Единични вектори

В това видео искам да ти покажа начин да представиш един вектор чрез компонентите му. И това понякога се нарича разлагане на вектори по компоненти. Но това е супер полезно, понеже ни позволява да следим компонентите на вектора и прави нещата по-осезаеми, когато говорим за отделните компоненти. Нека разложим този вектор тук. Просто приемам, че е вектор на скоростта. Вектор v – неговата големина е 10 метра в секунда. И сочи в посока 30 градуса над хоризонтала (над оста х). Разлагали сме тези вектори в миналото. Вертикалната компонента тук... Големината ѝ ще е – големината на вертикалната компонента ще е 10 по синус от 30 градуса. Ще е 10 метра в секунда по синус от 30 градуса. Това произлиза от основните тригонометрични тъждества. Говоря за това в повече детайли в предишни видеа. Синус от 30 градуса е 1/2. Това ще е 5, или 5 метра в секунда. 10 по 1/2 е 5 метра в секунда. Това е големината на вертикалната компонента. В последните няколко видеа често използвам това обозначение за определяне на вертикалния вектор, което не е толкова интуитивно, колкото ми се иска. И затова ще направя нещата по-добре в това видео. Казах, че самият този вектор е 5 метра в секунда. Но ти казах, че посоката е изрично зададена, понеже това е вертикален вектор. И в предишни видеа ти казах, че ако това е положително, означава нагоре, а ако е отрицателно, означава надолу. Трябва да ти дам този контекст, за да осъзнаеш, че това е вектор, чийто синус ти дава посоката. Но трябва да продължавам да ти казвам, че това е вертикален вектор. Това не беше толкова конкретно. И имахме същия проблем, когато говорихме за хоризонтални вектори. Този хоризонтален вектор тук, големината на този хоризонтален вектор ще е 10 по косинус от 30 градуса. Отново, това директно произлиза от основните тригонометрични тъждества. 10 по косинус от 30 градуса. И косинус от 30 градуса е корен квадратен от 3 върху 2. Умножаваш по 10, получаваш 5 по корен квадратен от 3 метра в секунда. И, отново, в предишни видеа понякога използвах това обозначение, при което казвах, че векторът е 5 по корен квадратен от 3 метра в секунда на квадрат. Но за да се уверя, че това не беше просто големината, трябваше отново и отново да ти казвам, че е в хоризонтална посока. Ако е положително, отива надясно, а ако е отрицателно, отива наляво. В това видео искам да ти дам една условност, така че да не трябва да продължавам да ти казвам посоката. Това прави нещата малко по-ясни. И въведохме идеята за единични вектори. По определение ще въведем вектор i. Понякога се нарича i с шапка. Ще го начертая тук. Ще го направя малко по-малък. Векторът i с шапка. Това тук е изображение на вектора i с шапка. Поставих малка шапка върху това i, за да покажа, че това е единичен вектор. И единичният вектор е – i с шапка отива в положителна посока х. Така е определен. И единичният вектор ни казва, че големината му е 1. Големината на вектор i с шапка е равна на 1. И посоката му е в положителна посока х. Ако наистина искахме да определим тази х компонента на вектора по по-добър начин, трябва да я назовем 5 по корен квадратен от 3 по този единичен вектор. Понеже този зелен вектор тук ще е 5 по корен квадратен от 3 по този вектор тук, понеже този вектор тук просто има дължина 1. Това е 5 по корен квадратен от 3 по единичния вектор. И това ми харесва – че не трябва да ти казвам: "Помни, че това е хоризонтален вектор. Положително е надясно, отрицателно е наляво." Тук това е изрично. Понеже очевидно, ако това е положителна стойност, ще е положително кратно на i Отива надясно. Ако е отрицателна стойност, преобръща вектора а после отива наляво. Това е по-добър начин да определим х компонентата на вектора. Или ако разложа този вектор v на неговата х компонента, това е по-добър начин да определим този вектор. Същото е за посока у. Можем да определим единичен вектор. И нека избера цвят, който още не съм използвал. Нека избера това розово, което не съм използвал. Можем да намерим единичен вектор, който отива право нагоре в посока у, наречен единичен вектор j. И, отново, големината на единичния вектор j, е равна на 1. Тази малка шапка отгоре ни казва – или понякога се нарича коректорски знак – ни казва, че това е вектор, но е единичен вектор. Има големина от 1. И по определение вектор j има големина 1 и отива в положителна посока у. у компонентата на този вектор, вместо да казвам, че е 5 метра в секунда в посока нагоре, или вместо да казвам изрично, че е нагоре, понеже е вертикален вектор, или е вертикална компонента и е положителна, сега можем да сме по-точни. Можем да кажем, че е равен на 5 по j. Понеже, виж, че този цикламен вектор отива точно в същата посока като j, просто е 5 пъти по-дълъг. Не знам дали е точно 5 пъти. Опитвам да го приближа в момента. Той е просто 5 пъти по-дълъг. Хубавото на това, освен, че можем да изразим компонентите като кратни на определени вектори, е, че вместо просто да правим това, което направихме – изразяваме компонентите като определени вектори – също знаем, че вектор v е сборът на компонентите си. Ако започнеш с този зелен вектор и добавиш тази вертикална компонента, имаш всичко. Получаваш синия вектор. И можем да използваме компонентите, за да изразим самия вектор. Не е нужно винаги да го чертаем така. Сега можем да запишем, че вектор v е равен на – нека го запиша така – равен е на х компонентата на вектора плюс у компонентата на вектора. И можем да запишем, че х компонентата на вектора е 5 по корен квадратен от 3 по i. И това ще е плюс у компонентата, вертикалната компонента, която е 5j, 5 по j. И хубавото тук е, че можеш да определиш всеки вектор в две измерения чрез някаква комбинация от i и j, или някакви скалирани комбинации от i и j. И ако искаш да преминеш към три измерения, и много често ще го правиш, особено с напредване на класа ти по физика, можеш да въведеш вектор в положителна z посока, в зависимост от това как искаш да го направиш. Въпреки че z обикновено е нагоре и надолу. Но каквото и да е следващото измерение, можеш да определиш вектор k, който е от третото измерение. Тук ще го направя по неконвенционален начин. Ще направя k да отива в тази посока. Въпреки че стандартната конвенция, когато правиш това в три измерения, е k да е измерението нагоре-надолу. Това само по себе си е доста хубаво, понеже можем да представим всеки вектор чрез компонентите му и това доста ще улесни изчисленията.