Деление на многочлени с остатък

Ще разделим (x на трета плюс 5x минус 4) на x минус x... всъщност мисля, че това трябва да бъде x квадрат. Нека го поправя. Така, ще разделим (x на трета степен плюс 5x минус 4) на (x квадрат минус x плюс 1). И за да видим различните начини, може да пренапишем този израз. Може да го запишем като (x на трета степен плюс 5x минус 4) върху (x квадрат минус x плюс 1). Или може би най-добрият начин да го запишем в този случай, след като се опитваме да извършим алгебрично дълго деление, е да го запишем като (x квадрат минус x плюс 1) колко пъти се съдържа в x на трета степен плюс... всъщност ще оставя малко празно място тук. Нямаме член x от втора степен тук, но ще оставя малко празно място за него, за да може всички да са подравнени на правилните за тях места. когато извършваме делението. Така, x на трета степен плюс нищо по x квадрат плюс 5x минус 4. Имаме места за трета степен, втора степен, първа степен и нулева степен. Нека сега извършим алгебричното дълго деление. Нека разгледаме члена от най-висока степен. x квадрат се съдържа в x на трета степен колко пъти? Съдържа се в него x пъти. x на трета степен, делено на x квадрат, е равно на x на степен (3 - 2), което е равно на x на първа степен, което е равно на x. Това продължава x пъти. Ще запиша x ето тук. И умножаваме x по цялото това нещо. x по x квадрат e x на трета степен. x по -x е -x квадрат. x по 1 е x. И сега искаме да извадим целия този израз от целия този израз. А това е същото като да съберем противоположните, или умножим всеки от тези членове по минус 1, и след това да ги съберем с тези членове. Нека направим точно това. Имаме минус x на трета степен. Минус 1 по минус x квадрат е просто x квадрат. След това x по минус 1 е минус x. А сега нека съберем всичко. x на трета степен минус x на трета степен – тези два члена се унищожават. 0 плюс x квадрат ни дава x квадрат. 5x минус x ни дава 4x. И след това сваляме това минус 4. Не събираме нищо повече от тук. Може да видиш, че има една нула тук. Така, нека свалим долу това минус 4. И сега, нека видим чкой е членът от най-висока степен. x квадрат се съдържа в x квадрат точно един път. Това е същото, така че нека добавим плюс 1. И вече имаш 1 по x квадрат е x квадрат. 1 по минус x е минус x. 1 по 1 е 1. И сега вече искаме да извадим това от другото, или искаме да го съберем обратното на това. А за да добавим обратното, трябва просто да умножим всеки от членовете с минус 1. x квадрат става минус x квадрат. Минус x по минус 1 е просто x. След това 1 по минус 1 прави минус 1. Нека да извършим събирането, x квадрат минус x квадрат – унищожават се. 4x плюс x е 5x. И накрая имаме минус 4 минус 1 прави минус 5. Така, може да се изкушаваш да продължиш с делението, но няма как да продължиш. Този член ето тук, членът от най-висока степен, е вече с по-висока степен от члена от най-висока степен, с който ще се опиташ да го разделиш. Така че, това остава да бъде остатък. Значи отговорът на този израз тук е равен на (x + 1) плюс остатъка – плюс 5x минус 5, какъвто и да е този остатък, разделен на x квадрат минус x плюс 1. Ако той може да се раздели, то продължаваме с деленето, но ние казваме, че не може. Той вече е от по-ниска степен от тази тук долу. Така че може да кажем, че това е равно на (x + 1) плюс какъвто и да е този остатък, разделен на това нещо ето тук. Така, значи нашият отговор е – ще го напиша още веднъж. Той е (x плюс 1), плюс (5x минус 5) върху (x квадрат минус x плюс 1). И може вече да проверим как работи това. Ако вземем това нещо ето от тук, и го умножим с това ето тук, трябва да получим x на трета степен плюс 5x минус 4. Добре, хадйде да го получим. Нека умножим това нещо тук с x квадрат минус x плюс 1. И за да направим това, нека умножим този цял тричлен по всеки от тези членове. По всеки от тези членове. Когато извършим това с първия член, имаме x квадрат минус x плюс 1 по x. Така, това ще стане x по x квадрат, което прави x на трета степен; x по минус x, което е минус x квадрат; x по 1 става x. Вече може да умножим целия израз по 1. Така че, ще бъде x квадрат минус x плюс 1. Просто умножавам всички тези членове по 1. И след това ще можем да умножим цялото това нещо по това. Е, те вече имат един и същ знаменател. Така че ще се унищожат. И ще останем само с числителя ето тук, така че имаме (5x - 5). И сега вече може да се опитаме да го опростим. Имаме само един член от трета степен, x на трета степен. Членове от втора степен – имаме минус x квадрат. И след това имаме също така плюс x квадрат. Така че те взаимно се унищожават. Членове от първа степен – да видим. Имаме плюс x и минус x. Те се унищожават взаимно. Така че ще останем само с това 5x ето тук. Така, че ще останем само с 5x. Така, след това имаме плюс 5x. И след това членовете от нулева степен, или иначе казано константите. Имаме плюс 1 и минус 5. Събираме ги. Получаваме минус 4. Така че получаваме x на трета плюс 5x минус 4, което е точно толкова колкото имаме и ето тук.