно,
означава надолу. Трябва да ти дам
този контекст, за да осъзнаеш,
че това е вектор, чийто синус ти дава посоката. Но трябва да продължавам
да ти казвам, че това е вертикален вектор. Това не беше
толкова конкретно. И имахме същия проблем, когато говорихме
за хоризонтални вектори. Този хоризонтален вектор тук, големината на
този хоризонтален вектор ще е 10 по косинус от 30 градуса. Отново, това директно
произлиза от основните тригонометрични тъждества. 10 по косинус от 30 градуса. И косинус от 30 градуса
е корен квадратен от 3 върху 2. Умножаваш по 10,
получаваш 5 по корен квадратен от 3
метра в секунда. И, отново, в предишни видеа понякога използвах
това обозначение, при което казвах,
че векторът е 5 по корен квадратен от 3
метра в секунда на квадрат. Но за да се уверя,
че това не беше просто големината, трябваше отново и отново да ти казвам,
че е в хоризонтална посока. Ако е положително,
отива надясно, а ако е отрицателно,
отива наляво. В това видео искам да ти дам
една условност, така че да не трябва
да продължавам да ти казвам посоката. Това прави нещата
малко по-ясни. И въведохме идеята за
единични вектори. По определение
ще въведем вектор i. Понякога се нарича
i с шапка. Ще го
начертая тук. Ще го направя
малко по-малък. Векторът i с шапка. Това тук е изображение
на вектора i с шапка. Поставих малка шапка
върху това i, за да покажа,
че това е единичен вектор. И единичният вектор е –
i с шапка отива в положителна
посока х. Така е определен. И единичният вектор
ни казва, че големината му е 1. Големината на вектор i с шапка
е равна на 1. И посоката му е в
положителна посока х. Ако наистина искахме
да определим тази х компонента на вектора
по по-добър начин, трябва да я назовем
5 по корен квадратен от 3 по този
единичен вектор. Понеже този зелен вектор тук ще е 5 по корен квадратен от 3 по този вектор тук,
понеже този вектор тук просто има дължина 1. Това е 5 по корен квадратен от 3
по единичния вектор. И това ми харесва – че не трябва да ти казвам: "Помни, че това е
хоризонтален вектор. Положително е надясно,
отрицателно е наляво." Тук това е изрично. Понеже очевидно,
ако това е положителна стойност, ще е положително кратно на i Отива надясно. Ако е отрицателна стойност,
преобръща вектора а после отива наляво. Това е по-добър начин
да определим х компонентата на вектора. Или ако разложа
този вектор v на неговата х компонента, това е по-добър начин
да определим този вектор. Същото е за посока у. Можем да определим
единичен вектор. И нека избера цвят,
който още не съм използвал. Нека избера това розово,
което не съм използвал. Можем да намерим единичен вектор,
който отива право нагоре в посока у,
наречен единичен вектор j. И, отново, големината
на единичния вектор j, е равна на 1. Тази малка шапка отгоре
ни казва – или понякога се нарича
коректорски знак – ни казва, че това е вектор,
но е единичен вектор. Има големина от 1. И по определение
вектор j има големина 1 и отива в
положителна посока у. у компонентата на този вектор, вместо да казвам,
че е 5 метра в секунда в посока нагоре,
или вместо да казвам изрично, че е нагоре,
понеже е вертикален вектор, или е вертикална компонента
и е положителна, сега можем
да сме по-точни. Можем да кажем,
че е равен на 5 по j. Понеже, виж, че
този цикламен вектор отива точно в същата посока като j,
просто е 5 пъти по-дълъг. Не знам дали е точно 5 пъти. Опитвам да го приближа
в момента. Той е просто
5 пъти по-дълъг. Хубавото на това, освен, че можем да изразим
компонентите като кратни на определени вектори, е,
че вместо просто да правим това, което направихме – изразяваме компонентите
като определени вектори – също знаем, че вектор v е сборът
на компонентите си. Ако започнеш с този зелен вектор и добавиш тази
вертикална компонента, имаш всичко. Получаваш
синия вектор. И можем да използваме
компонентите, за да изразим
самия вектор. Не е нужно винаги
да го чертаем така. Сега можем да запишем,
че вектор v е равен на – нека го запиша така –
равен е на х компонентата на вектора плюс у компонентата на вектора. И можем да запишем, че
х компонентата на вектора е 5 по корен квадратен от 3 по i. И това ще е плюс
у компонентата, вертикалната компонента,
която е 5j, 5 по j. И хубавото тук е,
че можеш да определиш всеки вектор в две измерения
чрез някаква комбинация от i и j, или някакви скалирани
комбинации от i и j. И ако искаш да преминеш
към три измерения, и много често ще го правиш,
особено с напредване на класа ти по физика, можеш да въведеш вектор
в положителна z посока, в зависимост от това
как искаш да го направиш. Въпреки че z обикновено
е нагоре и надолу. Но каквото и да е следващото измерение, можеш да определиш вектор k,
който е от третото измерение. Тук ще го направя
по неконвенционален начин. Ще направя k
да отива в тази посока. Въпреки че стандартната
конвенция, когато правиш това в три измерения,
е k да е измерението нагоре-надолу. Това само по себе си
е доста хубаво, понеже можем да представим
всеки вектор чрез компонентите му и това доста
ще улесни изчисленията.