Четни/нечетни функции и числа

В последното видео за четни и нечетни функции говорих за това как не трябва да се объркваш между четни функции и четни числа, и нечетни функции и нечетни числа. И казах, че няма никаква очевидна връзка между думата четна функция и представата ни за четни числа, нито връзка между нечетни функции и нечетни числа. И грешах. Всъщност има сравнително очевидна връзка и това беше посочено от един потребител на YouTube - Нотиъс. И връзката, почти изрично я направих в последния пример. Когато показах една четна функция, показах х^2. Когато показах нечетна функция, показах х^3. Когато исках да ти покажа друга нечетна функция, аз ти показах у = х или f(х) = х^1. И може би започваш да забелязваш какво Нотиъс изтъкна – че тези добри примери, или тези прости примери за четни и нечетни функции, когато имаме много просто х, повдигнато на някаква степен, дали степента е четна или нечетна, това ще ти каже дали функцията е четна или нечетна. И трябва много да внимаваш тук. Не всички четни или нечетни функции имат степенен показател. Те могат да са тригонометрични функции. Може да са някакъв друг вид странни функции. Не е задължително да имат степенни показатели. Просто тези степенни показатели вероятно са обосновката за наричането на тези функции четни и нечетни. И нека поясня. Не всеки полином – и дори в последното видео, когато имахме (х^3) + 1, това не беше нито четно, нито нечетно – но ако просто имаш х, повдигнато на някаква степен, тогава изведнъж обосновката да ги наричаме четни и нечетни започва да изглежда логична, понеже ако имам f(х) = х^1 – това е същото нещо като у = х – това е нечетна функция. И името ѝ подхожда, понеже я повдигаме на нечетна степен. Ако имаме f(х) = х^2, видяхме в предишното видео, че тази функция е четна. И това подхожда на идеята, че я повдигаме на четна степен. Мога да продължа. Ако това беше х^3, функцията е нечетна. Мога да продължа. Нека го запиша така. Като цяло, ако имаш f(х) = х^n, тогава това е нечетна функция, ако n е нечетно число. И това е четна функция, ако n е четно число. И искам да поясня. Цялата идея на това видео е да изясня мотивацията за това да ги наричаме четни или нечетни функции. Не всички четни функции ще са в този вид, където х е повдигнато на някаква четна степен. И не всички нечетни функции ще са в този вид. Не искам да се объркваш и ако имам нещо като х^3 и след това имам други неща, да си кажеш, че имаме х^3 и това число е нечетно... Но това не е нечетна функция. Можеш да направиш това твърдение, единствено ако това е само х^3 или х^1. Но вероятно оттук идва мотивацията да ги наричаме четни или нечетни функции. И после, другите симетрични функции, дори ако не включват степени – може би това е някакъв вид тригонометрична функция – наричаме ги четни, понеже казваме, че има същия вид симетрия като, да кажем, х^2 или х на четна степен. Групираш ги като четни функции. И всички тези, въпреки че тук може да имаме степенен показател, а може и да нямаме, това има същия вид симетрия, като при х, повдигнато на нечетна степен. Затова ги наричаме нечетни функции. Благодаря ти, Нотиъс, че изтъкна това.