Определен интеграл в една единствена точка

Вече сме запознати с определения интеграл и знаем как се използва, за да представи или означи лицето под функция, между две точки и над оста х. Нека обаче да направим нещо интересно. Нека разгледаме определения интеграл f от х, dx. Това е лицето под кривата f от x, но вместо да е изчислено между две различни стойности за х, например a и b, както предните пъти, нека да кажем, че е изчислен между една и съща стойност. Да кажем, че това е между c и c. Нека изберем c да е ето тук. На какво мислиш, че ще бъде равен този израз тук? Какво представлява това? На какво е равно? Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш върху това. Ако се опиташ да го онагледиш, то това е лицето под кривата f от x, над оста х, от х равно на с до х равно на с. Ето този участък, предполагам, че може да го наречем така, който разглеждаме. Той има височина. Височината е равна на f от c. А каква е широчината? Е, няма широчина. Това е просто единична точка. Не се преместваме от c до c плюс някакво делта х, или до с плюс някакво много малко изменение в х, или до с плюс някаква много малка стойност. Просто се намираме в точката с. Когато мислим за лице, имаме предвид какво количество двуизмерно пространство заема нещо. Тук обаче този елемент е едномерен. Може да го разглеждаме като отсечка. А какво е лицето на една отсечка? Отсечката няма лице. Следователно този определен интеграл тук ще бъде равен на 0. Може би ще си кажеш: "Добре, разбирам го! Виждам, защо това е така, защо интуитивно има смисъл. Опитвам се да намеря лицето на правоъгълник, на който знам височината, но широчината е равна на 0. Следователно това лице ще бъде равно на 0." Това е възможен начин да мислиш за това. "Но, Сал, защо въобще ми показваш този пример?" Както ще видим, особено когато решаваме по-трудни задачи за интегриране или решаваме нещо друго, понякога като се досетиш за това, то ще ти помогне да опростиш задачата за интегриране съществено. Или може целта ти да е да достигнеш до момент като този, за да може да унищожиш нещо. Или може би просто да си кажеш: "Хей, това нещо тук ще бъде просто равно на 0!".