Основно съдържание
Курс: 10. клас (България) > Раздел 2
Урок 3: Аритметична прогресия: явни и рекурентни формули- Явни формули на аритметични прогресии
- Явни формули на аритметични прогресии
- Явни формули на аритметични прогресии
- Рекурентни формули за аритметични прогресии
- Рекурентни формули за аритметични прогресии
- Рекурентни формули за аритметични прогресии
- Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия
- Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия
- Превръщане между рекурентен и явен вид на аритметична прогресия
- Задача за аритметични прогресии
- Текстова задача с аритметична прогресия: модел на растеж
- Преговор на аритметични прогресии
- Аритметична прогресия: задача от АМИП (2003 AIME II задача 8)
© 2024 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Явни формули на аритметични прогресии
Сал намира явните формули на аритметични прогресии, когато са дадени първите няколко члена от тях. Той изследва също и еквивалентните форми на тези формули.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
От таблицата тук виждаме, че за дадени стойности на n, когато n е 1, f от n е 12, когато n е 2, f от n е 5, а когато n е 3, f от n е минус 2, когато n е 4, f от n е минус 9. Един от начините да разглеждаме това е, че тази функция f определя дадена редица, при която първият член от редицата е 12. Вторият член от тази редица е 5. Третият член от редицата е минус 2. Четвъртият член от редицата е минус 9. Като тя продължава нататък. И може би забелязваш, че това е аритметична прогресия. Започваме с 12 и после следващият член... Какво направихме, за да го получим? Извадили сме 7. Сега, за да получим от втория третия член... Какво правим? Изваждаме 7. Всеки член е по-малък със 7 от предходния. Като имаш това предвид, виж дали можеш да определиш тази функция от n. Дали можеш да я определиш чрез явна формула. Намери определението за функция. Трябва да намериш на колко е равно f от n, така че ако въведеш тук n, да ти даде съответната f от n. Нека помислим малко. Можем да го получим, като започнем от... Първият член ще бъде 12. След това ще извадим 7. Колко пъти ще извадим 7? За първия член изваждаме 7 нула пъти. И по този начин получаваме само 12. За втория член изваждаме 7 веднъж. За третия член изваждаме 7 два пъти. Един, два пъти. За четвъртия член изваждаме 7 три пъти. Изглежда, че независимо при кой член сме, изваждаме 7 n минус 1 пъти, изваждаме 7 толкова пъти, колкото е номера на члена минус 1. Така че това е по n минус 1. Нека проверим дали това е наистина така. И така, f от 1 ще бъде 12 минус 7, по 1 минус 1, това е 0. Цялото това ще бъде просто 12. f от 2 ще бъде 12 минус 7 по 2 минус 1. Ще имаме 12 минус 7 по 1. Ще извадим 7 само веднъж, което е точно така. Започнахме от 12 и извадихме 7 веднъж. f от 3, можеш да продължиш да проверяваш. 12 минус, тук трябва да извадим 7 два пъти. Виждаме, че 3 минус 1 е 2 пъти. Така че ще извадим 7 два пъти. Така че това изглежда правилно. Зададохме функцията явно. Определихме f явно за тази аритметична прогресия. Нека решим още един пример. В този случай тук вече имаме някои определения за функцията. Имаш редицата, тя се вижда в тази таблица. Можеш да я разглеждаш така, че първият член е минус 100. Следващият член е минус 50, следващият член е 0, следващият член е 50. Напълно е ясно, че това е също аритметична прогресия. Започваме от минус 100 и след това прибавяме 50. После прибавяме още 50, и после прибавяме още веднъж 50. Така че всеки член е с 50 повече от предходния. Сега спри видеото на пауза и помисли кои от тези определения за функцията f са верни. Като може да има повече от едно вярно. Добре, нека помислим. Това определение тук, един от начините да го разглеждаме, е като кажа, че започвам от минус 100. И ще прибавя 50, n минус 1 пъти. Това има ли смисъл? За първия член, ако започнем от минус 100, изобщо няма да прибавяме 50, ще прибавим 50 нула пъти и това е така. Защото 1 минус 1 ще бъде 0. Така че това е вярно за n равно на 1. Да видим, за n равно на 2 започваме от минус 100, трябва да прибавим 50 веднъж. това тук ще бъде 1, защото 2 минус 1 е 1! Прибавяме 50. Независимо какъв номер имаме, независимо колко е n, ние прибавяме 50 толкова пъти, колкото е номера на члена минус 1. И така, тук прибавяме 50 два пъти. Когато n е 4, прибавяме 50 три пъти. Така че това е вярно. Когато n е 4, прибавяме 50 4 минус 1, три пъти. Минус 100 плюс 50 по 3. Прибавяме 50 три пъти, прибавяме 50 1, 2, 3 пъти. Ами това ни дава 50. Така че избирам този отговор. Сега нека разгледаме този тук. Минус 150 плюс 50n. Добре, това е един от начините да кажем, ако n равно на 1, ще имаме минус... Всъщност нека начертая таблица за този отговор. Ако имаме n и имаме f от n. Това ще бъде за това определение тук. Ако n е 1, ще имаме минус 150 плюс 50. Което е минус 100, да, и това отговаря. Когато n е 2, получаваме минус 150 плюс 50 по 2, което ще бъде... Това е 100 и има минус 150, това ще бъде минус 50. Когато n е 3, и това отговаря разбира се. Когато n е 3, получаваш минус 150 плюс 50 по 3, което е равно на 0. Това отговаря. Този отговор тук ще бъде верен. Но можеш да кажеш: "Хей, тези формули изглеждат различни." Можеш алгебрично да ги преработиш и да видиш, че те са едно и също нещо. Ако вземеш тази първата, имаме минус 100 плюс, нека разкрием скобите и умножим по 50, плюс 50n минус 50. Добре, минус 100, минус 50, това е минус 150. И след това имаш плюс 50n. Така че тези двете са алгебрично едно и също определение за функцията. Сега, какво ще кажем за това тук? Минус 100 плюс 50n, това ще стане ли? Да видим, когато n е равно на 1, това ще бъде минус 100 плюс 50, което е минус 50. Ами не, това не отговаря. Тук трябва да получим минус 100. Така че това не е вярно.