Основно съдържание

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Урок 2: Логаритмуване на произведение, частно, степен и корен

Въведение към свойства на логаритмите

Научи как логаритмуваме произведение, частно и степен и как можем да използваме това, за да преобразуваме логаритмични изрази. Логаритмувай например log₂(3a).


Логаритмуване на произведение	$\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍
Логаритмуване на частно	$\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍
Логаритмуване на степен	$\log_{b} (M^{p}) = p \cdot \log_{b} (M)$ ‍

(Тези свойства важат за всички стойности на

M

N

b

, за които логаритъмът е дефиниран, които са

M

N > 0

0 < b \neq 1

Спомни си, че за да бъде дефиниран един логаритъм, аргументът на логаритъма трябва да е положително число, основата на логаритъма също трябва да е положително число, различно от

1

. Ако не са, тогава логаритъмът не съществува.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Трябва да знаеш какво са логаритми. Ако не знаеш, виж урока въведение в логаритмите.

Какво ще научиш в този урок

Логаритмите, като степените, имат много полезни свойства, които могат да бъдат използвани за опростяване на логаритмични изрази и решаване на логаритмични уравнения. Тази статия разглежда три от тези свойства.

Нека разгледаме поотделно всяко свойство.

Логаритмуване на произведение: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Това свойство казва, че логаритъмът от едно произведение е равен на сбора от логаритмите на множителите.

Разбира се! Ако

M = 4

N = 8

b = 2

, тогава, според свойството,

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

По-долу е показано, че това свойство наистина е вярно в този случай!

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) \\ \log_{2} (32) & = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Тъй като 4 \cdot 8 = 32 \\ 5 & = 2 + 3 & Изчисляване на логаритмите \\ 5 & = 5 \end{aligned}$ ‍

Това в никакъв случай не е доказателство! По-скоро то може да ни убеди, че свойството е правдоподобно и, може би, да ни даде някаква представа защо това е вярно.

Можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на правилото за логаритмуване на произведение

За нашите цели, разлагане на един логаритъм означава записването му като сбора от два логаритъма или повече.

Нека разложим

\log_{6} (5 y)

на множители.

Забележи, че двата множителя на аргумента на логаритъма са

5

y

. Можем директно да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да разложим логаритъма на множители.

\begin{aligned} \log_{6} (5 y) & = \log_{6} (5 \cdot y) \\ = \log_{6} (5) + \log_{6} (y) & Логаритмуване на произведение \end{aligned}

Пример: Опростяване на сбор на логаритми с еднаква основа

За нашите цели, опростяване на сбор на два или повече логаритъма означава записването им като един единствен логаритъм.

Да опростим

\log_{3} (10) + \log_{3} (x)

След като двата логаритъма имат една и съща основа (основа

3

), можем да приложим в обратна посока свойството за логаритмуване на произведение:

\begin{aligned} \log_{3} (10) + \log_{3} (x) & = \log_{3} (10 \cdot x) & Логаритмуване на произведение \\ = \log_{3} (10 x) \end{aligned}

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази чрез използване на свойството за логаритмуване на произведение, основите на всички логаритми в израза трябва да са еднакви.

Не можем да използваме свойството за логаритмуване на произведение, за да опростим израз като

\log_{2} (8) + \log_{3} (y)

Провери знанията си

1) Разложи $\log_{2} (3 a)$ ‍ на множители.

2) Опрости $\log_{5} (2 y) + \log_{5} (8)$ ‍.

Логаритмуване на частно: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Това свойство казва, че логаритъмът от частно е равен на разликата на логаритмите на делимото и делителя.

Разбира се! Ако

M = 81

N = 3

b = 3

, тогава, според свойството,

\log_{3} (\frac{81}{3}) = \log_{3} (81) - \log_{3} (3)

По-долу е показано, че това свойство наистина е вярно в този случай!

