Въведение във формулата на Блек - Скоулс

Ще поговорим за вероятно най-популярната формула във финансовия свят – формулата на Блек-Сколс, понякога наричана още формула на Блек-Сколс-Мертън. Тя е кръстена на имената на тези господа. Тук отдясно е Фишър Блек. Това е Мирън Сколс. Те положиха основите на модела на Блек-Сколс и на формулата на Блек-Сколс и затова тя носи техните имена. Това е Боб Мертън, който взе работата на Блек-Сколс и я доведе до ново равнище, за да обхване модерните ни интерпретации на модела на Блек-Сколс и на тяхната формула. И тримата щяха да получат Нобелова награда в сферата на икономиката, ако, за нещастие, Фишър Блек не беше починал преди връчването на наградата, но Мирън Сколс и Боб Мертън получиха Нобелова награда за труда си. Има много причини за това този труд да се цени толкова високо и да заслужава Нобелова награда. Мога да направя цяла поредица от видеа на тази тема. Със стокови опции се търгува от изключително дълго време. Търгуват се, купуват се и се продават. Станаха основна част от финансовите пазари, но нямаше добър начин да се изчисли математически стойността на една опция. Хората имаха някаква представа за нещата, които ги интересуваха. Предполагам, че брокерите на опции са имали някаква представа за опциите, които са ги интересували и с които са търгували, но ни липсваше аналитична основа и формулата на Блек-Сколс ни я даде. Преди да навлезем в тази привидно плашеща формула (надявам се, че като поговорим за нея, ще започне да ти изглежда по-дружелюбна) нека да придобием представа за нещата, които ни вълнуват, когато разсъждаваме върху цената на една стокова опция. Ще те интересуват цената на акциите и цената на упражняване. На практика ще те интересува с колко цената на акциите е по-висока или по-ниска от цената на упражняване. Ще те интересува безрисковата лихва, която се появява тогава, когато говорим за текущата стойност на даден актив – когато изчислим стойността му към днешна дата. Разбира се, ще вземеш предвид, колко време имаш за упражняването на тази опция. И последно, което първоначално може да изглежда малко странно, но ще го обсъдим след малко, е променливостта на цената на акциите, която се изчислява като стандартна девиация на логаритмичната възвращаемост за тези ценни книжа. Звучи сложно и ще говорим за това в повече детайли в бъдещите видеа, но нека да разгледаме 2 акции на интуитивно ниво. Да кажем, че това тук е акция 1, чиято цена се променя, но ще я направя сравнително постоянна, за да не влияе това на оценката ни за инвестицията. Имаш една акция с това поведение и имаш още една, която ще нарисувам отгоре. Да кажем, че това е акция 1. Освен нея имаш акция 2, чиято цена подскача нагоре-надолу по този начин. Зелената тук е акция 2. От самата дума "променлива" разбираш, че акция 2 е по-променливата от двете. Има по-буен ход. Освен това, ако погледнеш разпределението на възвращаемостта спрямо средната стойност, ще забележиш, че тo е по-широко – има по-висока стандартна девиация. Акция 2 има по-висока променливост, или по-висока стандартна девиация на логаритмичната възвращаемост. В някое следващо видео ще разгледаме защо ни интересува логаритмичната възвращаемост. Акция 1 има по-ниска променливост. Можеш да се досетиш, че опциите ще бъдат по-ценни, когато става дума за акции с висока променливост, които имат висока сигма като тази – това вероятно ще повиши стойността на опцията. При подобна ситуация ще искаш да разполагаш с опция. Да притежаваш такива акции е екстремно преживяване, но ако имаш опция, можеш да пренебрегнеш нестабилността, защото можеш да се възползваш от опцията в правилния момент. Ако става въпрос за търгуване, колкото по-променлива е цената на дадени акции, толкова по-ценна е опцията за тях. След като разгледахме това, нека да видим формулата на Блек-Сколс. Разновидността, която показвам тук, е за европейска кол опция. Можем да направим нещо подобно за европейската пут опция, но тази е за европейската кол опция. Помни, че става въпрос за европейската, която математически е по-проста от американската, защото можеш да я упражниш единствено на датата за упражняване. Американската кол опция можеш да упражниш по всяко време. С това предвид, нека се опитаме да анализираме за малко формулата на Блек-Сколс поне интуитивно. Първото, което имаш тук, е този символ, който отразява текущата цена на акциите. Умножаваш я по тази функция, която има този входен параметър. дефиниран по този начин. След това изваждаш цената на упражняване, отнесена към текущата дата и умножена по същата функция. Входният параметър тук е малко по-различен. За да получиш представа какво представлява функцията N: тя е кумулативна функция за стандартно нормално разпределение. Това вероятно изглежда обезкуражаващо, но ако разгледаш видеата за статистика, не би трябвало да те плаши. Това на практика означава, че при стандартно нормално разпределение, вероятността случайната ти променлива да е по-малка или равна на х… Всичко това е обяснено в поредицата за статистика, в случай че ти звучи объркващо. От математическа гледна точка това е вероятност. Тя винаги ще е по-голяма от нула и по-малка от едно. След като изяснихме това, нека да видим какво ни показват тези части. Това тук засяга текущата цена на акциите. Тя е отнесена към някакъв вид вероятност. На практика можеш да гледаш на това грубо като на стойността, която ще получиш. Ще получиш цената на акциите, отнесена към вероятността това да се случи. Говоря много общо. Този израз тук е това, което плащаш. Това плащаш. Това е цената на упражняване, отнесена към текущата дата, умножена по вероятността това да се случи. Отново говоря много общо и спестявам доста от математиката. С други думи, наистина ли ще упражним опцията си? Това би имало смисъл тук или в случай че цената на акциите е много по-висока от цената на упражняване. Тогава със сигурност ще го направим. Да кажем, че d1 и d2 са много големи числа – тогава със сигурност ще го направим в някакъв момент. Така че има смисъл стойността на кол опцията да е тази на акциите минус цената на упражняване, отнесена към днешна дата. Това тук е дисконтирането, което ни дава текущата стойност на цената на упражняване. Ако те затруднява, имаме видеа за дисконтирането и текущата стойност, Също така е логично, че колкото по-висока е цената на акциите, която виждаме тук, спрямо цената на упражняване, толкова по-голяма ще е стойността на опцията. Колкото по-висока е цената на акциите спрямо цената на упражняване, толкова по-вероятно е наистина да се възползваме от опцията. Виждаш това в тези изрази тук. Имаш съотношение между цената на акциите и цената на упражняване. Взимаме натуралния му логаритъм. Колкото по-голямо е това съотношение, колкото е по-голямо d1 или d2, толкова по-голям ще е входният параметър към тази кумулативна функция за разпределение. Това означава по-голяма вероятност да упражним тази цена. Логично е в този случай това да има някаква стойност. Така че връзката между цената на акциите и цената на упражняване има своя смисъл. Ще обърна внимание и на променливостта, защото върху това се фокусират в дълбочина тези, които работят с опции. Вече добихме интуицията, че по-високата променливост води до по-висока цена на опцията. Да видим как това се отразява в това уравнение тук. Не го забелязваме на първото ниво, но със сигурност оказва влияние върху d1 и d2. При d1 стандартната девиация на логаритмичната ти възвращаемост (сигма) се намира както в знаменателя, така и в делителя, но в знаменателя я повдигаме на квадрат. Така по-високата сигма ще повиши стойността на d1. Ако стойността на сигма се повиши, стойността на d1 ще я последва. Да разгледаме какво се случва тук. Тук имаме сигма. Също така е повдигната на квадрат, тя е в числителя, но тук я изваждаме. Това ще нараства по-бързо от това, но сега я изваждаме и по тази причина по-високата стойност на сигма означава по-ниска стойност на d2. Можем ли да кажем, че по-високата стойност на сигма всъщност ще повиши стойността на нашата кол опция? Да разгледаме този въпрос. Ако стойността на сигма се повиши, тази на d1 ще я последва. Това означава, че този входен параметър ще е по-голям. Това ще доведе до повишаване на резултата на кумулативната ни функция за разпределение, при което стойността на целия този израз ще нарасне. Какво ще се случи тук? Ако стойността на d2 падне, тогава резултатът от кумулативната функция за разпределение изчислена там също ще намалее. Така стойността на целия този израз ще се понижи, което означава, че ще трябва да платим по-малко. Ако получаваме повече, а плащаме по-малко… Говоря много общо, само за да разбереш, че това не е толкова нелогично, колкото вероятно си мислиш. Определено изглежда, че ако стандартното отклонение на логаритмичната ни възвращаемост, или ако променливостта ни се покачи, стойността на европейската ни кол опция също ще го направи. Аналогично, въз основа на същата логика, ако променливостта бъде по-ниска, стойността на кол опцията ни ще намалее. Ще те оставя тук. В бъдещите видеа ще разгледаме тази тема в малко по-голяма дълбочина.