$\begin{aligned} \log_{3} (\frac{81}{3}) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) \\ \log_{3} (27) & = \log_{3} (81) - \log_{3} (3) & След като 81 : 3 = 27 \\ 3 & = 4 - 1 & Evaluating the logs \\ 3 & = 3 \end{aligned}$ ‍

Нека сега използваме свойството за логаритмуване на частно, за да преобразуваме логаритмичните изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на частно

Нека представим

\log_{7} (\frac{a}{2})

като разликата на два логаритъма, като директно приложим свойството за логаритмуване на частно.

\begin{aligned} \log_{7} (\frac{a}{2}) & = \log_{7} (a) - \log_{7} (2) & Логаритмуване на частно \end{aligned}

Пример: Опростяване на логаритми с помощта на свойството за логаритмуване на частно

Опрости

\log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y)

Тъй като двата логаритъма имат една и съща основа (основа

4

), можем да приложим свойството за логаритмуване на частно в обратна посока:

\begin{aligned} \log_{4} (x^{3}) - \log_{4} (y) & = \log_{4} (\frac{x^{3}}{y}) & Логаритмуване на частно \end{aligned}

Важна забележка

Когато опростяваме логаритмични изрази с използване на свойството за логаритмуване на частно, основите на всички логаритми в израза трябва да са едни и същи.

Например не можем да използваме свойството за логаритмуване на частно, за да опростим израз като

\log_{2} (8) - \log_{3} (y)

Провери знанията си

3) Разложи $\log_{b} (\frac{4}{c})$ ‍.

4) Опрости $\lg (3 z) - \lg (8)$ ‍.

Логаритмуване на степен: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

Това свойство на логаритмите гласи, че логаритъм от нещо, повдигнато на степен, е равен на степенният показател, умножен по логаритъма от основата на степента.

Разбира се! Ако

M = 4

p = 2

b = 4

, тогава, според свойството,

\log_{4} (4^{2}) = 2 \log_{4} (4)

По-долу е показано, че това свойство наистина е вярно в този случай!

$\begin{aligned} \log_{4} (4^{2}) & = 2 \log_{4} (4) \\ \log_{4} (16) & = 2 \log_{4} (4) & Тъй като 4^{2} = 16 \\ 2 & = 2 \cdot 1 & Изчисляване на логаритмите \\ 2 & = 2 \end{aligned}$ ‍

Нека сега използваме свойството за логаритмуване на степен, за да преработим някои логаритмични изрази.

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на степен

За нашите цели в този раздел, разлагане на логаритъм от степен означава представянето му като кратно на друг логаритъм.

Нека използваме свойството за логаритмуване на степен, за да разложим

\log_{2} (x^{3})

на множители.

\begin{aligned} \log_{2} (x^{3}) & = 3 \cdot \log_{2} (x) & Логаритмуване на степен \\ = 3 \log_{2} (x) \end{aligned}

Пример: Опростяване на кратно на логаритъм

За нашите цели в този раздел, опростяване на кратно на логаритъм означава представянето му като един единствен логаритъм.

Нека използваме свойството за логаритмуване на степени, за да опростим

4 \log_{5} (2)

Когато опростяваме един логаритмичен израз с използване на свойството за логаритмуване на степени, поставяме всички множители в степенния показател.

\begin{aligned} 4 \log_{5} (2) & = \log_{5} (2^{4}) & Свойство за логаритмуване на степен \\ = \log_{5} (16) \end{aligned}

Провери знанията си

5) Разложи $\log_{7} (x^{5})$ ‍ на множители.

6) Опрости $6 \ln (y)$ ‍.

Задачи с повишена трудност

За да решиш следващите задачи, ще трябва да приложиш по няколко свойства за всяка от тях. Опитай!

7) Кой от следните изрази е еквивалентен на $\log_{b} (\frac{2 x^{3}}{5})$ ‍?

8) Кой от следните изрази е еквивалентен на $3 \log_{2} (x) - 2 \log_{2} (5)$ ‍?

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

11. клас (България) Общообразователна подготовка

Курс: 11. клас (България) Общообразователна подготовка > Раздел 2

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Логаритмуване на произведение: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Пример: Разлагане на логаритми с използване на правилото за логаритмуване на произведение

Пример: Опростяване на сбор на логаритми с еднаква основа

Важна забележка

Провери знанията си

Логаритмуване на частно: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на частно

Пример: Опростяване на логаритми с помощта на свойството за логаритмуване на частно

Важна забележка

Провери знанията си

Логаритмуване на степен: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Пример: Разлагане на логаритми с използване на свойството за логаритмуване на степен

Пример: Опростяване на кратно на логаритъм

Провери знанията си

Задачи с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Логаритмуване на произведение: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Логаритмуване на частно: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Логаритмуване на степен: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